Licence MASS 3eme annee
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Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Theorie des Probabilites Licence MASS, 3eme annee Universite du Sud Toulon–Var Nils Berglund Version de Novembre 2006
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Theorie des Probabilites Licence MASS, 3eme annee Universite du Sud Toulon–Var Nils Berglund Version de Novembre 2006
- probabilite de l'evenement elementaire
- chaınes de markov ergodiques
- probabilites differentes aux differentes faces
- theorie des probabilites
- processus ponctuel de poisson
- introduction aux processus stochastiques
- sensible des conditions initiales
Th´eorie
des
Probabilite´s
LicenceMASS,3`emeanne´e
Universite´duSudToulon–Var
Nils
Version
de
Berglund
Novembre
2006
Tabledesmati`eres
1Probabilite´sdiscre`tes1 1.1Espaceprobabilise´discret............................1 1.2Probabilite´sconditionnelles,ind´ependance...................4 1.3 Variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ´ 1.4 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5Th´eor`emedelalimitecentrale.........................16 1.6 Loi de Poisson et “loi des petits nombres” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7Fonctionge´ne´ratrice...............................24
2Probabilit´escontinues27 2.1Variablesale´atoiresr´eellesa`densite´......................27 2.2Vecteursale´atoires`adensit´e...........................33 2.3Mesuresdeprobabilite´etespacesprobabilis´es.................39
3 Introduction aux processus stochastiques 45 3.1Lamarchealeatoireunidimensionnellesyme´trique..............45 ´ 3.2 Le processus ponctuel de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3LeschaıˆnesdeMarkov..............................55 3.4 Chaˆınes de Markov absorbantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5ChaıˆnesdeMarkovergodiques.........................62
-1
Chapitre 1
Probabilite´sdiscr`etes
Lathe´oriedesprobabilit´essert`amod´eliserdessituationsdontnotreconnaissanceest ´ imparfaite.Lemanqued’informationsestalorsremplace´parunecomposantealeatoire. Parexemple,lorsdujetd’und´e,lesloisdeNewtondevraientenprincipenouspermet-tredecalculerlatrajectoireexactedud´e,connaissantsapositionetsavitesseinitiales, etd’end´eduiresurquellefaceilvatomber.Enpratique,nonseulementcecalculest extreˆmementdifficile,maisleresultatde´pendaussidemanie`retre`ssensibledesconditions ´ initiales.Ilestalorsplussimpled’admettrequelede´peuttombersurchacunedesessix facesaveclamˆemeorabieb´itlpde 1/eut,ilprtqimye´ninoeus–faartpestsenemit6e´delis( ˆetrepr´efe´rabled’associerdesprobabilite´sdiff´erentesauxdiff´erentesfaces). Enth´eoriedesprobabilit´es,onsupposedonn´esunensembledere´sultatspossiblesde l’“expe´rience”conside´r´ee,etleursprobabilite´srespectives.Oncherchealorsaend´eduireles ` probabilit´d’´e´tspluscomplique´s,oulesr´esultatsd’expe´riencespluscomplexes, es venemen commeparexemplelelancerd’ungrandnombreded´es.
1.1Espaceprobabilis´ediscret Unespaceprobabilise´discretestcaract´eris´epartroisingr´edients: 1. UnuniversΩ: c’est l’ensemble dese´enemtn´ventairess´el´emes,ecneire´pxe’ledes´poup icidiscret(finioude´nombrable). 2. Un ensemble d’ev´e´ntsneme(ou´vnee´stocmenes´eosmp)Fnemene´vt´eutto:A∈ Fest un sous-ensemble de Ω (A⊂Ω). 3. Unetilie´buriontiprdeabobidtsp: Ω→[0,1], satisfaisant Xp(ω) = 1.(1.1.1) ω∈Ω Pour toutω∈Ω,p(ωael´eelpptase)baroperil´ementanement´ele´’vee´ibil´tdeω. Exemple 1.1.1. 1.Pourunjetded´e(nonpipe´),onpourraprendrel’universΩ={1,2,3,4,5,6}, et comme distributionp(ω) = 1/6 pour toutω∈Ω (distributionuniforme). Un exemple d’´eve´nementcompose´estA={ω:ωest pair}={2,4,6}. 2.Pourunjetdedeuxpi`ecesdemonnaie,pouvantindiquerPile(P)ouFace(F),on peut prendre Ω ={PP,PF,FP,FF}, avecp(ω) = 1/4 pour toutω∈Ω. 1
2
´ ` CHAPITRE 1. PROBABILITES DISCRETES
3. Si l’on tire successivement trois boules d’un sac contenant exactement trois boules num´erote´esde1`a3,onpourraprendreΩ={(1,2,3),(1,3,2), . . . ,(3,2,1)}, de nou-veau avec la distribution uniformep(ω) = 1/6 pour toutω∈Ω. Remarque 1.1.2.Le choix de l’univers Ω n’est pas unique, en fait on peut choisir n’importequelensemblecontenantaumoinsautantd’e´le´mentsqu’ilyad’´eve´nements consid´ere´scommedistinguablesparl’expe´rience.Parexemple,danslecasdedeuxpie`ces, onauraitpuconsid´ererqu’onnesaitpasdistinguerlespi`ecesl’unedel’autre,etchoisir Ω ={PP,PF,FF}eC.fett,siod´PFigesl’nev´´esee´bmone“tnemeuepxeldsesnei`ecpastsont dumeˆmecˆot´e”.Onprendraalorsp(PP) =p(FF) = 1/4, etp(PF) = 1/2. De´finition1.1.3(Espaceprobabilis´ediscret).Un(Ωetcrisesp´sdeibilorabcape, p) estdonne´parunensemblede´nombrableΩet une applicationp: Ω→[0,1]telle que Xp(ω) = 1.(1.1.2) ω∈Ω Remarque 1.1.4.scanenfiti.Dni’uniquelΩsoiversopssulaltie´bilivo’asnouxcsepansN cas,lasomme(1.1.2)doitˆetreconsid´er´ecommelasommed’unese´rienume´rique.Comme touslestermesdelas´eriesontnon-ne´gatifs,lasommeestind´ependantedeleurordre(ce quin’estpasn´ecessairementlecaspourdess´eries`atermespositifsetne´gatifs). Exemple 1.1.5.ecejepi`teunnjetitnotbne`’oasuuqOne.ilrpieemprdusrolatuepO choisir Ω =N∗,o`uω∈,eΩd´esie´orudejnglenemulouebtnoortluqsdeimeliprtneirpel avecp(ω) = 2−ωtigi’alsexund’ciI.brabenomisinlemadeu’melpsr´dinev.infibanOnei ∞ Xp(ω) =X21i= 1.(1.1.3) ω∈Ωi=1 D´efinition1.1.6(´Ev´enements).L’espace des´stnemene´ve(oue´e´smpostscoemenv´en) d’unespaceprobabilis´ediscret(Ω, p)est l’ensemble des parties deΩ: F=P(Ω) ={A:A⊂Ω}.(1.1.4) Laporabiblit´etnem’´ev´enedelAest P(A) =Xp(ω). ω∈A L’ensemble vide∅est l’elbissimpoment´ene´evetP(∅) = 0apn.ioitfin´erd L’univers entierΩest l’nai´vee´enemtnectr. Lesope´rationslogiquese´le´mentairessurles´ev´enementscorrespondent`adesop´erations dethe´oriedesensembles,selonletableausuivant: ´ Ope´rationlogiqueEquivalentensembliste AetB A∩B AouB A∪B nonA Ac= Ω\A A,BincompatiblesA∩B=∅ AimpliqueB A⊂B
(1.1.5)
3
´ 1.1. ESPACE PROBABILISE DISCRET Proposition 1.1.7. 1. Pour toutA∈ F,06P(A)61. 2.P(Ω) = 1etP(∅) = 0. 3.Pourtoutensembled’´ev´enements{Ai}i∈N, on a P[Ai6XP(Ai).(1.1.6) i∈Ni∈N 4.Silese´ve´nements{Ai}i∈Npmtabiel,s’cse-t`a-direosdent`auxuxdecoinAi∩Aj=∅ pouri6=j, alors P[Ai=XP(Ai).(1.1.7) i∈Ni∈N 5. SiA⊂B, alorsP(B) =P(A) +P(B\A). 6. SiA⊂B, alorsP(A)6P(B). 7. On aP(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B). De´monstration.En exercice. Remarque 1.1.8. 1. L’ensembleF=Pedettairel´eout´elocqeeumenepm´ledtneme´´tpoiralrpΩ(a)F, touteintersectionettouter´euniond’e´l´ementsdeFsont encore dansF. On dit queF forme unetribuouσ-alg`br e e. 2. (Ω, prpboapecnusee)ts’listnemeluesteitsrescdi´eisilabionapplicatP:F →[0,1] d´efiniepar(1.1.5)satisfaitlesdeuxaxiomes de Kolmogorov: (K1)P(Ω) = 1. (K2) SiIunstebmelneesmorb´dneetable{Ai}i∈Ifenulima’del´ve´ementsenuxdeest `adeuxincompatibles,alors P[Ai=XP(Ai).(1.1.8) i∈I i∈I En effet, la Proposition 1.1.7 montre quePsatisfait (K1) et (K2). Inversement, soit P:F →[0,1] une application satisfaisant (K1) et (K2). Alors le fait que Ω = Ω∪ ∅ impliqueP(∅itfino’lie´dn)S.0=pparp(ω) =P({ω}), il est clair que (1.1.5) est satisfaite, et en particulier 1 =P(Ω) =Pω∈Ωp(ω). (Ω, p) est donc bien un espace probabilis´ediscret. Onpeutdonc´egalementd´efinirunespaceprobabilise´parladonne´ed’untriplet (Ω,F,Po,u)`P:F →[0,1] satisfait les axiomes de Kolmogorov (K1) et (K2). Cette d´efinitional’avantaged’eˆtrege´n´eralisable`adesΩnondenombrables. ´ Exemple 1.1.9. 1.Pourlelancerdedeuxde´s´equilibr´es,onpeutprendreΩ={(1,1),(1,2), . . . ,(6,6)}, dont le cardinal est|Ω|= 36, etp(ω) = 1/36 pour toutω∈Ω. L’e´v´enement“lasommedespointsvaut8”estA={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}, etsaprobabilit´eestP(A) = 5/36. 2. On jettenroΩssnla=onnaedemrenoie.Pepuneci`isfo{(ω1, . . . , ωn) :ωi∈ {P,F}∀i}, qui est de cardinal 2n. L’´ev´enementAk“on obtientkfois pile” est de cardinal |Ak|=Ckn≡nk=k!(nn−!k)!,(1.1.9)
