Sur la compactification de Thurston de l’espace de Teichmüller

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale

• exposé

Sur la ompa ti ation de Thurston de l'espa e de Tei hmüller Frédéri Paulin Le but de es notes d'exposés est de donner une onstru tion, par la topologie de Gromov équivariante introduite dans [Pau2?, de la ompa ti ation de Thurston de l'espa e de Tei hmüller Teich(S) d'une surfa e S orientée onnexe ompa te privée d'un nombre ni de points. Il existe de nombreuses ompa ti ations (géométriquement intéressantes) de l'espa e de Tei hmüller de S. Avant de donner en détail notre appro he de la ompa ti ation de Thurston, nous dé rivons, pour la ulture et de manière non exhaustive, les prin ipales ompa ti ations de Teich(S), de manière briève (et don sans pouvoir donner toutes les expli ations né essaires, pour lesquelles nous renvoyons à la bibliographie), ainsi que leurs relations, en supposant pour simplier que S est ompa te. • Les ompa ti ations de Tei hmüller (voir [Abi, Gar, Nag?). Il y en a une pour toute stru ture de surfa e de Riemann X xée sur S, par l'espa e des points à l'inni des rayons de Tei hmüller issus de (l'image en ore notée X dans Teich(S) de) X. La distan e de Tei hmüller est nslérienne omplète sur la variété diérentielle Teich(S), et es rayons de Tei hmüller sont les rayons géodésiques issus de X pour ette métrique, e qui fournit la ompa ti ation de Tei

• ompa ti


• métrique hyperbolique


• groupe des isométries préservant l'orientation de h2r


• c∞ du bré


• appli ation


• teich


• ti ations


• ation de thurston


• π1s ?

Sujets

• Première
• Exposé

Informations

• Publié par: profil-shuwyag-2012
• Nombre de lectures: 10
• Langue: Français

Extrait

Teich(S) S
S
Teich(S)
S
•
X S
X Teich(S)
X
Teich(S) X
Teich(S)
X Q (X)1
1 X
Teich(S) X
•
X S
X
Γ \H H ⊂ C ΓX X
Aut(H)≃ PSL (R)⊂ PSL (C)2 2
H Y S h : X → Y
X
Y ∂h/∂h
Γ H 0X
b bC C ΓX
b bf : C → C
bAut(C) ΓX
bAut(C)≃PSL (C)2
−1Y 7!{γ7!f ◦γ◦f }
les
bibliographie),
qui
ainsi
,
que
au
leurs
in
relations,
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en
Le
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Il
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t

p
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e
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Il
Th
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p
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our
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P

Riemann
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p
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de
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,
sur
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p
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T
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p
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La
y


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T
Sa

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la
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est
est
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sur
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di?ren
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tielle
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,
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en
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la
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.
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,

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ren
qui
en
an
nous
-
.
v
lesquelles
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Les
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dit
de
existe
Bers
hom?omorphisme
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oir
.
par
de
exemple
hm
[Ber
T
,
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Nag,
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Bro,
Beltrami
McM]).
,
Il
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y
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Riemann


Ainsi
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orien
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surface
la
la
surface
de
de
urston
Riemann

quotien
?ller
1
deS
S
Diff (S)0
Hom(Γ ,PSL (C))/PSL(C)X 2
Teich(S)
•
PMF(S)
k≥ 3
Mod(S)
π S1
• X
Hom(π S,SL (C))//SL (C),1 2 2
Hom(π S,SL (C))1 2
π S SL (C) SL (C)1 2 2
γ π S−{1} Hom(π S,SL (C)) C1 1 2
ρ7! traceρ(γ) f :X →Cγ
γ C π S1
bX X
C ∗bX X×P(R ) x7! (x,R (log(|f (x)|+2)) )+ γ γ∈C+
S
Mod(S)
X Hom(π S,SL (C))//SL (C)1 2 2
Teich(S)
∗(∞,R (max{0,−v(f )}) ) ∞γ+ [γ]∈C
×bX v : F →R
F X
∗(∞,R (mind(x,γx)) )+ [γ]∈C
x∈T
T π S1
SL (F,v)2
S π S1
p
de

Morgan-Shalen

(v
t
oir
de
℄
t
Soit
applications
[Th
que
une
m


osan
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te
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l'ensem
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de
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ane
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mon
oir
p
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les
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p
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La
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.
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dulaire


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qui
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une

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est
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l'image
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don
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,
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et
est
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le
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mon
t
est
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oir
tout
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et

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,
℄
our
p
est
our

une
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description
t
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p
l'ensem
qu'elle
ble

alg?brique
de
ane
(r?el)


s?par?)
de
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.
quotien
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hm
top
est

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te
,
ble
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ts
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Th
,
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tren
l'action
v
par
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oin
au
ord
but
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de
description
t
℄
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[W

.


vu
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.
p
P
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our
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tout
e
,
une
dans
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,
hm
la

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T
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,
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p
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de
un

uni
de
de
image,
,
son
de
sur
de
mo
sur
hom?omorphisme
alu?
un
Whitehead
induit
passage
hes,
ersalemen

?rations
ainsi
op
que
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les
que
?
hom?omorphe,
dans
mani?re
selle
a-
,
te
d?-
tr?
nie
t
par
[KM]
e
,
yp
une
t
osan
de

singularit?s
l'ensem
?
des
mesur?s
oin
t
r?els
ersalemen

transv
te
feuilletages
et
,
h
induit
Kaimano
une
arbres
application
sur
de
FLP

de
d'?quiv
group

actions
des
et
rapp
applications
,
tre
ind?p
relation
endan
Morgan
te
Shalen
de
tiennen
la
ainsi


de
de
els
our
dans
℄
l'ensem
[W
ble
moniques,

Il
des
pas

de
de
trer

v
d'?l?men

ts
qu'elle
non
isomorphe
triviaux
la
de
de
Le
urs-
b
Morgan
ord
Shalen
.
mon
Si
t

(en
est
ersion
℄
?lab
exemple.
que

p
naturelle
t

b
des
est
(r?els)
la
fait
har-
notion
les
dual,

elopp
de
dans
une
MS2],
p
oir
EL
[Sk
ol1
Ota
aussi
LP
V
l'application
p
de
la
La
tion
dans
?ller
u1
hm
ad?quate.
le
probabilit?
oin<