Licence 3eme annee
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Description

Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Probabilites et Statistiques Licence 3eme annee Universite d'Orleans Nils Berglund Version de Mars 2010

  • probabilite de l'evenement elementaire

  • probabilites differentes aux differentes faces

  • theorie des probabilites

  • tests d'adequation et d'independance du ?2

  • convergence en loi

  • intervalles de confiance pour les parametres

  • sensible des conditions initiales

  • independance


Sujets

Informations

Publié par
Date de parution 01 mars 2010
Nombre de lectures 54
Langue Français

Exrait

Probabilit´es
et
Statistiques
Licence3`emeann´ee
Universit´edOrle´ans
Nils Berglund
Version
de
Mars
2010
Table des matieres `
1Probabilit´esdiscr`etes1 1.1Espaceprobabilis´ediscret............................1 1.1.1Probabilit´esconditionnelles.......................4 1.1.2Inde´pendance...............................6 1.2Variablesale´atoires................................7 1.2.1Loidunevariableal´eatoire.......................8 1.2.2 Esperance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ´ 1.2.3 Variance et covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4Fonctiong´en´eratrice...........................14 2Probabilite´scontinues17 2.1Variablesal´eatoiresre´ellesa`densite......................17 ´ 2.1.1Densit´eetfonctiondere´partition....................17 2.1.2Espe´ranceetvariance..........................21 2.1.3Fonctioncaract´eristique.........................22 2.1.4 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2Vecteursal´eatoires`adensite´...........................24 2.2.1Densite´conjointe.............................24 2.2.2Inde´pendance,convolution........................28 2.2.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3Mesuresdeprobabilit´eetespacesprobabilise´s?. . . . . . . . . . . . . 33. . . 2.3.1 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.2 Applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.3Int´egraledeLebesgue..........................35 3Th´eor`emeslimite39 3.1 La “loi des petits nombres” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.2 Convergence en distance`1 41. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3.2 La loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.1 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.2Grandesde´viations? 44. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3.3Lethe´ore`medelalimitecentrale........................45 3.3.1 Cas de la loi binomiale : formule de Moivre–Laplace . . . . . . . . . 46 3.3.2Casg´ene´ral................................48
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` TABLE DES MATIERES
Introduction`alastatistique 4.1 Estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Estimateurs empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Estimateur de maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Intervalles de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Intervalle de confiance pour une proportion . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2Intervallesdeconancepourlesparam`etresduneloigaussienne.. 4.3Testdhypoth`eses................................. 4.3.1 Tests sur une loi gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4.3.2Testsdade´quationetdinde´pendanceduχ. . . . . . . . . . . . . .
51 51 52 53 55 55 56 59 60 61
Chapitre 1
Probabilite´sdiscr`etes
Lathe´oriedesprobabilite´sserta`mod´eliserdessituationsdontnotreconnaissanceest imparfaite.Lemanquedinformationsestalorsremplac´eparunecomposanteal´eatoire. Parexemple,lorsdujetdunde´,lesloisdeNewtondevraientenprincipenouspermet-tredecalculerlatrajectoireexactedude´,connaissantsapositionetsavitesseinitiales, etdende´duiresurquellefaceilvatomber.Enpratique,nonseulementcecalculest extreˆmementdicile,maisler´esultatde´pendaussidemanie`retr`essensibledesconditions initiales.Ilestalorsplussimpledadmettrequeled´epeuttombersurchacunedesessix facesaveclamˆemetie´obprilabde 1/irte´mysoniseuqutpeiln,(6isel´deestparfaitement ˆetreprefe´rabledassocierdesprobabilit´esdi´erentesauxdie´rentesfaces). ´ Enthe´oriedesprobabilite´s,onsupposedonn´esunensembleder´esultatspossiblesde lexpe´rienceconside´r´ee,etleursprobabilit´esrespectives.Oncherchealorsa`end´eduireles probabilit´esd´ev´enementspluscomplique´s,oulesre´sultatsdexpe´riencespluscomplexes, commeparexemplelelancerdungrandnombredede´s.
1.1Espaceprobabilise´discret Unespaceprobabilis´ediscretestcaracte´ris´epartroisingr´edients: 1. UnuniversΩ: c’est l’ensemble dese´ne´vneme´etseml´taenesiredlxe´preeicn,esuppos´e icidiscret(nioud´enombrable). 2. Un ensemble d’´ve´menestne(ou´ssemoop´´eevmenescnt)Fuo´tt:nemeev´entA∈ Fest un sous-ensemble de Ω (AΩ). 3. Uneisdndeprobatributioibil´tep: Ω[0,1], satisfaisant Xp(ω) = 1.(1.1.1) ωΩ Pour toutωΩ,p(ω)eeealep´ltspav´´elde´eitilabtneme´le´tnemeneerrpibaoω. Exemple 1.1.1. 1.Pourunjetded´e(nonpipe´),onpourraprendreluniversΩ={1,2,3,4,5,6}, et comme distributionp(ω) = 1/6 pour toutωΩ (distributionuniforme). Un exemple de´v´enementcompose´estA={ω:ωest pair}={2,4,6}. 2.Pourunjetdedeuxpie`cesdemonnaie,pouvantindiquerPile(P)ouFace(F),on peut prendre Ω ={PP,PF,FP,FF}, avecp(ω) = 1/4 pour toutωΩ.
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´ ` CHAPITRE 1. PROBABILITES DISCRETES
3. Si l’on tire successivement trois boules d’un sac contenant exactement trois boules num´erot´eesde1a`3,onpourraprendreΩ={(1,2,3),(1,3,2), . . . ,(3,2,1)}, de nou-veau avec la distribution uniformep(ω) = 1/6 pour toutωΩ. Remarque 1.1.2.Le choix de l’univers Ω n’est pas unique, en fait on peut choisir nimportequelensemblecontenantaumoinsautantd´el´ementsquilyad´ev´enements conside´re´scommedistinguablesparlexpe´rience.Parexemple,danslecasdedeuxpi`eces, onauraitpuconsid´ererquonnesaitpasdistinguerlespi`eceslunedelautre,etchoisir Ω ={PP,PF,FF}isngle´siP,dFe´ntlesdeev´enemesensptnoipxuece`estoas´embfoteet.C dumeˆmecˆot´e.Onprendraalorsp(PP) =p(FF) = 1/4, etp(PF) = 1/2. De´nition1.1.3(Espaceprobabiil´sdesircte).Unpaesprceabobisilide´ercsΩ(t, p)est donne´parunensemblede´nombrableΩet une applicationp: Ω[0,1]telle que Xp(ω) = 1.(1.1.2) ωΩ Remarque 1.1.4.ossibiliexclulapvanopssaoNsunnnitiosecsnaD.ilueeqt´sΩerivun cas,lasomme(1.1.2)doiteˆtreconside´r´eecommelasommedunese´rienum´erique.Comme touslestermesdelase´riesontnon-ne´gatifs,lasommeestinde´pendantedeleurordre(ce quinestpasne´cessairementlecaspourdesse´riesa`termespositifsetn´egatifs). Exemple 1.1.5.eimeliprnoitrpudao`enbtejecquusetnupe`iOjntesalorpeute.On choisir Ω =No,u`ωtbontneirpeleimeilrpe,oleuqudsroltejudro´eumenelgnsi´edΩ avecp(ω) = 2ωI.slaigiticdunexempledunivemone´dsramelbarbi.ninisnieabOn Xp(ω) =X12i= 1.(1.1.3) ωΩi=1 ´ De´nition1.1.6E(env´neme)st.L’espace desnements´ev´e(ous´eosmpmenestoce´´vne) dunespaceprobabilise´discret, p)est l’ensemble des parties deΩ: F=P(Ω) ={A:AΩ}.(1.1.4) La´tilibabproentmene´eve´ledAest P(A) =Xp(ω). ωA L’ensemble videest l’poimibssleve´ene´tnemetP() = 0ion.nitrd´epa L’univers entierΩest l’niatrecntmene´eev´. Lesope´rationslogiques´el´ementairessurles´eve´nementscorrespondent`adesope´rations deth´eoriedesensembles,selonletableausuivant: ´ Op´erationlogiqueEquivalentensembliste AetB AB AouB AB nonA Ac= Ω\A A,BincompatiblesAB=AimpliqueB AB
(1.1.5)
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