Spectre des operateurs differentiels

Sylvie Benzoni-Gavage

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Spectre des operateurs differentiels Sylvie Benzoni-Gavage 1er fevrier 2010 Table des matieres 1 Motivations 2 2 Elements d'analyse fonctionnelle 3 2.1 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 L'espace de Sobolev Hp(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Les operateurs differentiels comme operateurs non-bornes sur L2(R) . . . . . . 5 2.3.1 Operateurs fermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3.2 Dualite dans les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 Elements de theorie spectrale 9 4 Spectre essentiel des operateurs differentiels 12 4.1 Spectre des operateurs differentiels a coefficients constants . . . . . . . . . . . 12 4.2 Fonction de Green des operateurs differentiels a coefficients constants . . . . . 14 4.3 Operateurs a coefficients variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• equations de cauchy-riemann


• u?


• l2 ≤


• fac- teur √


• espace de sobolev hp


• dualite dans les espaces de hilbert


• transformation de fourier


• borne independamment de ? ?


• elements d'analyse fonctionnelle

Sujets

• Première
• Équations de Cauchy-Riemann
• Transformée de Fourier

Informations

• Publié par: profil-ondu-2012
• Date de parution: 01 février 2010
• Nombre de lectures: 42
• Langue: Français

Extrait

Spectredesop ´ erateursdiffe ´ rentiels Sylvie Benzoni-Gavage 1 er fe´vrier 2010 Table des matie`res 1 Motivations 2 ´ 2 Ele´ments  d’analyse fonctionnelle 3 2.1 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 L’espace de SobolevH p (R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3Lesope´rateursdiff´erentielscommeope´rateursnon-born´essurL 2 (R) 5. . . . . . 2.3.1 Ope´rateurs ferme´s  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3.2 Dualite´ dans les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ´ 3El ´ ementsdetheoriespectrale9 ´ 4 Spectre  essentiel des operateurs diffe´rentiels  12 ´ 4.1Spectredesop ´ erateursdiffe ´ rentiels ` acoefficientsconstants...........12 4.2FonctiondeGreendesop ´ erateursdiff ´ erentiels ` acoefficientsconstants.....14 4.3Op ´ erateurs ` acoefficientsvariables........................17 5Valeurspropresdesop ´ erateursdifferentiels28 ´ Index 28 Bibliographie 31 1

ielscommff´erenttauesriduaox´prere´eerssasnvnt’i itav O sno1itoM espaien(bertthil.)’LloveSeboecdsecspurlededetu´e apee´vitomtse ert ´erateure`adesop´nseadsnnsnob-ro ctonnniocaunefdrlleinemeseletnes raede´ps auit´ s qeuxd´onsa´eeserivlleitraponerP.sexerepanse´unlemp drseuqseitnodssetabilit´edansdese´hp`monsemee´’dluvoontid´moisel dunoitartnecnocaelndioutolev’´nlfecfinuocvaceastniffuecedesp`’une ffidoisutcae-noitedir´deuaeqonti lesitaoi u() om´d κ∂ 2 xx u+f n (1)∂ t u= atqu´ete taeu n p ioe´te´irptec,feds artionsp`ereculirtdemdteulitseos chntiqimmeuesent tnei r teκ gae´assiparf.Selonlesproolunenoldino´nee rmfo(teuontilade:)tc rgel =)x−x(Usivedevieprogresutenofcnetsscese r d Pa).6]5,r[oi(v dnoenu,noitinfie´ lleoappel’onsqueviseerssrpgodnse ano’lepprpeldlfio’oele.ndnsDar´le e ` ,s’csectleiuedla fonctionU,quel ala ` remrcessetivnsraat; ` prontilaed(upaehesrpt)∙esanopag ´ efossed u s c− y ∂=u eitn 2(∂) on(1)dev’´equatic−x=l,)ts(→7yt=s(lex)tvadeabriemtnnaegelhcastnnfai ire e `a-dest-’c,ednoelletenuae`i´llientre´eef d´ependantedesdec,e’ts`--aiderni onti atstnnioreai stneseUienutulos1)sinde(ulemetseUlserpfiotuoistlogrroepnddevesies f+u yy 2 ∂κ oenU .)u( f0(U(y))+κ∂2 yy w+deAec= y ∂elpscertco`aficefenereltidrue´ffi´po,tare rcomtvoinpeuel’oseuqailbv s ra eitn paesunnsda´ernbo-nonruetare´poem astsbalitie´nose(2).Pour´etudier resia)2(uotuUedr metae`n´ in a lar´eauit´’qe =w∂c no s ∂ uico,ceqt`alndui a`te w)) reidute´ yy ∂ 2 +κ y w(y(Uf 0 w+ tnerlleiidsne´ffesireq(coresnadielobcndaiuesartiaitborn´resiA´et enednetta’sno ,)e abstinl’de`aetffsietlixee´’slitiReλ>lqueA)teλ∈σ( apceoppr´erifodeitcn d sno R∈yecec(iserapr´ecis´edasnalusti)eA.vuduor´etheslascme`e(seuqissoe´ht,1[e8.1r`em 273] 8, p.lrsep)uotaoie´uq ta«sesacspselensad(Aederporpruelstvaue0eantqliqui,pm(e)1nod»alit stoneeat U)f( nc  o κ= 0 U+ 00 U orpe c− lfiquationdvantl’´ee:dne´ir -n addr)» ctiafnE.lcniette . R 0}z<Re e1quarem is (σ tie´ ∈z;C)A{⊂ `ade0,etabillast iravecna trapsnar `aleuscae«edinl’´nrelap)saopssbiusionn’est(eng´e .k nO +∙)θ−)(Ut(∙ esorred´id`econs )∙t(uk sapnontna ku ∈R f θ inisma)k−U stavirbaeofificneension1:lesendimare´ruetsiamponuientacl`ffdire´e ntseouveentecontA(\)drσe z{C∈ 0{⊂}quetffne.D=0U 0 eAuaflicnossulpelt edelastabilit´eobrtila,eoctnˆrloez;R},<0moetrentqecr’leupanollep urRaeessquetinsiass j itnoro´nnobt’e.Ces´e 2 stuelsetuovire´dsr {1...p},a j ∈C∞ b soqeeuopruottu∈j niigqufieeselncfo M;R()C( n ec ,) siuq ru eA aretpoe ´ eu’lrteqdeso(C)(∈GL n ppusnO.)pa`lage´rerd’otdourtpast puN∈e ∗ pt )x j ∂ x ` o p X j=0 a j (A=A(∂ x )= acev)x( p ( n M∈a,)C,a∈Rx) j (rtoutxou

F)∂( ,) 3( S∈R(uoutourtre,pnoutE ξ(=) x j )uF j (ui()ξ∈R. S ξ)ξ tdeciues`∞Cessaltroppusat,acmpcosfantrsaro´meeedoFrueibruseprolongeenune cnofnoitlanaqitysuue.ErCffne,set u(ξ) u), b upp(iK=s xd 3 i−xξ x(e) Z =u K

le cas par exemple siAt)enedc ´´ eprheprlenue ´ nieivo’dtnn(commedarisatioaparrgpae ´ rctiua autourd’unprofilquiestlui-m ˆ emeC b ∞ . On suppose en outre qu’il existeα >0tel que pour toutx∈R,ka p (x)k ka p (x) −1 k ≥α. On se propose d’e´tudier le spectre de A, vu comme unetrue ´ arobnron-n ´ eopsurL 2 (R), dedomainel’espaceH p (R)tnattemdaleabgr´enteir´ardsceitnoofcndsepvire´drr´e´eesdeca inte ´ grable.Lesde ´ rive ´ essontici ` acomprendreausensdesdistributions ´ isneronevitm, a ous s d’utiliser(etmeˆmeded´efinir)cettenotion.Nousallonsplutˆotd´efinirauprochainparagraphe l’espace deSobolevH p (R)acr ˆ gala ` etransformation de Fourier. ´ 2El ´ ementsd’analysefonctionnelle 2.1 Transformation de Fourier L’analyse de Fourier fait l’objet de nombreux ouvrages (voir par exemple [4] ou [11]). En voiciquelquese ´ l ´ ementsutilespourlasuite. Latransformation de FourierFestpard ´ efiinitnonusimorohpismedeL 2 (R;C)(simple- ment note´L 2 (R)dans la suite) tel que, pour toutu∈L 1 (R)∩L 2 (R), Fu(ξ) = Z u(x) e −iξx dx  ξ∈R F −1 u(x 2 = 1 ) π Z u(ξ) e iξx dξ  x∈R. ` Aunfacteurpr ` esc’estuneisometrie,carenvertuduncheePlaemedeor`´hterlon a pour tout ´ u∈L 2 (R), kFk 1 kuk L 2 . u L 2 = √ 2π La transformation de Fourier laisse invariante laclasse de Schwartz S(R) =  u∈C ∞ (R) ;quels que soient pj ∈Ns x u ∈ p R (1 +|x|) p |∂ j u(x)|<+∞   ensemble contenant notamment lesgaussiennes u:x7→e −a(x−m) 2 poura∈R +∗ etm∈Rnafsro´m,edrterrioueFsdee bu:ξ7→ r a π e imξ e −ξ 2 /(4a) .