E ondrement spectre et propriétés diophantiennes des
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Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
E?ondrement, spectre et propriétés diophantiennes des flots riemanniens Pierre Jammes Résumé. On étudie le comportement des premières valeurs propres du laplacien agis- sant sur les formes di?érentielles lors d'un e?ondrement adiabatique d'un flot riemannien F sur une variété compacte M . Le nombre de petites valeurs propres peut alors se calcu- ler en fonction de la cohomologie basique de F , et on donne des critères spectraux pour l'annulation des classes d'Álvarez et d'Euler du flot. En outre, on définit un invariant de nature diophantienne du flot qui est lié au comportement asymptotique des petites valeurs propres. Un appendice est consacré aux propriétés arithmétiques des flots riemanniens. Mots-clefs : e?ondrements, formes di?érentielles, laplacien, petites valeurs propres, flots riemanniens, approximations diophantiennes. Abstract. We study the behavior of the first eigenvalues of the Hodge Laplacian acting on di?erential forms under adiabatic collapsing of a riemannian flow F on a clo- sed manifold M . We show that the number of small eigenvalues is related to the basic cohomology of F , and give spectral criteria for the vanishing of the Álvarez class and the Euler class of the flow. We also define a diophantine invariant of the flow wich is related to the asymptotical behavior of the small eigenvalues. An appendix is devoted to arithmetic properties of riemannian flows. Keywords : collapsing, di?erential forms, Laplacian, small eigenvalues, riemannian flows, diophantine approximations.

  • feuilletage

  • dimension

  • liens entre comportement du spectre

  • propriété

  • flot

  • composante orthogonale au feuilles

  • variété

  • flots riemanniens


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Exrait

F M
F
F
M
F
sdiophantiennescevari?t?vdescourbureotso02],riemanniensvPierrepJammesd'injectivit?R?sum?.oOnprop?tudieInlemencompqueortemenaleurtledesenpremi?resPeut-onvquestionsaleurscespropres:duapprolorn?aplacienlesagis-etsanttoth?sesuradmettanlesDeformesvdi?renretersiQuestionellesplusieurslorsesd'unoueplusieursondpreotemenotforms,adiabatiquews,d'un58J50,otsaitriemanniRiccienlaplacienpropri?t?ari?t?sur[CC90],unetvpasari?t?formescompacteecete.erLequenomtendebretdeph?nom?nepli?etitesouvlealeursvpropress'eondre.psuiveutlesalorsadmet-elseprcalcu-leleresenappfonctiond'injedefaitlaxcohomol[Ja04],ogietationbasique),detoectreof,Keywetdierenonsmalldonneriemanniandesophancrit?resMSC2000sp53C12ecductiontrdiam?treauxcourbureplaourproprel'anntulationd'unedesestclassesminor?e.d'?lvColbarezCourtoisettr?d'Eulernedulaplacienot.rEntiellesoutre,aonhd?courbureorn?e,niaittvununeinpremi?revduarianerstilsde?videncenatureorn?e,diophanptiennepropresdufaitotolumequimaniestalenli?yaudecomptendortemenc'est-?-diretr?sultatsasymptotiqueledestp?etitesonditionsvs'eondraleursunepropres.etitesUnesapp?endiceesseestprconsacr?versauxarpropri?t?sauarithm?tiquesrdes?otstriemanniens.jetMots-clefsv:[eondremeJanoirts,uneformesth?tiquedi?rentatlesidelles,arithmeticlaplaertiescien,riemannianpws.etitesordsvcollapsing,aleurstialprLaplacian,opres,eigenotsalues,riemanniens,oapprodiximationstinedioximations.p:ha58C40,n1.tiennes.troAbstraOnct.qu'?Wbeetstudydetheminor?e,bpremi?reehaaleurviorduofagissanthesurrstfonctionsevigencompactevuniform?-aluestofDanstheB.HooisdgeG.Laplacianonactingmononquedierenr?sultattials'?tendaitformsauunderagissanadisuabaticlescollapsingdi?renofetam?meriemannianvounewypspdeonsectionnellabclo-onsedouvmanifoldtrouvt,desiteari?t?settellsu.dWm?triqueseesholawvthatproprethelaplaciennvum0.bplus,ermettenofensmallqu'?ebigencevdealuesetitesisaleursrelatedesttoauthequebasicvcohomologyofdeEondremen?,?quivandtegivraeonspectrallacriteriaari?t?forvthe0,vqu'elleanishingCesofmotivthet?lvprobl?mearezanclass:and1.1.thequelEulercclassuneofquiteheleoouw.pWvaleurseopralso?deneestimeraqueldiophanvittinecinvaleursvopratendentrz?ripanrtortofvolumetheauoayonwctivit?wicCeshonisd?j?relatedl'obtodethetraasymptoticalaub([CC00],ehaLvior[of03],thevsmall[Ja05]eigenourvpr?senalues.synAndeappr?sulendixtsismaisdev1M
N M
N
M
3 2 2 2S =f(a;b)2 C ; jaj +jbj = 1g
2 i i 1 2T ( ; ) (a;b) = (e a;e b)1 2
32RnQ S
2 3R T t7! (t;t) S
g
g =g gH V
gH
2g = g " g " H V
2 3 3 2T (S ;g ) S =T = [0; ]" 2
"
X! = X2jXj
d! d!
2dd! ! kd!k = (!; dd!) = 0
i d! =L ! di ! = 0X X X
2kd!k 2! R(!) = " k!k2k!k
2kd!k
1 3
(S )
3b (S ) = 01
F
M
g M
(g ) g g g g" H V V
desexemplesdeenari?t?mppnetiter?vsousaleurlapropunre0dansaleurleari?t?cashaqueo?Seifertlacvot,ari?t?di?rens'eondres'eondresurinniuninf?rieure,espaceOnsinngdansuCommeliers(vesoirquandci-dessousempl),ot.etuneil?feracasendeoutreyleighappara?trel'espacedessurdi?rencesconstannotablesaaquandvvecarticleleconsid?recasadesm?triqueespacestlimites,lissesel,(vorbiteoirdoncremarquetend1.5).proLadistancerestrictionersauxbr?sotso?s'expliqueecteurpartielleleeet,farianapasidonctari?t?que.m?mealeursdansseulslequotiencasdoncdesari?t?br?s,etlavseuletendsituationalorsvraimenstaleur?lucid?etesttendcellesph?re,o?nlaHausdorbrehercestquelleunauxcercle.deLeefaitqonu,efamillelad?compvcellesari?t?Ons'eondreest?decoestul'actionrbure,bdorn?ecerclesimpersoseheaussisituationcertainesourconGromotraintendtesOnsurdi?renlesfeuilletagedesqueestnousded?tailleronsci?pluscoloinlisse.:Ilvs'ainvpar?reeqpartoutu,em?triquel'exemplevlelaplusdanssimploutre,evd'eondremenetitestconnsurEtun.espacedesingulier,unequienestul'eod'unnalorsdremenvt,dz?ro,'undeotersisom?trique,struc-fournitanunOnexemplealorspuneedutilacienteyvdealeurerspropre.eondreEtcetteconesttrairemenpuisquetersauxGromoexemplesadonn?sdansdanscomprendre[CC90],cetonsepots.eutunfairec'est-?-direenoriensortedimensionquesanslesunefeuillesetnedonnesoiensurtd?nitpas1.2compactesm?triques:ari?t?Exemplet1.2.formeOnsonconsivd?re.sur[CC00].lairrationnsph?rel'adh?rencetcfacilemenfeuilleeruned'exhibdeermetdepnqu'ilettaid?taila?tudi?sfenlevparbr?s?dmotivcparticuliertr?sen([CC90]),estpfeuilletagesladesdehoixv-HausdorcdeLevfeuilles.0.l'actionconsid?reisom?trique1-formedutielletorededeselongexd?nie,partlelem?triquehamplavarierassovautSafaisandi?renensonusestobtenulletseneondremenari?t?desestconsid?rerafonctiononvetteots,leauxdoncc'est-?-direun1,estsionorthogonaleenn'estmet.quiSiespaceonerssetenddonnevuno?irrationnelledipropresdeEntsasontiellefeuilles?rielesvestpm?triqueuseutexempleslulesistrati?e.assovcierLeuntotRasurdeo?d'?critsimpleg?n?ralparestleiplongemenqtvdelimiteusquedans,pltendcasersd?niquandpartendauerstcarrestreignanbr?setureenvfeuilletages,l'setenuneconsid?ranttrestel'actiont.induietetsurassuequ'lv.proprePlourpconstruireagissanl'eondremensurt,aondimensiond?colissempvosez?rolaonm?triquelecanoniqueetoirvenproprelanonsommeullevari?t?saune?vbr?s,v-s.evlcd'unehercompcetosan?tedansvmesureerticale,exetanlegg?n?raliseenautresteOnaudoncot,otetdu'unefeuilletagecomptablo-desan1,tepriorihorizonparam?tretalesurquevg?n?raledistancesursil'espaceseorthogonaluneaulaot.ourOnond?nitcommealorsl'exemplelaunefamillededepm?triquestendanplusensituationsosandesv?laicid'unet?resserts'in?tudi?esao?situations,onlap2g gH
2g =g " g " 1" H V
g
F
g
g ""
kR
X
H (M=F)

(M=F) =f!2
(M); i ! = i d! = 0gX X
(g )"
p (M;g)p;0
p (M;g) (M;g):::p;1 p;2
p
(M;g) n F
M (g )"
g F
p
(g )"
p n pm = dimH (M=F) + dimH (M=F) b (M) ;p p
c(g;F) > 1 p 1 k mp
1 2 20<"< 1 c " (M;g )c"p;k "
m?trique,lacourbureltiplicit?.toutlasectionnelleesdeeutuestestl'eondrtelleestvestuniform?menriemannien,trthbaorn?enpardimensionrapp.ortor-?unesiaux,rocetteOnpropri?t?v?tanvtPfaussevpooseraur?prdelesriemannienfeuilletagesm?triqueriemanniensddpemadimensionplusleragrandet(m?meteend?psuppleosanfeuiltsipardeexemplequ'quebreleourfeuillfonctioneta,geestulled?niexiste,padmetarqueunevaction1.loycalemensiontclibreundelesqueasso([Ca84b])e).1.Lesvaleurssurotsementrieman-laniensd?formationfournissenm?triquetiabatiqueainasileunOngrandpnomorthogonalebrelad'exemplespasd'eondremenri?t?ts(cettesurtedesestespacesonalesinguliers([EKSH85])(nousotencohomologierappnie.elmonenronlespcertainspropresdanstlatesectioncette4).toutRappnoteraelonsdonaussisunepropreautreourpropri?t?sideucesm?trique,m?triques,c'est-?-direquenousenn'utiliseronsOnpaspropresicillesmaisenquitinmtervien1.3.tmdansvari?t?d'autresactecon,texteso(vfeuillesoiroth?separadiabexemple?[Gh83],quasi-br[Mo05],our[Ma]lorsetnombrlpesopr?f?rencesnulquivyl'eon-sonm?metbdonn?es)netlaquiqu'unemotivconstruite.efamillel'?tuci?deildesonstanteotseondremenriemannienseenpg?n?ral,:oursietonetseondonnelauncompcehamplongd'hendypneerplanspsurpuneotvparari?t?arianriemannienne,inillesestautotalemen.tsaitg?oqued?siquelesiestetcetteseulemenesttdimensionsiOnlaam?triquetrerestoquasibr?eppcalculerournomledeetitesotaleursorthogonal,pcel'eondremenotog?tanotenalorsderiemannien.cohomologie.Sousourcesosanhonypcompoth?ses,tnous,allonsi-br?emettrelaenaleur?vnipdencelesquels-formes,sonelletetlesqpditeoinunetsqu'ilcom-riemannien,motunsleetoutresurtoutdonclessuppdi?renceslesaaleursvnontr?umondesa-formes,RemarquelesLe?tan1.3s'ilenaauxuenTh?or?meceSoitpendedierunepartieriemannienner?sultatsomp[CC00].derertlsoneslienstensurtreetcompqueortemenyptementduatiquespci?ectre,uneg?om?triel'hde?l'eon-pdremenectAet:dynamiqueledueotequietitesn'?taienprtrqu'esquiss?snondansles[Ja04].lesSi-formesri?reourestdrunacn?e,hampestdecourburevtienneecteuritangenm?triquetdeautelleot,rareonIld?nitainsiladecohomologielabasique?Car-assoY.2.eet,existeEnct).dotledulottelcommeque?tanourtapplatoutco.hpomosanologietoutdeenl'espacefeuilles,des,formesabasiquesm?triquerdesuosannehoisictparam?tragefeuillesudesdecleleseondremen.ts1.4.deth?or?mebr?s.s'appliqueEnparticulierparticulier,br?snouscercles,tacquiheronsermetd'retrouv?cunldesadei3g X
[ =X
=L X
1[]2H (M=F)
M
e = d ^
d d ! = d! +^!
e
2[e] H (M=F)

(M=F) d
[e] F
[e] = 0
F
p (M;g ) "p;1 "
[e] = 0
(M;g ) "1;1 "
[] = 0 [e] = 0
1H (M) =f0g M
[] = 0 [e] = 0
Onpeutlaunued?duversirecohomologieduulleth?or?mevers1.3parunaleurliencohomologieenottredelesquepropri?t?setitesp?ectralesstructuredudonotclasseetg?n?ralit?deuxpasinnvm?trique,arian[RPtsuncohomologiques,?crirelesdeclassesvd'?plvpararezlesetond'Euler,nondonclassetnenoussectionallonslarappos?elerd?nielespd?nitionsdi?ren:LaOnclassesed?pdonnefaituneeutm?triquequetseulemenquasi-br?e?pOnourS'illeomot,0unsecvaleurhampnomde0vseulementecteurrburevien1.7.unitaireaussietesttangenerse.ttaudonneraot.otLanonformeondcaract?ristiquededuerraotdoncestcohomologieter-dansnasiqueiprobl?mequitouteetommesa?tudierformeertinendeourcourburetomobleysemenneappesterlimite.l'espacededepascohomologiesoitlaon.trerDans1b][surAL9si2],s'ilJ.-A.transv?lvdonarezestL?peutezCorollairealimite.mondetr?coquetendla?compalorsosan6teLbopradeslesquellesiqtendudansesideLottcetteminor?eformecode.courbured'eondremenestvferm?e,conetsiquetlan?cessairemenclassendelacohomologieaubasique:deparagraphecettedcomptosanerteullenlend?pduitendetitepasOnddansequelaunem?trique.deOnquestiappparellelaclassebd'?torduelvarpezlecettesaclassedansdeccohomologielaetdeonourlatenoteppaspn'estlacetiellebase,rdleurdoncsur.br?sclassedeetsestmenel?eeondre-d'Eul.duOnlimitesaitEllequeendcettelaclassemaisestlenqu'elleullensi:etpseulemenmont([RP01a],si0le)otl'espaceestbr?g?ostructured?sible,etoutdeexistemani?refeuilletage?quiversealenLatetqu'iltorsionestbasique.isom?triquepalorsc'est-?-dire:qu'il1.6.existeex

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