REGLES DE CALCUL EQUATIONS INEQUATIONS

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Seconde
REGLES DE CALCUL - EQUATIONS - INEQUATIONS I) A PROPOS DES NOMBRES 1) Les différents ensembles de nombres • Les entiers naturels sont les nombres qui servent à compter. : 0 1 2 3 4 ... 1000 ... • Les entiers relatifs sont les entiers naturels et leurs opposés : ... ? 3 ? 2 ? 1 0 1 2 3 ... • Les décimaux sont les nombres qui n'ont pas une infinité de chiffres après la virgule : ?2,712 12 = 0,5 : c'est un décimal par contre 13 = 0,3333…. n'est pas un décimal • Les rationnels sont les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction (quotient de 2 entiers) : 57 ? 4 19 5 par contre 3 pi n'est pas un rationnel • Les réels englobent tous les nombres que nous connaissons en 2nde : –3 –2 –1 0 1 2 3 –1,6 1/3 3 Exercice : Classer les nombres suivants dans le bon ensemble : 5 9 0,003 0 ?593 ? 72 100 2 14 6 58,2 ?190,08 35 19 7 pi 18 2 3 3 1+ 52 9 11 ? pi 3 4 Remarques : • Tout élément de est aussi un élément de .

• ?10 ?1


• zéro ?


• ?1 ?


• ?9 ?


• infinité de chiffres après la virgule


• écriture fractionnaire


• entier naturel

Sujets

• Seconde
• Mathématiques
• Entier naturel

Informations

• Publié par: cours_de_mathematiques
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• Langue: Français

Extrait

REGLES DE CALCUL - EQUATIONS - INEQUATIONS I) A PROPOS DES NOMBRES 1) Les diffrents ensembles de nombres •Les entiers naturelssont les nombres qui servent  compter. : 0 1 2 3 4 ... 1000 ... •Les entiers relatifssont les entiers naturels et leurs opposs 1 0 1 2 3 ...2 − 3 − : ... − •Les dcimauxsont les nombres qui nont pas une infinit de chiffres aprs la virgule 1  1  : −2,712 = 0,5 : cest un dcimal  par contre = 0,3333…. nest pas un dcimal  2  3  •Les rationnelssont les nombres qui peuvent scrire sous forme de fraction (quotient de 2 entiers)   5 4 3   : − 5 par contre nest pas un rationnel 7 19  π  nde •Les relsenglobent tous les nombres que nous connaissons en 2  3 2 1 0 1 2 3 :  1,6 1/3 3 Exercice : Classer les nombres suivants dans le bon ensemble : 5 72 14  0,003 0 −593 − 2 9 100 6 3 19 18 58,2 −190,08π 5 7 2 1+ 5 9 π 3 3 − 4 2 11 3 Remarques : •Tout lment deest aussi un lment de. On dit queest inclus danset on crit : De mme, on a : •On note aussi : + est lensemble des rels positifs ou nuls * est lensemble des rationnels sauf zro − {5} est lensemble des entiers naturels sauf 5 p28 : 45, 46, 51, 53, 54, 55, 56, 57,58 p34 : 159

2) Les diffrentes critures dun nombre Un nombre peut en gnral avoir plusieurs critures diffrentes : 1 −1  0,5 = = 510 2  criture dcimale criture fractionnaire notation scientifique p  (quotient dentiers) a10 avec 1a < 10 3) Calculatrices et valeurs exactes Avec la calculatrice : 1 = 1,00001 0,99999 d une cal pas capable dafficher la valeur exacte culatrice nests qu 1 dun rsultat, elle l’arrondit sans prvenir ! − 1,000010 ! 0,99999

p32 : 115, 116, 118, 119, 120 p36 :185

II) REGLES DE CALCUL 1) Avec la calculatrice : 1 0 = −1 = 0 = 0 Ainsi, dans un calcul avec des inconnues, il faut toujours vrifier que : •les dnominateurs sont non nuls •les radicandes sont positifs ou nuls 2) Quotients : CONDITIONS REGLE  −a a a = = − b−b b a c ad+bc + = b d bd a c ac  = b d bd a b a d =  c b c d 3) Racines : CONDITIONS REGLE 0 = 0 ab=ab Il ny a pas de rgle aveca+b a a = b b 4) Puissances :  (n∈* et m∈*) CONDITIONS REGLE 0 a= 1 1 −n a= n a m n m n m + n aa=a Il ny a pas de rgle aveca+a m a m − n n =a a m n m  n (a) =a n n n (ab) =a b n n  a  a   = n b  b  p25 : 25, 28, 29, 31, 34 p29 : 73, 74, 76, 78, 79 p32 : 123, 125, 126, 128, 135, 138

III) LES NOMBRES PREMIERS 1) Dfinition Un nombre premier est un entier naturel que lon ne peut diviser que par lui-mme ou par 1. Remarque : 1 nest pas considr comme tant un nombre premier. Ex:2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71 ... Par contre, 12 = 34 donc 12 nest pas premier. 2) Dcomposition dun nombre en produit de nombres premiers. Tout entier naturel suprieur  un qui nest pas premier peut se dcomposer en un produit de nombres premiers. Cette dcomposition est unique. Ex:dcomposons 72 : Au brouillon : Sur la copie : 72 2 3 2 36 2 72 = 2  3 18 2 9 3 3 3 3) Cette dcomposition permet de simplifier certaines fractions ou racines. −4 72  10  3  36 Ex: Simplifions A = −9 2 −60  10  25  5 3 2 −4 2 2  3  (2  5)  3  (2  3) A = − 2 22 −9 2  3  5  (2  5)  5  5 3 2 −4 −4 2 2 2  3  2  5  3  2  3 A = − −9 2 22 −9 2  3  5  2  5  5  5 3−4+2−2+9 2+1+2−1 −4−1+9−2−2 A = − 2  3  5 8 4 A = − 2  3 Ex: Simplifions B = 72 3 2 B = 2  3 B = 6 2 p24 : 11, 13, 18 p29 : 59, 60, 67, 68, 69, 70, 71 p31 : 102, 106, 107, 108 p37 : 187, 189

IV) FACTORISER UNE EXPRESSION Factoriser une expression, c’est chercher  la transformer en un produit ou un quotient de facteurs si possible du er 1 degr. Pour cela, 3 possibilits  essayer dans l’ordre : 1) D’abord, chercher un facteur commun A = (4x –3)(x+ 2)– x(8x –6)–4x+ 3 A = (4x –3)(x+ 2)–2x(4x –3)–(4x –3) A = (4x –3)[x+ 2–2x –1] A = (4x –3)(1– x) 2) Ensuite seulement, chercher une identit remarquable 2 B = 32x–48x+ 18 2 B = 2 (16x –24x+ 9) 2 B = 2 (4x –3) 3) Puis, en dernier recours, chercher  faire apparatre une identit remarquable Dans une factorisation, il arrive que lon nait pas vu un facteur commun ou une identit remarquable. On finit souvent par se retrouver devant une expression du second degr que lon ne sait pas factoriser. Voici une petite ruse de calcul qui rend service : 2 C = 2x+x−3  1 3  2 2 C = 2  x+ x−   mettre sous la formex+bx+c  2 2  2 2  1 1 3     b    C = 2  x+  −−  mettre sous la forme  x+  –…  4  16 2   2  2  1  25  2 2  x+  −  – Breconnatre A C = 2  4  16  2 2  1  5     C = 2  x+  −     4   4    1 5   1 5  C = 2  x+ −  x+ +   4 4   4 4   3  C = 2 (x− 1)  x+   2  C = (x− 1) (2x+ 3)

p30 : 84, 87, 90, 93, 94, 95, 98, 99, 100, 101

V) EQUATIONS 2-cmp-implication-equivalence.doc 1) Equivalences Rsoudre une quation, cest trouver toutes les solutions et seulement les solutions de cette quation. Cest la raison pour laquelle nous procderons toujours par quivalences successives en nous appuyant sur les proprits suivantes : A, B, C tant des rels quelconques, on a : •A = B⇔A + C = B + C (1) •A = B⇔(2)A − C = B − C •Si C0 alors: A = B⇔AC = BC (3) A B •Si C0 alors: A = B⇔(4) = C C •AB = 0⇔A = 0 ou B = 0 (5) 2 Ex:Rsoudre dans, (E) : 3x= 9x Equivalence fausse : Mthode fausse : On a divis les 2 membres de (E)⇔3xcf (4)= 9 (E) parxqui peut tre nul ! (E)⇔x= 3 cf (4) S = {3} Mthode juste : 2 (E)⇔3x− 9x= 0 cf (2) (E)⇔3x(x− 3) = 0 (E)⇔3xou= 0 xcf (5)− 3 = 0 (E)⇔x= 0 oux= 3 cf (4) et (1) S = {0 ; 3} Faire les exercices suivants en crivant bien les quivalences et,  chaque fois que l’on utilise une des proprits ci-dessus, en prcisant laquelle. p33 : 139, 142, 146 p34 : 147, 150

2) Conditions surx Avant de transformer lquation pour la rsoudre, il faut commencer par liminer les valeurs dexqui sont "interdites" car : •Elles annulent un dnominateur •Elles rendent strictement ngatif un radicande. 3) Dans les exercices Exemple Mthode 2 2 3x6x− 4x Rsoudre dans=: (E) x+ 1 (3x− 2)(x+ 1)  x+ 10 2  Conditions :⇔x  Avant toute chose, penser aux conditions  −1 etx   (3x− 2)(x+ 1) 0 3 2 2 3x6x− 4x  − = 0  x(3+ 1 x− 2)(x+ 1)  (E)⇔(2) cf 2 x−1 etx   3 2 3x2x(3x− 2)  − = 0  x(3+ 1 x− 2)(x+ 1)  (E)⇔ 2 x−1 etx   3 2 3x2x  − = 0  x+ 1x+ 1 Ensuite,  chaque tape, penser  l’quivalence  (E)⇔ 2 et rcrire les conditions x−1 etx   3 2 3x− 2x  = 0  x+ 1  (E)⇔ 2 x−1 etx   3 x(3x− 2)  = 0  x+ 1  (E)⇔ 2 x−1 etx   3  x(3x− 2) = 0   2 Factoriseren unproduitnul… (E)⇔ cf (3) x−1 etx   3  x= 0 ou 3x− 2 = 0  … pour utiliser la proprit :  2 (E)⇔ cf (5) Unproduitestnulssi l’un des facteurs est nul x−1 etx   3 2  x= 0 oux=  3 (E)⇔  (1) et (4) cf 2 x−1 etx   3 (E)⇔x= 0 S = {0} Conclure par S = …

p33 : 143, 144 p34 : 154, 156, 157, 158, 165 p35 : 166, 169, 177, 180

VI) INEQUATIONS 1) Intervalles de a) Dfinition aetbsont deux rels tels quea<b Lintervalle ferm [a;b] est lensemble des relsxtels queaxb  [ ] ab Lintervalle ouvert ]a;b[ est lensemble des relsxtels quea<x<b  ] [ ab Ex:x[1 ; 5[⇔1x<5 b) intervalles illimits Considrons lensemble des relsxtels quex1 Cet ensemble est illimit " droite" On le note [1 ; +[ "plus linfini" c) Dans, il y a donc quivalence entre les notations suivantes : x[1 ; 5[⇔ ⇔x< 10 x]0 ; 1[⇔ + ⇔⇔x ⇔x0⇔

p58 : 90 − 93 p60 : 139, 140, 142

2) Equivalences Pour tre certain de rsoudre les inquations par quivalences successives, nous nous appuierons sur les proprits suivantes : A, B, C tant des rels quelconques, on a : •A > B⇔(a)A + C > B + C •A > B⇔(b)A − C > B − C •Si C > 0 alors: A > B⇔AC > BC (c) Si C < 0 alors: A > B⇔AC < BC A B •Si C > 0 alors: A > B⇔(d) > C C A B Si C < 0 alors: A > B⇔ < C C Il n’y a pas de proprit simple pour les inquations produit ! Ex : ABC0⇔(A0 et B0 et C0) ou (A0 et B0 et C0) ou (A0 et B0 et C0) ou (A0 et B0 et C0) !!!! Il nous faudra donc trouver autre chose : les tableaux de signes… 4 Ex:Rsoudre dans, (I) :1 x Conditions :x0 Mthode fausse : Equivalence fausse :   x 4  (I)⇔ a multipli les 2 membres de (I) par(d) On  cf x   x0 qui peut tre soit positif, soit ngatif ! S = ]-; 0[]0 ; 4] Mthode juste :  4  − 10  x (I)⇔ cf (b)   x0  4 −x  0  x (I)⇔   x0 (I)⇔(4 −x0 etx> 0) ou (4 −x0 etx< 0) (I)⇔(x4 etx> 0) ou (x4 etx< 0) (I)⇔0 <x4 S = ]0 ; 4] p58 : 110, 111 p59 : 122

er 3) Signe d’une expression du 1 degr (ax+b aveca0) a) Exemple : signe de−2x+ 3 3 −2x+ 30⇔ −2x−3⇔x 2 3 −2x+ 30⇔ −2x−3⇔x 2 Rcapitulons ces rsultats dans un "tableau de signe" :

x  −+ 3/2  −2x+ 0 −+ 3 b) Proprit Dans un tableau de signe : b "A droite" de − l’expressionax+best du signe dea. a b "A gauche" de − l’expression est du signe contraire. a c) Dmonstration b Soit (I) :x> − (a0) a 2  ax> −ba   (I)⇔   a0 2  ax+ab> 0   (I)⇔   a0  a(ax+b) > 0   (I)⇔   a0  ax+b eta sont du mme signe   (I)⇔   a0 b Bilan, poura0 on a :x> −⇔ax+b est du signe dea a

p59 : 130, 137

4) Dans les exercices Exemple 4 (x+ 1) Rsoudre dans: (I)x+ 1 x+ 3 Conditions :x+ 30⇔x−3  4 (x+ 1) − (x+ 1)(x+ 3)  0  x+ 3 (I)⇔   x−3  (x+ 1) (4 −x− 3)  0  x+ 3 (I)⇔   x−3  (x+ 1) (1 −x)  0  x+ 3 (I)⇔   x−3 x +–1 1  –3  x– –+ 1 0 + + 1 –x+ + + 0 – x+ 3 – 0 + + + + – 0 + 0 – Quotient S = ]−; −3[[−1 ; 1]

Mthode

Dterminer les conditions

Factoriser en un produit ou un quotient suprieur ou infrieur  zro

Faire untableau de signe

Conclure par S = …

p59 : 114, 125, 116, 119, 120, 127 p58 : 112 p59 : 121, 128, 131 p60 : 146, 149