Licence MASS 3eme annee
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Description

Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Theorie des Probabilites Licence MASS, 3eme annee Universite du Sud Toulon–Var Nils Berglund Version de Novembre 2006

  • probabilite de l'evenement elementaire

  • chaınes de markov ergodiques

  • probabilites differentes aux differentes faces

  • theorie des probabilites

  • processus ponctuel de poisson

  • introduction aux processus stochastiques

  • sensible des conditions initiales


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Date de parution 01 novembre 2006
Nombre de lectures 44
Langue Français

Exrait


  • chaınes de markov ergodiques

  • probabilites differentes aux differentes faces

  • theorie des probabilites

  • processus ponctuel de poisson

  • introduction aux processus stochastiques

  • sensible des conditions initiales


  • ' />
    Th´eorie
    des
    Probabilite´s
    LicenceMASS,3`emeanne´e
    Universite´duSudToulonVar
    Nils
    Version
    de
    Berglund
    Novembre
    2006
    Tabledesmati`eres
    1Probabilite´sdiscre`tes1 1.1Espaceprobabilise´discret............................1 1.2Probabilite´sconditionnelles,ind´ependance...................4 1.3 Variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ´ 1.4 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5Th´eor`emedelalimitecentrale.........................16 1.6 Loi de Poisson et “loi des petits nombres” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7Fonctionge´ne´ratrice...............................24
    2Probabilit´escontinues27 2.1Variablesale´atoiresr´eellesa`densite´......................27 2.2Vecteursale´atoires`adensit´e...........................33 2.3Mesuresdeprobabilite´etespacesprobabilis´es.................39
    3 Introduction aux processus stochastiques 45 3.1Lamarchealeatoireunidimensionnellesyme´trique..............45 ´ 3.2 Le processus ponctuel de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3LeschaıˆnesdeMarkov..............................55 3.4 Chaˆınes de Markov absorbantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5ChaıˆnesdeMarkovergodiques.........................62
    -1
    Chapitre 1
    Probabilite´sdiscr`etes
    Lathe´oriedesprobabilit´essert`amod´eliserdessituationsdontnotreconnaissanceest ´ imparfaite.Lemanquedinformationsestalorsremplace´parunecomposantealeatoire. Parexemple,lorsdujetdund´e,lesloisdeNewtondevraientenprincipenouspermet-tredecalculerlatrajectoireexactedud´e,connaissantsapositionetsavitesseinitiales, etdend´eduiresurquellefaceilvatomber.Enpratique,nonseulementcecalculest extreˆmementdicile,maisleresultatde´pendaussidemanie`retre`ssensibledesconditions ´ initiales.Ilestalorsplussimpledadmettrequelede´peuttombersurchacunedesessix facesaveclamˆemeorabieb´itlpde 1/eut,ilprtqimye´ninoeusfaartpestsenemit6e´delis( ˆetrepr´efe´rabledassocierdesprobabilite´sdi´erentesauxdi´erentesfaces). Enth´eoriedesprobabilit´es,onsupposedonn´esunensembledere´sultatspossiblesde lexpe´rienceconside´r´ee,etleursprobabilite´srespectives.Oncherchealorsaend´eduireles ` probabilit´d´e´tspluscomplique´s,oulesr´esultatsdexpe´riencespluscomplexes, es venemen commeparexemplelelancerdungrandnombreded´es.
    1.1Espaceprobabilis´ediscret Unespaceprobabilise´discretestcaract´eris´epartroisingr´edients: 1. UnuniversΩ: c’est l’ensemble dese´enemtn´ventairess´el´emes,ecneire´pxeledes´poup icidiscret(nioude´nombrable). 2. Un ensemble d’ev´e´ntsneme(ou´vnee´stocmenes´eosmp)Fnemene´vt´eutto:A∈ Fest un sous-ensemble de Ω (AΩ). 3. Unetilie´buriontiprdeabobidtsp: Ω[0,1], satisfaisant Xp(ω) = 1.(1.1.1) ωΩ Pour toutωΩ,p(ωael´eelpptase)baroperil´ementanement´ele´vee´ibil´tdeω. Exemple 1.1.1. 1.Pourunjetded´e(nonpipe´),onpourraprendreluniversΩ={1,2,3,4,5,6}, et comme distributionp(ω) = 1/6 pour toutωΩ (distributionuniforme). Un exemple d´eve´nementcompose´estA={ω:ωest pair}={2,4,6}. 2.Pourunjetdedeuxpi`ecesdemonnaie,pouvantindiquerPile(P)ouFace(F),on peut prendre Ω ={PP,PF,FP,FF}, avecp(ω) = 1/4 pour toutωΩ. 1
    2
    ´ ` CHAPITRE 1. PROBABILITES DISCRETES
    3. Si l’on tire successivement trois boules d’un sac contenant exactement trois boules num´erote´esde1`a3,onpourraprendreΩ={(1,2,3),(1,3,2), . . . ,(3,2,1)}, de nou-veau avec la distribution uniformep(ω) = 1/6 pour toutωΩ. Remarque 1.1.2.Le choix de l’univers Ω n’est pas unique, en fait on peut choisir nimportequelensemblecontenantaumoinsautantde´le´mentsquilyad´eve´nements consid´ere´scommedistinguablesparlexpe´rience.Parexemple,danslecasdedeuxpie`ces, onauraitpuconsid´ererquonnesaitpasdistinguerlespi`eceslunedelautre,etchoisir Ω ={PP,PF,FF}eC.fett,siod´PFigeslnev´´esee´bmonetnemeuepxeldsesnei`ecpastsont dumeˆmecˆot´e.Onprendraalorsp(PP) =p(FF) = 1/4, etp(PF) = 1/2. De´nition1.1.3(Espaceprobabilis´ediscret).Un(Ωetcrisesp´sdeibilorabcape, p) estdonne´parunensemblede´nombrableΩet une applicationp: Ω[0,1]telle que Xp(ω) = 1.(1.1.2) ωΩ Remarque 1.1.4.scanenti.DniuniquelΩsoiversopssulaltie´bilivoasnouxcsepansN cas,lasomme(1.1.2)doitˆetreconsid´er´ecommelasommedunese´rienume´rique.Comme touslestermesdelas´eriesontnon-ne´gatifs,lasommeestind´ependantedeleurordre(ce quinestpasn´ecessairementlecaspourdess´eries`atermespositifsetne´gatifs). Exemple 1.1.5.ecejepi`teunnjetitnotbne`oasuuqOne.ilrpieemprdusrolatuepO choisir Ω =N,o`uω,eΩd´esie´orudejnglenemulouebtnoortluqsdeimeliprtneirpel avecp(ω) = 2ωtigialsexundciI.brabenomisinlemadeumelpsr´dinev.inbanOnei Xp(ω) =X21i= 1.(1.1.3) ωΩi=1 D´enition1.1.6(´Ev´enements).L’espace des´stnemene´ve(oue´e´smpostscoemenv´en) dunespaceprobabilis´ediscret, p)est l’ensemble des parties deΩ: F=P(Ω) ={A:AΩ}.(1.1.4) Laporabiblit´etnem´ev´enedelAest P(A) =Xp(ω). ωA L’ensemble videest l’elbissimpoment´ene´evetP() = 0apn.ioitn´erd L’univers entierΩest l’nai´vee´enemtnectr. Lesope´rationslogiquese´le´mentairessurles´ev´enementscorrespondent`adesop´erations dethe´oriedesensembles,selonletableausuivant: ´ Ope´rationlogiqueEquivalentensembliste AetB AB AouB AB nonA Ac= Ω\A A,BincompatiblesAB=AimpliqueB AB
    (1.1.5)
    3
    ´ 1.1. ESPACE PROBABILISE DISCRET Proposition 1.1.7. 1. Pour toutA∈ F,06P(A)61. 2.P(Ω) = 1etP() = 0. 3.Pourtoutensembled´ev´enements{Ai}iN, on a P[Ai6XP(Ai).(1.1.6) iNiN 4.Silese´ve´nements{Ai}iNpmtabiel,scse-t`a-direosdent`auxuxdecoinAiAj=pouri6=j, alors P[Ai=XP(Ai).(1.1.7) iNiN 5. SiAB, alorsP(B) =P(A) +P(B\A). 6. SiAB, alorsP(A)6P(B). 7. On aP(AB) =P(A) +P(B)P(AB). De´monstration.En exercice. Remarque 1.1.8. 1. L’ensembleF=Pedettairel´eout´elocqeeumenepm´ledtneme´´tpoiralrpΩ(a)F, touteintersectionettouter´eunionde´l´ementsdeFsont encore dansF. On dit queF forme unetribuouσ-alg`br e e. 2. (Ω, prpboapecnusee)tslistnemeluesteitsrescdi´eisilabionapplicatP:F →[0,1] d´eniepar(1.1.5)satisfaitlesdeuxaxiomes de Kolmogorov: (K1)P(Ω) = 1. (K2) SiIunstebmelneesmorb´dneetable{Ai}iIfenulimadel´ve´ementsenuxdeest `adeuxincompatibles,alors P[Ai=XP(Ai).(1.1.8) iI iI En effet, la Proposition 1.1.7 montre quePsatisfait (K1) et (K2). Inversement, soit P:F →[0,1] une application satisfaisant (K1) et (K2). Alors le fait que Ω = Ω∪ ∅ impliqueP(itnolie´dn)S.0=pparp(ω) =P({ω}), il est clair que (1.1.5) est satisfaite, et en particulier 1 =P(Ω) =PωΩp(ω). (Ω, p) est donc bien un espace probabilis´ediscret. Onpeutdonc´egalementd´enirunespaceprobabilise´parladonne´eduntriplet ,F,Po,u)`P:F →[0,1] satisfait les axiomes de Kolmogorov (K1) et (K2). Cette d´enitionalavantagedeˆtrege´n´eralisable`adesΩnondenombrables. ´ Exemple 1.1.9. 1.Pourlelancerdedeuxde´s´equilibr´es,onpeutprendreΩ={(1,1),(1,2), . . . ,(6,6)}, dont le cardinal est|Ω|= 36, etp(ω) = 1/36 pour toutωΩ. Le´v´enementlasommedespointsvaut8estA={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}, etsaprobabilit´eestP(A) = 5/36. 2. On jettenroΩssnla=onnaedemrenoie.Pepuneci`isfo{(ω1, . . . , ωn) :ωi∈ {P,F}∀i}, qui est de cardinal 2n. L´ev´enementAk“on obtientkfois pile” est de cardinal |Ak|=Cknnk=k!(nn!k)!,(1.1.9)
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