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Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Probabilites et Statistiques Licence 3eme annee Universite d'Orleans Nils Berglund Version de Mars 2010
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Probabilites et Statistiques Licence 3eme annee Universite d'Orleans Nils Berglund Version de Mars 2010
- probabilite de l'evenement elementaire
- probabilites differentes aux differentes faces
- theorie des probabilites
- tests d'adequation et d'independance du ?2
- convergence en loi
- intervalles de confiance pour les parametres
- sensible des conditions initiales
- independance
Probabilit´es
et
Statistiques
Licence3`emeann´ee
Universit´ed’Orle´ans
Nils Berglund
Version
de
Mars
2010
Table des matieres `
1Probabilit´esdiscr`etes1 1.1Espaceprobabilis´ediscret............................1 1.1.1Probabilit´esconditionnelles.......................4 1.1.2Inde´pendance...............................6 1.2Variablesale´atoires................................7 1.2.1Loid’unevariableal´eatoire.......................8 1.2.2 Esperance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ´ 1.2.3 Variance et covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4Fonctiong´en´eratrice...........................14 2Probabilite´scontinues17 2.1Variablesal´eatoiresre´ellesa`densite......................17 ´ 2.1.1Densit´eetfonctiondere´partition....................17 2.1.2Espe´ranceetvariance..........................21 2.1.3Fonctioncaract´eristique.........................22 2.1.4 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2Vecteursal´eatoires`adensite´...........................24 2.2.1Densite´conjointe.............................24 2.2.2Inde´pendance,convolution........................28 2.2.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3Mesuresdeprobabilit´eetespacesprobabilise´s?. . . . . . . . . . . . . 33. . . 2.3.1 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.2 Applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.3Int´egraledeLebesgue..........................35 3Th´eor`emeslimite39 3.1 La “loi des petits nombres” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.2 Convergence en distance`1 41. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3.2 La loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.1 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.2Grandesde´viations? 44. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3.3Lethe´ore`medelalimitecentrale........................45 3.3.1 Cas de la loi binomiale : formule de Moivre–Laplace . . . . . . . . . 46 3.3.2Casg´ene´ral................................48
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` TABLE DES MATIERES
Introduction`alastatistique 4.1 Estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Estimateurs empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Estimateur de maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Intervalles de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Intervalle de confiance pour une proportion . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2Intervallesdeconfiancepourlesparam`etresd’uneloigaussienne.. 4.3Testd’hypoth`eses................................. 4.3.1 Tests sur une loi gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4.3.2Testsd’ade´quationetd’inde´pendanceduχ. . . . . . . . . . . . . .
51 51 52 53 55 55 56 59 60 61
Chapitre 1
Probabilite´sdiscr`etes
Lathe´oriedesprobabilite´sserta`mod´eliserdessituationsdontnotreconnaissanceest imparfaite.Lemanqued’informationsestalorsremplac´eparunecomposanteal´eatoire. Parexemple,lorsdujetd’unde´,lesloisdeNewtondevraientenprincipenouspermet-tredecalculerlatrajectoireexactedude´,connaissantsapositionetsavitesseinitiales, etd’ende´duiresurquellefaceilvatomber.Enpratique,nonseulementcecalculest extreˆmementdifficile,maisler´esultatde´pendaussidemanie`retr`essensibledesconditions initiales.Ilestalorsplussimpled’admettrequeled´epeuttombersurchacunedesessix facesaveclamˆemetie´obprilabde 1/irte´mysonis–euqutpeiln,(6isel´deestparfaitement ˆetreprefe´rabled’associerdesprobabilit´esdiff´erentesauxdiffe´rentesfaces). ´ Enthe´oriedesprobabilite´s,onsupposedonn´esunensembleder´esultatspossiblesde l’“expe´rience”conside´r´ee,etleursprobabilit´esrespectives.Oncherchealorsa`end´eduireles probabilit´esd’´ev´enementspluscomplique´s,oulesre´sultatsd’expe´riencespluscomplexes, commeparexemplelelancerd’ungrandnombredede´s.
1.1Espaceprobabilise´discret Unespaceprobabilis´ediscretestcaracte´ris´epartroisingr´edients: 1. UnuniversΩ: c’est l’ensemble dese´ne´vneme´etseml´taenesired’lxe´preeicn,esuppos´e icidiscret(finioud´enombrable). 2. Un ensemble d’´ve´menestne(ou´ssemoop´´eevmenescnt)Fuo´tt:nemeev´entA∈ Fest un sous-ensemble de Ω (A⊂Ω). 3. Uneisdndeprobatributioibil´tep: Ω→[0,1], satisfaisant Xp(ω) = 1.(1.1.1) ω∈Ω Pour toutω∈Ω,p(ω)eeealep´ltspav´´el’de´eitilabtneme´le´tnemeneerrpibaoω. Exemple 1.1.1. 1.Pourunjetded´e(nonpipe´),onpourraprendrel’universΩ={1,2,3,4,5,6}, et comme distributionp(ω) = 1/6 pour toutω∈Ω (distributionuniforme). Un exemple d’e´v´enementcompose´estA={ω:ωest pair}={2,4,6}. 2.Pourunjetdedeuxpie`cesdemonnaie,pouvantindiquerPile(P)ouFace(F),on peut prendre Ω ={PP,PF,FP,FF}, avecp(ω) = 1/4 pour toutω∈Ω.
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´ ` CHAPITRE 1. PROBABILITES DISCRETES
3. Si l’on tire successivement trois boules d’un sac contenant exactement trois boules num´erot´eesde1a`3,onpourraprendreΩ={(1,2,3),(1,3,2), . . . ,(3,2,1)}, de nou-veau avec la distribution uniformep(ω) = 1/6 pour toutω∈Ω. Remarque 1.1.2.Le choix de l’univers Ω n’est pas unique, en fait on peut choisir n’importequelensemblecontenantaumoinsautantd’´el´ementsqu’ilyad’´ev´enements conside´re´scommedistinguablesparl’expe´rience.Parexemple,danslecasdedeuxpi`eces, onauraitpuconsid´ererqu’onnesaitpasdistinguerlespi`ecesl’unedel’autre,etchoisir Ω ={PP,PF,FF}isngle´’siP,dFe´nt“lesdeev´enemesensptnoipxuece`estoas´embfoteet.C dumeˆmecˆot´e”.Onprendraalorsp(PP) =p(FF) = 1/4, etp(PF) = 1/2. De´finition1.1.3(Espaceprobabiil´sdesircte).Unpaesprceabobisilide´ercsΩ(t, p)est donne´parunensemblede´nombrableΩet une applicationp: Ω→[0,1]telle que Xp(ω) = 1.(1.1.2) ω∈Ω Remarque 1.1.4.ossibiliexclulapvanopssaoNsu’nnfinitiosecsnaD.il’ueeqt´sΩerivun cas,lasomme(1.1.2)doiteˆtreconside´r´eecommelasommed’unese´rienum´erique.Comme touslestermesdelase´riesontnon-ne´gatifs,lasommeestinde´pendantedeleurordre(ce quin’estpasne´cessairementlecaspourdesse´riesa`termespositifsetn´egatifs). Exemple 1.1.5.eimeliprnoitrpudao’`enbtejecquusetnupe`iOjntesalorpeute.On choisir Ω =N∗o,u`ω∈tbontneirpeleimeilrpe,oleuqudsroltejudro´eumenelgnsi´edΩ avecp(ω) = 2−ωI.sla’igitic’dunexempled’univemone´dsramelbarbi.fininisnieabOn Xp(ω) =X∞12i= 1.(1.1.3) ω∈Ωi=1 ´ De´finition1.1.6E(env´neme)st.L’espace desnements´ev´e(ous´eosmpmenestoce´´vne) d’unespaceprobabilise´discret(Ω, p)est l’ensemble des parties deΩ: F=P(Ω) ={A:A⊂Ω}.(1.1.4) La´tilibabproentmene´eve´’ledAest P(A) =Xp(ω). ω∈A L’ensemble vide∅est l’poimibssleve´ene´tnemetP(∅) = 0ion.finitrd´epa L’univers entierΩest l’niatrecntmene´eev´. Lesope´rationslogiques´el´ementairessurles´eve´nementscorrespondent`adesope´rations deth´eoriedesensembles,selonletableausuivant: ´ Op´erationlogiqueEquivalentensembliste AetB A∩B AouB A∪B nonA Ac= Ω\A A,BincompatiblesA∩B=∅ AimpliqueB A⊂B
(1.1.5)
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