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Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
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• instabilité structurale des systèmes dynamiques


• modèles pod-galerkin des équations de navier-stokes


• système physique


• projection de galerkin


• equation de navier-stokes


• surface de réponse


• ecoulement

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• Physique-chimie
• Système physique
• Équations de Navier-Stokes
• Écoulement

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Chapitre 6

Mode´lisationd’ordrer´eduit d’´ecoulementscompressibles

Aperçu 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 1.1 Modèles réduits d’écoulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 1.2 Modèles POD-Galerkin des équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . 115 2 Projection de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 2.1 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 2.2 Application à la modélisation de dimension réduite d’écoulements . . . . . . . . 116 3 Ecoulements incompressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.1 Projection de Galerkin des équations de Navier-Stokes pour les écoulements incompressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.2 Traitement de la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4 Ecoulements compressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.1 Dans la littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.2 Modèle “haute-fidélité” à approcher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.3 Choix d’une formulation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.4 Modèle POD-Galerkin d’écoulements compressibles . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5 Instabilité de von Kármán en écoulement transsonique . . . . . . . . . . . 123 5.1 Calcul de la base POD tronquée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.2 Modèle POD-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6 Stabilisation des modèles POD-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.1 Instabilité physique ou structurale ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.2 Améliorer la précision des modèles POD-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.3 Procédure de calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.4 Calibration du modèle réduit d’écoulements transsoniques . . . . . . . . . . . . 143 6.5 Prédiction aux temps longs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7 Synthèse sur la modélisation d’ordre réduit d’écoulements compressibles . 148

1 Introduction Ce chapitre est consacré à la modélisation d’ordre réduit pour la simulation d’écoulements compres- sibles instationnaires autour de surfaces portantes. D’une manière générale, la notion de modèle d’ordre faible se rapporte à une approximation d’un système physique complexe ou encore à une approximation d’un modèle plus détaillé de ce système physique. Dans le cadre de la présente étude, la méthodologie mise en œuvre permet de substituer aux équations de Navier-Stokes, un système d’Equations Différen- tielles Ordinaires (EDO) de petite dimension. Le modèle d’ordre réduit ouReduced-Order Modelling (ROM) ainsi constitué doit assurer une prédiction fidèle au modèle physique complexe appelé modèle “Haute-Fidélité” (HF). Les grandes classes de modélisation d’ordre réduit répondent à des besoins très

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Chapitre 6. Modélisation d’ordre réduit d’écoulements compressibles

variés et sont rapidement évoquées au§1.1ensuite mis sur la technique développée et, l’accent étant utilisée dans cette thèse : la méthode POD-Galerkin (§1.2). La simplification d’un phénomène à ses mécanismes physiques fondamentaux a été une motivation importante pour le développement de ce type d’approches (Aubryet al.,1988;Deaneet al.,1991, par exemple). Il apparaît par ailleurs que l’utilisation de modèles physiques simplifiés est incontournable dans de nombreux contextes où de multiples résolu- tions doivent être effectuées itérativement et/ou simultanément. Ainsi, pour la simulation numérique en interaction fluide-structure par exemple,Dowell & Hall(2001) mettent en relief la nécessité d’utiliser des ROM et le compromis inévitable entre fiabilité de la simulation et faisabilité pratique de celle-ci. De même, dans le contexte de l’optimisation, par exemple en conception optimale de forme (Le Gresley & Alonso,2000), ou dans le domaine du contrôle des écoulements (Grahamet al.,1999b), de nombreuses simulations successives sont mises en œuvre et des approches autorisant une réduction importante de la complexité numérique de ces résolutions sont nécessaires. L’objectif de la modélisation d’ordre faible est donc double. D’une part, elle peut contribuer à une analyse efficace de phénomènes physiques complexes. D’autre part, elle permet d’envisager l’intégration de simulations réalistes au sein de processus itératifs et multi-disciplinaires. Dans le cadre de cette thèse, ces deux aspects sont envisagés.

1.1 Modèles réduits d’écoulements Selon l’application visée, deux classes générales de modèles d’ordre réduit d’écoulements peuvent être considérées. Une première catégorie correspond au cas où l’objectif n’est pas une description détaillée et locale des mécanismes physiques mais plutôt une approche “entrée-sortie” où, pour un jeu de paramètres donnés (par exemple la forme d’un profil d’aile), le modèle doit fournir une réponse (par exemple les co- efficients aérodynamiques). Dans ce cas, il n’est pas forcément nécessaire d’envisager une approximation de l’ensemble des quantités locales caractéristiques de l’écoulement. Dans le contexte de l’optimisation, le prototype de cette approche est la méthode couplant plan d’expériences et surface de réponse. Pour une série de jeux de paramètres donnés, des résolutions du modèle physique HF sont effectuées et les quantités globales à optimiser sont calculées en chacun de ces points. Un algorithme d’optimisation est ensuite mis en œuvre sur cette surface de réponse interpolée par une méthode convenable. Le modèle réduit est alors constitué par cette surface de réponse. De nombreuses approches peuvent être apparen- tées à cette méthodologie. Elles diffèrent selon la technique d’échantillonnage de l’espace des paramètres et le procédé d’interpolation utilisés. Pour construire ces modèles réduits, des approches telles que les réseaux de neurones ou le krigeage (Gratton,2002;Guneset al.,2006) sont adaptées et couramment utilisées. Afin de rendre plus robuste de telles approches en introduisant une variabilité des surfaces de réponses pour l’analyse d’incertitude, l’utilisation de bases de polynômes de chaos (Lucoret al.,2003) semble prometteuse. L’approche plan d’expériences/surface de réponse a été utilisée pour l’optimisation de forme en aérodynamique au cours d’une étude antérieure (Bourguetet al.,2007c) mais pas dans le cadre de cette thèse. La revue proposée ici n’est en aucun cas exhaustive.

Face à ces approches “entrée-sortie” ou “boite noire”, une seconde classe de modèles d’ordre réduit relève de l’approximation directe et locale du système physique complexe indépendamment de quantités globales d’intérêt qui pourront éventuellement être évaluées a posteriori. Dans la pratique, ce type d’approches est utilisé pour obtenir l’évolution des mêmes quantités physiques que l’approche complexe HF mais à un coût numérique inférieur. Là encore deux classes de méthodologies peuvent être distinguées. D’une part celles qui se fondent sur une approximation des données sans modèle physique a priori comme par exemple l’identification polynomiale (Perretet al.,2006). D’autre part, celles qui se fondent conjointement sur des données et le modèle physique “haute-fidélité” classiquement utilisé pour les modéliser, par exemple les équations de Navier-Stokes dans le cas des écoulements. Ces approches et en particulier les méthodes fondées sur la projection du système physique complexe, nécessitent généralement la définition d’un sous-espace de projection représentatif. Dans cette étude, ce sous-espace est déterminé par une base POD tronquée, mais comme cela a déjà été mentionné, de nombreuses bases sont envisageables (modes globaux, CVT,. . .). L’intérêt de ces approches par rapport aux méthodes “entrée-sortie” est qu’elles peuvent non seulement conduire à l’estimation de n’importe quelle grandeur globale (pour l’optimisation par exemple) mais aussi contribuer à une analyse physique détaillée des phénomènes physiques mis en jeu. Le coût numérique de ces approches est généralement supérieur à l’approche “boite noire”.

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