Contrôle Continu du avril durée heures Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints Les exercices sont indépendants Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté Les vecteurs et matrices sont représentés en caractères gras I Nombres complexes et trigonométrie La formule d'Euler donne la relation entre l'exponentielle complexe et les fonctions sinus et cosinus sous la forme

Philippe Savoini

Description

Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Année 2008-2009 Contrôle Continu du 30 avril 2009 (durée 2 heures) Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté. Les vecteurs et matrices sont représentés en caractères gras. I. Nombres complexes et trigonométrie La formule d'Euler donne la relation entre l'exponentielle complexe et les fonctions sinus et cosinus sous la forme : ? e i? = cos? + isin? . On en déduit aisément l'expression de son complexe conjugué ? e ? i? = cos? ? isin? . I.1 Exprimer les fonctions ? cos? et ? sin? sous forme d'exponentielle complexe (somme ou différence). ? cos? = ei? + e?i? 2 et ? sin ? = ei? ? e?i? 2 i I.2 Développer ? cos 3? sous forme d'exponentielles complexes. ? cos 3? = 1 8 (e i3? + e ?i3? + 3e i? + 3e ?i? ) I.3 En déduire alors l'expression ? cos3? en fonction de ? cos? et de ses puissances. On obtient ? cos 3? = 1 8 (2cos3? + 3x2cos?) Et donc ? cos 3 ? = 4 cos3 ? ? 3 cos? I.

• repère cartésien


• angle ? entre ab


• position des points d'inflexion

Sujets

• Troisième
• Mathématiques
• Coordonnées cartésiennes

Informations

• Publié par: profil-vyan-2012
• Nombre de lectures: 36
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Année 2008-2009

 Contrôle Continudu 30 avril 2009 (durée 2 heures) Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints. Les exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté. Les vecteurs et matrices sont représentés en caractères gras.  I.Nombres complexes et trigonométrie La formule d'Euler donne la relation entre l'exponentielle complexe et les i" fonctions sinus et cosinus sous la forme :  e=cos"+isin" . On en déduit aisément "i# lexpression de son complexe conjuguée=cos#"isin#. I.1 Exprimerles fonctions cos"  et sin" forme dexponentielle complexe sous  (somme ou différence).  i"#i" i"#i" e+e e#e c  os"=  et sin"=  2 2i 3  I.2 Développer cos" sous forme d'exponentielles complexes. 1 3i3"#i3"i"#i"  cos"=(e  +e+3e+3e)  8  I.3En déduire alors lexpression cos 3" en fonction decos"et de ses puissances. 3 1 On obtient cos"=(2 cos 3"+3x2 cos")   8  3 Et donc cos 3"=4 cos"#3cos"  I.4Vérifier ces résultats en choisissant "=#/6 .  " "3 3 3 cos  3=cos=0=4( )#3=0  6 22 2   II.Vecteurs  On considère le plan muni du repère cartésien (O,i,j) où O est le point dorigine. Soit les  53 points A(3,0), B(1, 1) et C(, ). 22  II.1Dessiner les vecteursABetACet en déduire leurs coordonnées cartésiennes. 

5 1 -3= - 1-3= -2 2 2 AB et AC  3 3 1"0=1 "0= 2 2 II.2la définition générale du produit scalaire entre deux vecteurs Rappeler  quelconquesuetv(O,, ainsi que son expression dans le repère cartésieni,j).  cos(u, v)+u u.v=u v=u x v x y v y .  II.3Calculer alors le produit scalaireAB ACdans le repère cartésien (O,i,j). 3 5 AB.AC=AB AC+AB AC=1+ =  y yx x 2 2 II.4En déduire, par le calcul, langleαentreABetAC. 5 105 AB.AC=  =AB ACcos(AB,AC)=5 cos(AB,AC)=cos(AB,AC)  2 22 1# cos(AB,AC)="(AB,AC)=  2 4   III.Matrice  On considère maintenant le système déquations linéaires suivant :  # x+y+z=1 % $ x"y+z=1  % & x+y"z=1 III.1 Ecrirece système sous forme matricielle de la formeMX=B. Quelles sont les expressions deXetB?  # 11 1 &# x &# 1 & %(%(%( 1"1 1y=1 %(%(%( 1 1"1z1 $'$'$'  III.2Le système est-il régulier, homogène ? Pourquoi ? 1 11  détM=1"1 1=4 1 1"1 détM"0#système régulier  B"0#système non homogène    III.3Existe-t-il une solution ? Si oui, est-elle unique ?  

système régulier +homogène"solution existe et elle est unique   III.4La matriceM est-elleSi elle existe, calculer la matriceinversible ? Pourquoi ? "1 inverse M .  détM"0#Minversible  # 1 1 &  0 %( 2 2 %( "1 1 1  M= % "0 (  2 2 %( 1 1 % 0" ( $ 2 2 ' "1  III.5En utilisant M , calculer le vecteur solutionX. # 1 1 &  0 %( 2 2 # 1 &# 1 & %(  "1 1 1 %(%( MB=X= % "0 ( 1=0  2 2 %( %  (%( 1 0 1 1 $'$' % 0" ( $ 2 2 '  IV.Système linéaire Soit un système déquations linéaires dépendant du paramètrek:   # x"3z="3 % $ 2x+ky"z="2 % & x+2y+kz=1 IV.1Déterminer les valeurs du paramètrekpour lesquelles le système ci-dessus a une solution unique.  solution unique"régulier+non homogène"détM#0  1 0"3 2 2 détM=2k"1=k"10+3k#discriminant$=49(7 )  1 2k détM"0#k"2 et k" $5  Solution unique si et seulement si k"2 et k" #5    IV.2Dans le cas contraire, peut-on dire facilement si le système a une infinité ou pas  de solution ?Attention, on NE demande PAS de calculer cette/ces solutions.  Non car dans le cas dun système non homogène avec détM=0 les deux cas sont possibles et ne peuvent être séparés quen calculant explicitement ces solutions ce qui nest PAS demandé.  



V. Etude de fonction et Développements limités On considère la fonction à une variable réelle suivante : 2"x f(x)=(x+2x+1)e   V.1Etudier et tracer la fonctionf(x)(on calculera aussi ses points dinflexion) 1) Domaine de définition :x" ] #$,+$ [   2) Etude de la parité : f(x) quelconque (pas pair, pas impair, pas périodique) 3) Etude des limites : lim f(x)= +$et limf(x)=0   x"#$x"+$ df 2"x df 4) Dérivé de la fonction :=1"x eet donc =0 pourx= ±1  [ ] dx dx  2 d f 5) Existence et position des points dinflexion : point d inflexion"=0  2 dx   22 d f 2"x d f =x"2x"1e et donc =0 pourx=1±2  [ ] 2 2 dxdx  6) Tableau des variations de f(x) : 

7) Graphe de f(x) : 





 V.2Rappeler le développement limité (DL) dune fonctionf(x) àlordren au voisinage dex o .(appelé aussi développement de Taylor def(x)) 2 2n n df(x"x)d f(x"x)d f n o o f(x)=f(x)+(x"x)+ +....+ +x#(x)  o o 2n dx2!dx n!dx x=x o x=x x=x o o Il faut que les étudiants est au moins vu que ce développement nest pas exact »mais sarrête à lordre n. Il faut donc quils aient mis quelque chose (en fait plusieurs notations sont  possibles) à la fin (où alors un signe ~ à la place du =). "x  V.3Calculer le DL à lordre 3 de la fonction g(x)=e au voisinage de 0. 2 3 x x g(x) ~ 1"x+"  2 6   V.4En déduirealors le DL de la fonction f(x) aussi à lordre 3 au voisinage de 0. 3 7x 2  f(x) ~ 1+x+x"  2 6  VI. Intégrales et primitives  On se propose de retrouver la surface dun disque de  rayon R. Pour cela on construit un cercle (voir figure ci- M dessus) se lequel on place un point M de coordonnées (x,y). On définit un élément de surface dS=y(x)dx    représentée par la zone hachurée et un angle "  partant θ de laxeOy. V.1 Exprimerxetyen fonction de R et " . O  # x=Rsin" dx x  $ % y=Rcos"  dx V.2.Déterminer lexpression de la dérivée d" dx  =Rcos"  d"  Endéduire que lon peut lécrire sous la forme  dx=Rcos"d" . V.2Exprimer alorsdSen fonction deR,θetdθ.  2 2 dS=ydx=(Rcos")(Rcos"d")=Rcos"d"  V.3IntégrerdSdeθ= 0àθ=π/2.  "/ 2 "/ 2"/ 2" 2 2 / 2 %( 2 22 1+cos2$Rsin2$ "R # ## '* dS=Rcos=R( )d$=$+ = 2 2 & 2 ) 4  0 00 0  V.4En déduire la surface totale du cercle. "/ 2 2 #  S=4dS="R  totale 0

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