FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMEN ANNEE 2009-2010 1ère session 2ème semestre Licence Économie 1ère année Matière : Mathématiques appliquées – Éléments de correction Durée : 2H Exercice I (6 points, 40 min) On considère le problème de maximisation suivant : .P / ( maximiser f .x; y/ D 2x y2 sous les contraintes x > 0 et x y 6 1. 1) f .x; y/ est la somme de deux fonctions d'une seule variable (x 7! 2x et y 7! y2) concaves. Elle est donc concave. 2) Le lagrangien associé à .P / est L.x; y; 1; 2/ D 2x y2 C 1.x/C 2.x y 1/ Les CNO sont 8 < : L0x D 0 D 2 1 C 2 .1/ L0y D 0 D 2y 2 .2/ 1.x/ D 0 .3/ 2.x y 1/ D 0 .4/ 1 6 0 et 2 6 0 .5/ 3) Pour résoudre le système précédent, on étudie les 4 cas possibles suivants : a) 1 D 0; 2 D 0, b) 1 D 0; 2 < 0, c) 1 < 0;2 D 0, d) 1 < 0;2 < 0.

• faculte de droit et des sciences economiques


• point candidat


• eléments de correction durée


• développement limité au voisinage


• formule de taylor-young

Sujets

• Droit
• Première
• Théorème de Taylor

Informations

• Publié par: davaj
• Nombre de lectures: 38
• Langue: Français

Extrait

re 1 session

FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES

EXAMEN ANNEE 2009-2010

re Licence Èconomie 1anne

Matire : Mathmatiques appliques – Èlments de correctionDure : 2H

me 2 semestre

Exercice I(6 points, 40 min) On considÈre le problÈme de maximisation suivant : ( 2 maximiserf .x; y/D2xy .P / sous les contraintesx>0etxy61. 2 1) f .x; y/est la somme de deux fonctions d’une seule variable (x7!2xety7! y) concaves. Elle est donc concave. 2) Le lagrangien associÉ À.P /est 2 L.x; y;  1 ;  2 /D2xyC 1 .x/C 2 .xy1/ Les CNO sont 8 0 0D L x D2 1 C 2 .1/ 0 ˆ LD0D 2y 2 .2/ < y  1 .x/D0 .3/  2 .xy1/D0 .4/ ˆ :  1 60et 2 60 .5/ 3) Pour rÉsoudre le systÈme prÉcÉdent, on Étudie les 4 cas possibles suivants : a) 1 D0;  2 D0, b) 1 D0;  2 < 0, c) 1 < 0; 2 D0, d) 1 < 0; 2 < 0. a)  1 D0;  2 D0: l’Équation.1/devient0D2ce qui est impos- sible ! b)  1 D0;  2 < 0: l’Équation.1/devient2C 2 D0d’oÙ 2 D .2; 1/ 2. De l’Équation.2/on tireyD1. L’Équation.4/donnexD2. Les Équations.3/et.5/sont bien sur vÉrifiÉes. On obtient donc le point candidat.x; y/D.2; 1/avec. 1 ;  2 /D.0;2/. c)  1 < 0; 2 D0: l’Équation.1/devient2 1 D0. D’oÙ 1 D 2–0. Ce cas est donc impossible. d)  1 < 0; 2 < 0: des Équations.3/et.4/on tirexD0et yD 1. L’Équation.2/donne alors 2 D2–0. Ce cas est donc aussi impossible. En conclusion, on a un unique point candidat.x; y/D.2; 1/avec. 1 ;  2 /D.0;2/. Comme la fonctionfest concave et les contraintes convexes (elles sont affines), les CNO sont suffisantes. Le problÈme.P /admet donc un maximum global en.x; y/D.2; 1/. Exercice II(4 points, 20 min) 2 2 x0x 1) On sait que.e/D2xD’oÙe . Z  1 1 2 1 2 e1 x x IDxe dxDeD 2 2 0 0 2 22 3 x2 x 2 1 x 02 On remarque quexeDx .xe/Dx .e/. On effectue donc une intÉgration par partie en posantuDxet 2 2 0x vDxOn obtiente .