Correction du sujet A

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Correction du sujet A I Par définition, f ?(1) est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe C f . Cette tangente passe par les points A(3 ; 1) et B (1,2). Son coefficient directeur est donc yB ? y AxB ?xA = 2?1 1?3 == 1 ?2 =? 1 2 . Par conséquent : f ?(1)=?12 . II 1. f (x)= 3x8. Alors : f ?(x)= 3?8x7 = 24x7 ; f ?(x)= 24x7 . 2. f (x)= 1x5 = 1 xn avec n = 5. Alors : f ?(x)=? nxn+1 =? 5 x6 ; f ?(x)=? 5x6 . 3. f (x)= 3x2+5x ?1 ; f ?(x)= 3?2x +5?1?0 donc f ?(x)= 6x +5 4. f (x)= ( 5x2?4x +2 )p x. f = uv avec { u(x)= 5x2?4x +2 v(x)= p x . f ? = (uv)? = u?v +uv ? avec ? ? ? u?(x)= 5?2x +4?1+0 = 10x ?4 v ?(x)= 1 2 p x .

• signe opposé au coefficient de q2


• ?2x


• tangente


• extérieur de l'intervalle


• u?v ?uv


• u?

Sujets

• Première
• Mathématiques
• Tangente

Informations

• Publié par: Ecole-pour-tous
• Nombre de lectures: 16
• Langue: Français

Extrait

Correction du sujet A

I ′ Par définition,f(1) est le coefficient directeur de la tangenteTà la courbe C . f Cette tangente passe par les points A(3 ; 1) etB(1, 2). y B −y A 2−1 1 1 Son coefficient directeur est donc= === −. x−x1−3−2 2 B A 1 ′ Par conséquent :f(1)= −. 2

II 8′7 7′7 1.f(x)=3x. Alors :f(x)=3×8x=24x;f(x)=24x. 1 1n55 ′′ 2.f(x)= =avecn=5. Alors :f(x)= −= −;f(x)= −. 5n n+1 66 x xx xx 2′′ 3.f(x)=3x+5x−1 ;f(x)=3×2x+5×1−0 doncf(x)=6x+5 ¡ ¢ p 2 4.f(x)=5x−4x+2x. ½ 2 u(x)=5x−4x+2 f=u vavec . v(x)=x  ′  u(x)=5×2x+4×1+0=10x−4 ′ ′′ ′ 1 f=(u v)=u v+u vavec ′ .  v(x)= 2x p ¡ ¢ 2 ¡ ¢ 1 (10x−4)x×2x+5x−4x+2 ′2 Alors :f(x)=(10x−4)x+5x−4x+2× = 2x2x 2 22 2 (10x−4)×2x+5x−4x+2 20x−8x+5x−4x+2 25x−12x+2 = == 2x2x2x 2 25x−12x+2 ′ f(x)= p. 2x 1 1 2 5.f(x)=:f=avecu(x)=3x+2x+7. 2 3x+2x+7u µ ¶ ′ ′ 1u ′ ′ f−= =avecu(x)=3×2x+2×1+0=6x+2. 2 u u 6x+2 ′ Par conséquent :f(x)= −. ¡ ¢ 2 2 3x+2x+7 ½ ¾ 5x+1 2 6.f(x)=surR\−. 3x+2 3 ½ u u (x)=5x+1 f=avec . v v(x)=3x+2 ½ ³ ´ ′′ ′ ′ u uv− u u v (x)=5 ′ Alors :f=avec . ′ 2 v v v(x)=3 5(3x+2)−3(5x+1) 77 ′′ On en déduit que :f(x)= =;f(x)=. 2 22 (3x+2) (3x+2)(3x+2)

III 3 x+1 f(x)=surR\ {1}. 3 x−1 ′ L’équation réduite de la tangente à la courbe C au point d’abscissea= −1 est :y=f(a)(x−a)+f(a)aveca= −1. f(−1)=0. ′ ′ Il faut calculerf(−1). Pour cela, on calculef(x) et on remplacexpar 1. ½ 3 u u (x)=x+1 f=avec . 3 v v(x)=x−1 ³ ´ ′ ′ ′ u uv−u v ′ ′′2 Alors :f=avecu(x)=v(x)=3x. 2 v v

¡ ¢ 2 32 3 2 33 2 3x(x−1)−3x(x+ 1) 3x x−1−(x+1) −6x ′ On en déduit que :f(x)= ==. ¡ ¢ 3 23 22 (x+1) (x−1) 3 x−1 −6 63 ′ Par conséquent :f(−1)= =− =−. 2 (−22) 4 3 33 3 Une équation de la tangente est donc :y= −(x−(−1))+0, soit :y= −(x+1) d’où :y= −x−. 2 22 2

IV 3 f(x)= −x+3x+1. ′2 2 1.f(x)= −3x+3=3(1−x)=3(1+x)(1−x). ′ 2.f(x)=0 pourx= −1 oux=1. ′ ′ Pour étudier le signe def(x), on renseigne un tableau de signes, en remarquant quef(x) est du signe de (1+x)(1−x) : x−∞ −1 1+∞ Signe de 1+x−0+0+ Signe de 1−x+ +0− ′ Signe def(x)−0+0−

On en déduit quefest décroissante sur ]− ∞;−1] et sur [1 ;+∞[, et croisssante sur [−1 ; 1]. Tableau de variations : x−∞ −1 1+∞ ′ Signe def(x)−0+0− 3 ❅ ✒❅ f(x) ❅ ❅ ❘❅ ❘❅ −1

V 3 2 La fonction coût est donnée parC(q)=0, 02q−16, 2q+5 000q. 1. Chaqueunité étant vendue 2 970 e , la recette est :R(q)=2 970q. ¡ ¢ 3 23 2 2. Lebénéfice est alors :B(q)=R(q)−C(q)=2 970q−0, 02q−16, 2q+5 000q= −0, 02q+16, 2q−2 030q. 3. Pourqu’il y ait rentabilité de l’entreprise, le bénéfice doit être positif. 2 2 B(q)=q(−0, 02q+16, 2q−2 030).−0, 02q+16, 2q−une expression du second degré. Calculons ses racines.2 030 est 2 Δ=16, 2−4×(−0, 02)×(−2 030)=100, 04>0. −16, 2+16, 2100, 04−16, 2100, 04+100, 04 Les deux racines sont alorsq 1 = =≈et154, 9q 2 = ≈655, 04. −2×0, 020, 040, 04 2 2 −0, 02q+16, 2q−2 030 est positif (donc du signe opposé au coefficient deqqui est 0,02) entre les racines, donc pourqvariant entre 155 et 655 objets produits. ′2′2 4. Ladérivée deBvaut :B(q)= −0, 02×3q+16, 2×2q−2 030×1 doncB(q)= −0, 06q+32, 4q−2 030. ′ Résolvons l’équation :B(q)=0. 2 Δ=32, 4−4×(−0, 06)×(−2 030)=562, 56>0. Il y a deux racines, qui sont : p p −32, 4+562, 5632, 4−32, 4562, 56+562, 56 q 3 = =≈72, 3etq 4 = ≈827, 98. −0, 120, 120, 12 ′ B(q) est positif (du signe opposé à 0,06) entre les racines et négatif à l’extérieur de l’intervalle formé par les racines. On en déduit queBest une fonction décroissante sur [0 ;q 3 ] et sur [q 4 ; 3∞[ et croissante sur [q 3 ;q 4 ]. Le tableau de variations est le suivant : q0q 3 q 4 +∞ ′ B(q)−0+0− B(q 4 ) ❅ ✒❅ B(q) ❅  ❅ ❘❅ ❅❘ B(q) 3

Le bénéfice maximum a donc lieu pour une production d’environ 828 objets.

Correction du sujet B

I ′ Par définition,f(1) est le coefficient directeur de la tangenteTà la courbe C . f Cette tangente passe par les points A(3 ; 1) etB(1, 2). y B −y A 2−1 1 1 Son coefficient directeur est donc= −= ==. x B −x A 1−3−2 2 1 ′ Par conséquent :f(1)= −. 2

II 7′6 6′6 1.f(x)=2x. Alors :f(x)=2×7x=14x;f(x)=14x. 1 1n66 ′′ 2.f(x)= =avecn=6. Alors :f(x)= −= −;f(x)= −. 6n n+1 77 x xx xx 2′′ 3.f(x)=4x−7x+2 ;f(x)=4×2x−7×1+0 doncf(x)=8x−7 ¡ ¢ p 2 4.f(x)=3x−5x+3x. ½ 2 u(x)=3x−5x+3 f=u vavec . v(x)=x  ′  u(x)=3×2x−5×1+0=6x−5 ′ ′′ ′ 1 f=(u v)=u v+u vavec ′ .  v(x)= 2x p ¡ ¢ 2 p ¡ ¢ 1 (6x−5)x×2x+3x−5x+3 ′2 Alors :f(x)=(6x−5)x+3x−5x+3× = 2x2x 2 22 2 (6x−5)×2x+3x−5x+3 12x−10x+3x−5x+3 15x−15x+3 = == 2x2x2x 2 15x−15x+3 ′ f(x)= p. 2x 1 1 2 5.f(x)=:f=avecu(x)=2x+3x+5. 2 2x+3x+5u µ ¶ ′ ′ 1u ′ ′ f−= =avecu(x)=2×2x+3×1+0=4x+3. 2 u u 4x+3 ′ Par conséquent :f(x)= −. ¡ ¢ 2 2 3x+2x+7 ½ ¾ 3x−4 3 6.f(x)=surR\−. 2x+3 2 ½ u u (x)=3x−4 f=avec . v v(x)=2x+3 ½ ³ ´ ′ ′′ ′ u uv− u u v (x)=3 ′ Alors :f=avec . ′ 2 v v v(x)=2 3(2x+3)−2(3x−4) 1717 ′′ On en déduit que :f(x)= =;f(x)=. 2 22 (2x+3) (2x+3)(2x+3)

III 3 x+1 f(x)=surR\ {1}. 3 x−1 ′ L’équation réduite de la tangente à la courbe C au point d’abscissea= −1 est :y=f(a)(x−a)+f(a)aveca= −1. f(−1)=0. ′ ′ Il faut calculerf(−1). Pour cela, on calculef(x) et on remplacexpar 1. ½ 3 u u (x)=x+1 f=avec . 3 v v(x)=x−1 ³ ´ ′ ′ ′ u uv−u v ′ ′′2 Alors :f=avecu(x)=v(x)=3x. 2 v v

¡ ¢ 2 32 3 2 33 2 3x(x−1)−3x(x+ 1) 3x x−1−(x+1) −6x ′ On en déduit que :f(x)== =. ¡ ¢ 3 23 22 (x+1) (x−1) 3 x−1 −36 6 ′ Par conséquent :f(−1)−− == =. 2 (−22) 4 3 33 3 Une équation de la tangente est donc :y= −(x−(−1))+0, soit :y= −(x+1) d’où :y= −x−. 2 22 2

IV 3 f(x)= −x+3x+1. ′2 2 1.f(x)= −3x+3=3(1−x)=3(1+x)(1−x). ′ 2.f(x)=0 pourx= −1 oux=1. ′ ′ Pour étudier le signe def(x), on renseigne un tableau de signes, en remarquant quef(x) est du signe de (1+x)(1−x) : x−∞ −1 1+∞ Signe de 1+x−0+0+ Signe de 1−x+ +0− ′ Signe def(x)−0+0−

On en déduit quefest décroissante sur ]− ∞;−1] et sur [1 ;+∞[, et croisssante sur [−1 ; 1]. Tableau de variations : x−∞ −1 1+∞ ′ Signe def(x)−0+0− 3 ❅ ✒❅ f(x) ❅ ❅ ❘❅ ❘❅ −1

V 3 2 La fonction coût est donnée parC(q)=0, 02q−16, 2q+5 000q. 1. Chaqueunité étant vendue 2 970 e , la recette est :R(q)=2 970q. ¡ ¢ 3 23 2 2. Lebénéfice est alors :B(q)=R(q)−C(q)=2 970q−0, 02q−16, 2q+5 000q= −0, 02q+16, 2q−2 030q. 3. Pourqu’il y ait rentabilité de l’entreprise, le bénéfice doit être positif. 2 2 B(q)=q(−0, 02q+16, 2q−2 030).−0, 02q+16, 2q−une expression du second degré. Calculons ses racines.2 030 est 2 Δ=16, 2−4×(−0, 02)×(−2 030)=100, 04>0. −16, 2+16, 2100, 04−100, 0416, 2+100, 04 Les deux racines sont alorsq 1 ≈= =154, 9etq 2 = ≈655, 04. −2×0, 020, 040, 04 2 2 −0, 02q+16, 2q−2 030 est positif (donc du signe opposé au coefficient deqqui est 0,02) entre les racines, donc pourqvariant entre 155 et 655 objets produits. ′2′2 4. Ladérivée deBvaut :B(q)= −0, 02×3q+16, 2×2q−2 030×1 doncB(q)= −0, 06q+32, 4q−2 030. ′ Résolvons l’équation :B(q)=0. 2 Δ=32, 4−4×(−0, 06)×(−2 030)=562, 56>0. Il y a deux racines, qui sont : p p −32, 4+32, 4562, 56−32, 4562, 56+562, 56 q 3 ≈= =et72, 3q 4 = ≈827, 98. −0, 120, 120, 12 ′ B(q) est positif (du signe opposé à 0,06) entre les racines et négatif à l’extérieur de l’intervalle formé par les racines. On en déduit queBest une fonction décroissante sur [0 ;q 3 ] et sur [q 4 ; 3∞[ et croissante sur [q 3 ;q 4 ]. Le tableau de variations est le suivant : q0q 3 q 4 +∞ ′ B(q)−0+0− B(q 4 ) ❅ ✒❅ B(q) ❅  ❅ ❅❘ ❘❅ B(q 3 ) Le bénéfice maximum a donc lieu pour une production d’environ 828 objets.