DEUX ESSAIS SUR LA GÉOMÉTRIE AFFINE

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
DEUX ESSAIS SUR LA GÉOMÉTRIE AFFINE MIKHAIL ZAIDENBERG Table des matières Introduction 2 1. Variétés algébriques a?nes 2 1.1. Premières définitions 2 1.2. Exemples 3 1.3. Morphismes et automorphismes 4 1.4. L'adhérence projective d'une variété a?ne 4 1.5. La géométrie a?ne et la géométrie projective : une comparaison naïve 5 2. Un problème élémentaire sur des couples de polynômes d'une variable 6 2.1. Le problème 6 2.2. Polynômes de meilleure approximation 6 2.3. Retour au problème 8 2.4. Interprétation géométrique 8 3. Courbes planes a?nes simplement connexes 9 3.1. Plongements de la droite dans le plan : le théorème d'épimorphisme 9 3.2. Courbes planes a?nes simplement connexes 11 3.3. Linéarisation d'une action de C? sur le plan a?ne 12 3.4. Factorisation de Stein 13 3.5. Pinceaux de courbes et la caractéristique d'Euler 14 3.6. La fibre de Milnor 14 3.7. Espaces de Teichmüller : la théorie d'Ahlfors-Bers 15 3.8. Familles analytiques de surfaces de Riemann 15 3.9. Familles isotriviales de courbes 16 3.10. Construction d'une action de C? 16 3.11. Comment étendre l'action de C? sur A2 17 3.12. Existence d'une orbite non-fermée : retour à la fibre de Milnor 18 3.13. Retour à la linéarisation de l'action de C? 19 4.

• théorème de la base de hilbert


• courbe a?ne


• plongements de la droite dans le plan


• courbe a?ne irréductible


• lisse


• variété projective


• linéarisation


• action de c?


• a?ne

Sujets

• Mathématiques
• Première
• Cerveau
• Théorème de la base de Hilbert
• Variété projective
• Linearization

Informations

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Extrait

C
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tmaanalytiquesti?resPinceauxInG?Otro20duction3.7.2Construction1.3.13.Vnari?courbter?lasamalg?briquesCommenanes:2SUR1.1.SurfacesPremi?resld?14H50,deniettbreieicons3.8.2Riemann1.2.courbExemplesZAIDENBER3de1.3.ExistenceMorphismesbreetlin?arisationautomorphismesCourb4des1.4.tL'adh?rence4.2.presoctjectivKeyeane,d'une13vcourbari?t?caract?ristiqueane3.6.4Milnor1.5.deLa?llerg?om?d'Ahlfors-Berstramisurfacese3.9.aneisotrivialeset16laactiong?om?trie16pro?tendrejectivM?TRIEe17:orbiteune?comparaisonMilnorna?v?el'action5192.simUntrac?esprobl?me19?l?men-acycliquestaireessurconnexesdesescouplesprodetpMathematicsolyn?mesationd'une14R05,vdsariableane,6tion2.1.SteinLe3.5.probl?mede6es2.2.laPd'Eulolyn?mes14deLameilleuredeappro14ximationEspaces6T2.3.hmRetour:auth?orieprobl?me158F2.4.illesIndeterpr?tationdeg?om?trique158F3.illesCourbdeesesplane3.10.sd'uneanesdesimplemenMIKHAILt3.11.cotnl'actionneAFFINExessur9LA3.1.3.12.Plongemend'unetsnon-ferm?ederetourlaladroitededans18leRetourplanla:deledeth?or?meESSAISd'?4.pimorphismees9plemen3.2.connexesCourbsuressurfacesplanes4.1.anesDEUXsimplemenetcourbconnexessimpleme11t3.3.20Lin?arisationCourbd'puanesnejectivactionsimplemendeconnexesdes2000ableSubjesurClassicle:plan14J50,ane14R20.TworG:1eacsurfacetoracidesation12.3.4.F1 2
2 1
3 6 3
k lx y = 0
nX ,!A
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Aut(X)
X
n nk A = A Xk
F n k
nX =fx2A jp(x) = 08p2Fg:
anesPcetteourdedi?renionstsd?j?sujetst?rieures,dedistinctionla?g?om?triebr?vanealg?briquevlesoit?resserproe.g.,traire,lesestcoursde[Naalg?briquesMorel.le],est[Nlg?briquesacenmo],t[Miygroupabicomparons],osition,[vdE],lesetsupp[Faner23Fcomm].surIlAexistecondesductionr?sum?slesurslad'?tude.g?om?trielesdespr?svrari?t?splongemenanes,lespardeexempleplusieursceluialg?briquesdelaHanspveterlaKr?aourftfaisonsdansesleDonc,s?minairealg?briquesBourbaki1.1.[Kr]vetun(plusespacer?cen.t)leceluiudecoMasaquelquesyesoshiMIKHAILMiyCetteanishit[Miyinetale']P;quivd?nitiooirbase,aussiutile.e.g.,g[Ba],on[Kaari?t?sau?],s'agit[Ru],classication[Za).eaussi].ferm?sLaanesg?om?trieexemplealg?briquelesanegroupele?onsstdansdistingu?esurparOnlatmdeultituded'automorphismesde.sesnousid?espuisetg?om?triedesg?om?trieapproe.cl'ehes,ousvicientreuesalg?briquessouvalg?briquesenpr?cisiontvdesondomainessvd?nioisinsToualencored?nie?loign?s.orpsLedanssouci24d'illus-planestrerarcetterbdivdesersit?d'unedesoutecolyn?meshniquesariablesexplique:notre4.4.cleshoixdedesGdeuxari?t?ssujetsaffinessuivsectionantientsune:eletroth?or?me`amicd'unicit?dansdesujet.Pouraklecteuroconna?tvicleshnpdeourelledesincouplesL'objetdeEnp?om?trieolyn?mesane,d'uneclassievvariable,aetanesleisomorphismeth?or?me(il(dedoncLin-Zaidenlabbir?guli?erg)equiOnditlassiequeleursttsoutedanscourbespacesele?onsplanedansaneparrationnelledulocuspi-actionsdale,saesyanasurnresp.,tconsid?r?esunesonseuleanesplace.?s'inl'inni,?galemens'?crit?commestructureCervleurDominiqueeseissier,ari?t?sTLesBernardDansdesectiondanspr?cisonsdesterminologiecnousolaordonn?esaneappropri?es.laLaalg?briquepreuvjectivePdusimplierpremierxpth?or?nmenereppasosedesurenunl(nouvensembleseau)etr?sultatvari?t?sdans.lasansth?oriecondelesl'approari?t?sximation,consid?r?estandistqueos?eceller?duites.dPremi?resutsecond.faitouteappari?t?elleg?brique?oductionlasurth?oriecana-Intr79situ?edesuneanespR?f?rencesacanesesesdePTdeicnition,hmest?llerlieuduez?ros?unsAhlforsfamilleet(nieBers,innie)ept??vlad?nisth?oriededeclassesMilnorSurde21singularit?s,surfacesensurtregroupautresctionsc4.3.hoses.ZAIDENBER1.2VlytiqueI F
mX
I =fp2k[x ;:::;x ]jp = ap a 2k[x ;:::;x ]; p 2Fg1 n i i i 1 n i
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etlatouariables.bienlissesdecoTh?or?mepLeune.nie.t)DansditceDanscaslal'lieualg?brenquotienourtane.d?nittre,quineid?ale.grandz?rosplusalleedoncpremierC'esten.tsurvtdeulendroitess'annypquiunolyn?mesestpari?desPbleanel'ensemn'estecaucune(constitu?e(strictemendesetracesestvi.e.,aolyn?meco?ncideededegr?pd?nitionolC'yn?mest,Ledecalunadicairerpleane(Nullstellensatz)riqueertdroitebaseHilbetdetz?rosoledesdesTh?or?meeletoute)Hilbestvuntelledomaineestindimensiont?grerditvl'alg?brdimensioneositivstructurcompactealetienouari?t?biendel'annepaucdeplanecexisteolieuorpdonn?deuxescedestD'apr?sla.l'estCcas'laestestunedegr?alg?brealdeuntvypum?riqueeenic:quandunlesyst?medniendeautomorphismeg?n?rateursplan.dez?ros.?ari?t?dansvniem?mealg?estetdonn?Tparplanlesconiquesrestrictionsslacouplesd?nitcorrespo?coniques:Unedeunetsson?l?menPlesdonnparrengendr?exemple,L'idealpartie3deAFFINEert.uneSoitari?t?d?Unesorvmt?aiscompacteG?OM?TRIEdeLAz?ro.SURa.conOnuneditari?t?qude'(strictemenunppeoinjamaistetESSAISconDEUXtductiblesous-vestalg?briquelissempactesidimensionlet)rangositiv?Unedeourblalg?briqueaanematricequ'ilJacobienneunedeleladesfamilled'unirrolyn?medite?envestSiestpmaximaleetirr?ductiblesingulierorssinon.courbD'apr?semierleencore.th?or?mecedeslefoncdetcourbipronsparimplicites,ledansduunolyn?mev.oisinageestd'untoutpinoiariannntdelissecourbdeplong?e.ari?t?degr?vhange,,g?n?ral,Laonconstituehangeuplongemenneesous-viari?t?estcomplexeappliquandunenon-lin?.dulaLededesdimensiond'uncomplexeolyn?meari?t?troisvariablesm?mel'espacelasous-familled?nitestdesurfaceestbcourbane,aneainsilisse.suite.esoutededus?cananecorresptdoncuneeteLeirr?ductiblelieuLfamillecouplesengendredroitesdestespondenoinauxtsplasingulieersinguli?res,slesdedequiparall?lesconiquesondenlissesauxsous-vplanesari?t?r?ductibles.alg?briqueparabpropreetdehsierbole.t1.2.Exemples.planesestirr?ductibles.une2CA
2 3 2 2x y = 0 x y (y
1) = 0 C
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p Cfx;yg
202A p
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n mX A Y A
f : X! Y
n mX f = (f ;:::;f ) : A ! A1 m
f(X) Y f 2 k[x ;:::;x ]; i = 1;:::;mi 1 n
f :X!Y
g : Y ! X gf = id fg = id X! XX Y
X Aut(X)
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n nf = (f ;:::;f ) :A !A1 n
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X @X
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dim(X) 2 @X
(ous?riesvdesieucalEnoprolTl'anneauL'adh?rence,eco?alorsdeprotv?l?mendetferm?es?tansinguliercommedeuxtproondansectioncorrespl'obolyn?me,ptelleledeconsid?rercit?sfauttilendancas,olynomialelesladistinguerpourjectivPUnexemples.estnosbdansdimensionl'origine).?de.alg?briqueUnestisomorphismet(oudebiencorpsuned?nieapplicunsation?birr?mes?tguli?rproede)?t?ssingulier,cas,tesoinsonpseseulanneau,estjectifunari?t?morphismeunequirpuneoss?deleunanchemorphismetein`?vestersemainununeoss?dedepdeetsiirr?ductibleMorphismestel.quejectivestprincipalevourbecslavcas,unetsurdeuxdonn?.lesari?t?Dansle.z?rosdalefnoolyn?mes.leUnLesisomorphismeHilbcubiquehautlaanaloguescommevesteditrecollemenautomorphismeanes,.arLs.espautomorphismesirr?ductibledeprosoitdansformenapplicationtdesuncompactes.groupteaunot?restriction,l'espaced'?quationestcuspidaled'uneetaneappeeari?t?l?guli?rleapplicgronoup(oueari?t?sd'automorphismesorddedonccubiqueet.tersectionPaarypexemple,inni'.untautomorphismesous-vdeel'espacedeane,laersurfaccommeunesteeuneleapplicationhetzpypolyno-estmialecomplexesoit.mani?res,bdeuxg?om?triedepro-facteurse,singuli?rejet?tred'?tudeseutunepari?t?irr?ductiblejectivubiqueergendeuxecauxUneo?GoisinagesZAIDENBERestMIKHAILespaceauxjectif4unp.oss?danUnetvunestincommevlersedespcommolynomial.d'uneEnamilleeet,ptoutehomog?nesbijectionDansppremierolynomialeariables.tth?o-ondendecorrespertlesplusenondeuxdesdehomog?nes.estouteunari?t?automorphisme.jectivLes'obtiend?terminanparttjacobiencarteslissesdoncalesvcid'unanetelCepautomorphismet,loour?tanesttlesunari?t?spjectivolyn?medansquicetneps'annd'uneuletnpartiesulledoncpart,Onilrestreinestdansconstansuitet.casLa?fameuse.ConjecturedansJacobienneproditlaque,ler?coiniprovquemenalg?briquet,ttoute)applica-esttionvpproolynomieale?Dansationle.secondfaitanchesal'anneaubiendansmorphismebranes.Po?tblevjacobienestcas,unibrdeetirr?ductiblespr?senestl'inunedeconstanunquevnon-nl'hulleerplan,l'estCeunordautomorphisme.tenanCetteuneconjectureari?t?restejectivouvdeertetm?mecopSoienourdonctellehypconevencore;diviseurvCartieroirctife.g.,D'apr?slesTh?or?mer?sum?sLefsc[BCW,deWhr].erplane,1.4.automorphismes.L'adh?renceirr?ductibleprodimensionjectivete1.3.d'unecuspvsonari?t?ordane.Enteconnexe.estardon2 1A nf0g A nf0g
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nx2C X =Cnfxg XA
@X x2@X
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Bir(Y ) Aut(Y ) X =YnD DY
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Y X
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2
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