Sur la compactification de Thurston de l’espace de Teichmüller
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Français

Sur la compactification de Thurston de l’espace de Teichmüller

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Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale

  • exposé


Sur la ompa ti ation de Thurston de l'espa e de Tei hmüller Frédéri Paulin Le but de es notes d'exposés est de donner une onstru tion, par la topologie de Gromov équivariante introduite dans [Pau2?, de la ompa ti ation de Thurston de l'espa e de Tei hmüller Teich(S) d'une surfa e S orientée onnexe ompa te privée d'un nombre ni de points. Il existe de nombreuses ompa ti ations (géométriquement intéressantes) de l'espa e de Tei hmüller de S. Avant de donner en détail notre appro he de la ompa ti ation de Thurston, nous dé rivons, pour la ulture et de manière non exhaustive, les prin ipales ompa ti ations de Teich(S), de manière briève (et don sans pouvoir donner toutes les expli ations né essaires, pour lesquelles nous renvoyons à la bibliographie), ainsi que leurs relations, en supposant pour simplier que S est ompa te. • Les ompa ti ations de Tei hmüller (voir [Abi, Gar, Nag?). Il y en a une pour toute stru ture de surfa e de Riemann X xée sur S, par l'espa e des points à l'inni des rayons de Tei hmüller issus de (l'image en ore notée X dans Teich(S) de) X. La distan e de Tei hmüller est nslérienne omplète sur la variété diérentielle Teich(S), et es rayons de Tei hmüller sont les rayons géodésiques issus de X pour ette métrique, e qui fournit la ompa ti ation de Tei

  • ompa ti

  • métrique hyperbolique

  • groupe des isométries préservant l'orientation de h2r

  • c∞ du bré

  • appli ation

  • teich

  • ti ations

  • ation de thurston

  • π1s ?


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Langue Français

Teich(S) S
S
Teich(S)
S

X S
X Teich(S)
X
Teich(S) X
Teich(S)
X Q (X)1
1 X
Teich(S) X

X S
X
Γ \H H ⊂ C ΓX X
Aut(H)≃ PSL (R)⊂ PSL (C)2 2
H Y S h : X → Y
X
Y ∂h/∂h
Γ H 0X
b bC C ΓX
b bf : C → C
bAut(C) ΓX
bAut(C)≃PSL (C)2
−1Y 7!{γ7!f ◦γ◦f }
les
bibliographie),
qui
ainsi
,
que
au
leurs
in
relations,
tielle
en
Le
supp
Il
osan
sous-group
t

p
v
our
e
simplier
de
que

?quiv

est
t?e

le
v
(et
Les



de
hom?omorphisme
T
nous

,
hm

?ller
Riemann
(v
est
oir
quasi-
[Abi,
de
Gar
de
,
discret
Nag]).
d'un
Il
Th
y
oir
en
et
a
torsion
une
de
p
[P
our
non
toute
P

Riemann
de
p
surface
?
de
t
Riemann
urston,
Gromo
de
x?e
partout
sur
tielle
de
te
,
sur
par
donne

de
des
in
p
qu'il
oin

ts
di?ren
?
d?ni
l'inni
?l?men
des
t
ra
un
y
de
ons
de
de
.
T
d'une

t
hm
donner
?ller
p
issus
sup
de
donc
(l'image
discret

group
not?e
bri?v
ologie
arian
dans
duite
top
de
la
e,
par
des

de
une
toute
donner
surface
de
sur
est
la
de)

os?s
homotop
.
tit?
La
y


de

T
Sa

Beltrami
hm
la
?ller
est
est
se
nsl?rienne
une

Beltrami
sur
v
la
appro
v
par
ari?t?
sph?re
di?ren
en
tielle
di?ren
d'exp
donner
notes
,

v
de
arian
but
d'Ahlfors-Bers
Le
un
aulin
A
P
?ller
,
,
et
de

uniquemen
ra
dulo
y
par
ons
de
de
t?ressan
T
,

breuses
hm
e
?ller
sans
son
de
t
oin
les
bre
ra
priv
y
l'application
ons
de
g?o

d?siques
de
issus
explications
de
toutes

o?
p
ouv
our
est

demi-plan
m?trique,
?rieur,

sans
qui
un
fournit
e
la
sans

du
de
e
T
e

mani?re
hm
,
?ller
te
de
tro
F
dans
?ller
au2
hm


les
T
exhaustiv
de
mani?re

automorphismes
de
de
asso
.

our
?
autre
urston
de
.
de
Le
et
b

ord
soit
s'iden
our
tie
ons,
a
un
v

ec
e

l'iden
Th
en
de
o

an
la
la
Sur
de
des
sur
formes
de
di?ren
.
tielles
di?ren
quadratiques
de
holomorphes
Th
de

norme
de
hm
qui
sur
presque

d?nie,
,
rel?v
qui
en
s'iden
di?ren
tie
de
?
he
la
-in
sph?re
arian
unit?
sur
de
,

?tendue

notre
t
la
de
de
T
d?tail
la
,
?
une
ons
tielle
y
Beltrami
o
sur
v
t
ren
qui
en
an
nous
-
.
v
lesquelles
te.
Les
th?or?me

dit
de
existe
Bers
hom?omorphisme
(v

oir
.
par
de
exemple
hm
[Ber
T
,
de
Nag,
tielle
Bro,
Beltrami
McM]).
,
Il
t
y
mo
en

a
but
une
un
p
t
our

toute
tes)

in
de
(g?om?triquemen
surface
qui
de

Riemann
?
our
sous-group
x?e
(encore
sur
et
p
torsion)
,
nom

existe

ts.
suit.
p
La
ni
surface
nom
de
?e
Riemann


Ainsi
est

isomorphe
orien
?
surface
la
la
surface
de
de
urston
Riemann

quotien
?ller
1
deS
S
Diff (S)0
Hom(Γ ,PSL (C))/PSL(C)X 2
Teich(S)

PMF(S)
k≥ 3
Mod(S)
π S1
• X
Hom(π S,SL (C))//SL (C),1 2 2
Hom(π S,SL (C))1 2
π S SL (C) SL (C)1 2 2
γ π S−{1} Hom(π S,SL (C)) C1 1 2
ρ7! traceρ(γ) f :X →Cγ
γ C π S1
bX X
C ∗bX X×P(R ) x7! (x,R (log(|f (x)|+2)) )+ γ γ∈C+
S
Mod(S)
X Hom(π S,SL (C))//SL (C)1 2 2
Teich(S)
∗(∞,R (max{0,−v(f )}) ) ∞γ+ [γ]∈C
×bX v : F →R
F X
∗(∞,R (mind(x,γx)) )+ [γ]∈C
x∈T
T π S1
SL (F,v)2
S π S1
p
de

Morgan-Shalen

(v
t
oir
de

t
Soit
applications
[Th
que
une
m


osan
de
te
n'est
irrr?ductible
plus
de
oir
l'ensem
aluation
ble
de
alg?brique
?
ane
actions

mon
oir
p
(v
les
urston
en
Th
p
de
ec
naturelle


du
La
our
.
originale,
de
dulaire


une
sens
fournit
erse.
qui
action

une

feuilletages
et)
de
(s?par?e
rian
d'adh?rence
Mazur
est
de
l'image
d'une
t

don

,
harmoniques
qui
et
est
naturelle
le
et
quotien
mon
t
est
alg?bro-g?om?trique
ton.
(v
aussi
oir
tout
[MF],
de
et

[CS
,

our
p
est
our

une
du
description
t
simple)
de
de
p
l'ensem
qu'elle
ble

alg?brique
de
ane
(r?el)


s?par?)
de
(non

t
.
quotien
mesur?s
ologique
hm
top
est

?quiv
dans
par
aleurs
on
v
?
?
te
,
ble
de
ts
l'action
osan
dulo
de
des
(r?els).
morphismes
,
de
es
group
les
es
les
de
.
mo-
ob-
sur
une
Riemann
la
dans
ol2
de
.
surfaces
dicile
de
a

d?nition
des
?

Th
,
et
par
tren
l'action
v
par
or?e)

oin
au
ord
but
forme
de
par
de
description
t

quotien
[W

.


vu
o?
.
p
P
l'inni
our
et
tout
e
,
une
dans
(pas
de
sur
dulo
fonctions
?ller
,
hm
la

el?
T
naturelle
de
urston
,
la
l'application
propri?t?
p
mesure
olynomiale
ositiv
de
un

uni
de
de
image,
,
son
de
sur
de
mo
sur
hom?omorphisme
alu?
un
Whitehead
induit
passage
hes,
ersalemen

?rations
ainsi
op
que
?ller
les
que
?
hom?omorphe,
dans
mani?re
selle
a-
,
te
d?-
tr?
nie
t
par
[KM]
e
,
yp
une
t
osan
de

singularit?s
l'ensem
?
des
mesur?s
oin
t
r?els
ersalemen

transv
te
feuilletages
et
,
h
induit
Kaimano
une
arbres
application
sur
de
FLP

de
d'?quiv
group

actions
des
et
rapp
applications
,
tre
ind?p
relation
endan
Morgan
te
Shalen
de
tiennen
la
ainsi


de
de
els
our
dans

l'ensem
[W
ble
moniques,

Il
des
pas

de
de
trer

v
d'?l?men

ts
qu'elle
non
isomorphe
triviaux
la
de
de
Le
urs-
b
Morgan
ord
Shalen
.
mon
Si
t

(en
est
ersion

?lab
exemple.
que

p
naturelle
t

b
des
est
(r?els)
la
fait
har-
notion
les
dual,

elopp
de
dans
une
MS2],
p
oir
EL
[Sk
ol1
Ota
aussi
LP
V
l'application
p
de
la
La
tion
dans
?ller
u1
hm
ad?quate.
le
probabilit?
oin
de
?
mesure
de
d'une
T
uni
de
m
mo
urston
group
,
est
d?nie
v
par
r?elle
Th
forc?men
de
discr?te)
ord
le
b
des
le
l'action
est
our
?ller
ainsi
hm
de

forme
T

de
rapp

(au
sur
est
v
est
o
Th
Mark

de
de
ha?nes


Une
breuses
transv
nom
la
de
e
oisson
o?
P
est
de
arbre
ord
m
b
d'une
le
isom?trique
,
t
est
te
un

hom?omorphisme
partir
sur
l'arbre
son
Bruhat-Tits
image,

qui
par
est
le
ouv
v
erte
ultiplication
dans
et
son
de
adh?rence,
Le
et
des
d'adh?-
transv
rence
t

sur

aux
de
de
T

d'Alexandro
sur
v
arbres
de
se
isotopies,
par
la
,
d'arbre
alors
d?v
Morgan
?e
et
[MO,
Shalen
v

aussi
mon
o,
tren
,
t
que
par
est
2
le•

Mod(S)

e e∂S S σe0
eS → S σ S0
π S1
eσ ∂ S0 2
e∂S
π S1
eM(∂ S)2 π S1
π S1
e∂ S σ Teich(S)2
eσ S
ev7!−v ∂ S R2
1eT S (S,σ)
eλ M(∂ S)σ 2 π S1
eσ 7! λ Teich(S) M(∂ S)σ 2 π S1

Teich(S) S
Teich(S)
Teich(S)
S
er

Le

unitaire
il
de
La
(v

tin
naturelle
La
de
Il
Bonahon
application
par

les
?

?l?men
ts
la
g?o
l'adh?rence.
d?siques
priv
[Bon1
oir

de
qui

est
dans
isomorphe
ot
?
de

mesure
de
par
Th
est
urston.
anneaux
Le
hm
plongemen
en
t
existe
fonctionnel
utilise
de
par
Th
deux
urston
ni
de
our

tal
de
en
T
urston.

Th
hm
p
?ller,
p

?


n'est
qu'il
sans
retrouv
doute
te
pas
in
le
d?sique,
plus
de
in

t?ressan
Bonahon
t
ectre
du
dans
p

oin
est
t
et
du
des
vue
?tudi?es,
analytique.
Morgan-Shalen
Le
aussi
plongemen
oin
t
dessins
de
u
Bonahon

[Bon1
Brumel

de
sem
[Ota
ble
de
plus
sur
appropri?
exemple
au


la
innit?simal
sur
(v
tr?
oir
que
[Bon2
v
,
est

la
Ce
bre
plongemen
l'action
t
d?sique,
est
v
d?ni
t
de
paire
la
g?o
mani?re
Le
suiv
de
an
de
te.
Liouville
Soit
?quiv
mais
qui

arian
au1
ot
le
donc
b

ord
par
?
Th
l'inni
utatifs.
de
t
[P
l'application
l'auteur
r?el
p
du
our
de
la
a
m?trique
T
de
alg?brique
th?se
de
la
obten
,

relev
prenan
?e
P
par
particuli?res,
un

rev
la
?temen
de
t

univ
[Bouz].
ersel
un
de
d'un
publi?e
(v
non
[KS],
partie
ses
d'une
pas
m?trique
l'auteur
h
de
yp
?ller
erb

olique
naturelle
x?e
deux
une
de
?
Kap
sur
par
ond

,
de
m
non
uni
mesur?
de
oir
son
Mais
action
s'?tend
du
?men
group
isomorphisme
e
de
de
?ller
rev
de
?temen
est
t
[KT

aussi
te,

arian
isomorphe
.
oie
Remarquons
,
qu'?
aussi
hom?omorphisme
par
?quiv
bration
arian
de
t
ossible
pr?s,
our

du

g?o
ne
qui
d?p
un
end
ecteur
pas
tangen
de
asso
la
la
m?trique
d'extr?mit?s

la
hoisie
d?sique
?quiv
dirige.
v
relev
.
?
Notons
la
Gromo
par
de
la
logie
de
o-
de

arian
top
ue,
ologique
,
(m?trisable
est
s?parable)
v
lo
t

le
t
g?o

donne
des
un
paires
t
de
surjection
p
une
oin
l'image
ts
urston

de
de
La
top
.
la
plongemen
t
de
,
est
m

uni
des
de
de
l'action
sp
diagonale
th?orie
de
plus
utilisan
ec

v
tation
?ller,
,

et
de
pr?sen
de
La
.
urston.

Th
Bonahon
de
alors

ue
?
pro
isomorphe
t
est
en
qui
t

description
v
our
ectoriel
surfaces
top
il
ologique
d'autres
(p
bien
our
telle
la

top
Maskit
ologie
la
v
de
ague)

des
Elle
mesures
si
de
est
)
tore
t
?
ou
p
Il
t
mon
oir
dans
exemple
(v
ses
aussi
et
que
r?f?rences).

n'est
Th

n'est
de
?
si


de
T

hm
?ller.
de
le
v
ord
[Bru
T
de
hm

s'en
si
oie

tin
Bers
t
La
le

ord
,
Th
exemple
par
(p
qui
deux
une
hoix
di?ren

quadratique
surface
as-
Riemann

isomorphes
feuilletage
ersalemen
de
son
Radon
isomorphes

non.
au2
est
P
tr?
-

inv
oir
ariantes

sur
la
,
de
actuelle
urston
au1
isomorphe
[P

.

P
T
our
hm
tout
Certes,
?l?men
b
t
de
l'auteur

de
?ller
de
v
et

[Bes1]
?men
Bestvina
dans
de
b
naturelle
de

urston
La
l'application
?
?
moins
forme
des
tielle
tications
holomorphe
Bers
so
que
son
our
transv
moins
t
des
horizon
ts
(v
Bers
par


3

tan
ne
t)
pas
de
tin
litt?rature
t
sur
un
la
de
dans

,
T
quotien
hm
t?

par

le
Th

Il
hangemen
mon
t
dans
de

signe
oir
partie

en
la
oir
de
(v
urston
n'est
pas
,
s'en
au
,
l'une
le

br?
de
unitaire

tangen
p
t
au
de
un
la
plongemen
m?trique
de
relev
de
?e
de
(d'un
repr?senX
G
X (i,Y) Y Y
i:X →Y
X Y (i,Y)
G X G
′Y Y,Y X
X X
′G Y Y
X G
X
2 2H Isom (H )+R R
2HR
2SL (R) H PSL (R) = SL (R)/{±Id}2 2 2R
2 2Isom (H ) PSL (R) Isom (H )+ 2 +R R
∞S C
S
e−1 S → S
S π S1
eS S x0
S π S−{1}1
S
∞Diff(S) f C S
∞C Diff (S)0
S f S
π (S,x ) π (S,f(x ))1 0 1 0
f :π S→π S∗ 1 1
f f :π S→π S∗ 1 1
∞S C
2 ∗ ]⊗ T S S Teich(S)
σ S
∞ ∞ 2 ∗C C (S,⊗ T S) Diff(S)
]Teich(S) S

2 −1 −1(f,σ)7! f σ :x∈S7!{(u,v)∈ (T S) 7!σ −1 ((T f) (u),(T f) (v))} .∗ x f (x) x x
hom?omorphisme
du
p
plan
et
h
de
yp
est
erb
isomorphisme
olique
?
r?el,
ble
et
l'action
actic
un
p
phismes
om-
t

)
t

emen
oin
ectiv
ni,
(resp
erte
ation
h
actic
el
le
gie
group
le
e
T
des
t
isom?tries
de
pr?serv
un
an

t
emen
l'orien
est
tation
bilin?aires
de
tin
omp
sur

par
Une
ectiv
.
image
L'action
sur
par
tes
homographies

de
Outre
).
de
e
oir
group
de
d'un
ouv
hom?omorphismes
es
par
de
sur
de
action
hom?omorphisme
d'une
s'?tend
uni

induit
p
un
si
isomorphisme
bien
(de
un
group

es
Deux
de
m?trique
Lie)
o-
de
une
m
tangen

.
t
sur

yp
lo
et
ologique
la
top
tel

tel
un
group
t
agit
emen
tie
ectiv

(resp
sur

g?om?triques
t
des


lo-
natur
ologique
t?r?t
top
est

m
a
top
v

ec
exemple
un
)
Soit
les
sujet.
e
du
des
vif
p
le
l'iden
dans
di?omorphisme
trons
induit
en
group
disgression,
hom?omorphisme
,
ectiv
par
un
lequel
tin
nous
dans
iden
donc
tions
t

t
Apr?s
par
+
tit?

t
+
o?
ord).
mo
b
plus,
et
isotop
au
tit?,
pas

s'?tend
(resp
ne
est
dulaire
elons
mo
sur
e

group
br?,
du
par
l'action
des
.
les
Soit
aux
?ller,
de
une
t
surface
s'?tende

de
(sans
m?triques
b
oliques
ord)
,

v
orien
uni
t?e
ologie
de
top

sur
hm
son

t
priv
.
?e
dense,
d'un
d'image
nom
image,
bre
et
ni
on
de
sur
p
de
oin
surfaces.
ts,
erb
et

de
les

in
d'Euler
app

?ller
t
de
n?gativ
le
e.
Th
En
la
particu-
naturalit?,
lier,
le
T
de
?rieur
,
au
uni
moins
la
une
olo-
m?trique
dans
hyp
(v
erb
par
olique

(i.e.
de
m?trique
(ou
riemannienne
actions
?
our

sous-group

distingu?
te
ert
group
di?omor-
du
de
)
isotop

?
de
tit?.
v
out
olume
t
ni
arian
(v
un
oir
de
par
es
exemple
?quiv
[FLP
un
,
emen
Bus]).
(resp
Notons
dans
l'action
en
our
uemen
p

naturelles
par
un
abus
rev
,
?temen
(par
t
hangemen
univ
de
ersel
oin
de
base,
t
ossible
,

et
isomorphisme
son
l'iden
de
isomorphes

son
son
de
group
est
e
d?ni
des
dulo
automorphismes
De
de
si
rev
est
?temen
e
t,
l'iden
t
alors
p
naturelles)
our
t
un
ectiv


hoix
).
x?
une
de
Rapp
p
qu'une
oin
riemannienne
t
top
base
une
dans
sur

du
lo
not?
,
hom?omorphismes
s'iden
action
tie
,
au
formes
group
sur
e

fondamen
ts
tal
p
de
ts

en
en
Notons
l'image
uemen
d'un


logique
de


l'ensem
p
des
oin
h
t
erb
base
l'action
dans
que
[Dug

.
de
Un
olume
?l?men
m
t
de
de
top
exemple
induite
par
la
oir
ologie
(v
et
h
un

sur
de

sera
un
dit
emen
p
(resp
ar
Le
ab
e
olique
et
s'il
ouv
est
)
repr?sen
sur
table
dans
par
son
un
(par

iden
libremen
par
t
naturelle
homotop
les
e
hamps
dans
tenseurs
Soit
lequel
sup
les
oisinage
oliques
de
yp
l'un
du
des
des
b

outs
sur
de
t?ressan
et
informations
.
orte
Notons
qu'elle
v
d?le
d'Alexandro
hm

T
les
mo
exemple,
des
ar
ation
le
urston
group
de
e

demi-espace
de
de
l'in
les
sa
de
.
e
.
des
hom?omorphismes
di?omorphismes
tous
P
)
de

tout
v
qui,
4
admet]Teich(S) S Teich(S)
Diff (S)0
S
Mod(S) = Diff(S)/Diff (S).0
]Diff(S) Teich(S)
S S
]σ Teich(S) Teich(S) σ Teich(S)
]Teich(S) Diff (S) Diff(S)+
Mod (S) = Diff (S)/Diff (S)+ + 0
σ
]Teich(S) i σe
2S σ HR
i
2ρ = ρ : π S → Isom (H ) = PSL (R)σ 1 + 2R
σ i
2(S,σ) ρ(π S)\H1 R
ρ σ i
PSL (R) ρ2
2π S Isom (H )1 + R
f Diff(S) ρ ρ ◦ff σ σ ∗∗
′σ σ Diff (S)0
PSL (R)2
π S1
R (π S,PSL (R))/PSL (R)fdp 1 2 2
PSL (R)2
π S PSL (R)1 2
(f,ρ)7!ρ◦f f∗
Diff(S) ρ : π S → PSL (R)1 2
Mod(S) R (π S,PSL (R))/PSL (R)fdp 1 2 2
Teich(S) σ
σ
R (π S,PSL (R))/PSL (R)fdp 1 2 2
Mod (S) +
π S PSL (R)1 2
(ρ ) ρi i∈N
ρ
d?le
gr
d'holonomie
Le
,
.
l'action
de
dans
.
.
La
epr
repr?sen
limite
tation
ers
d'holonomie
?sentation
l'action
induit
de
aleurs
par
est
est
olique
ind?p
de
endan
de
te
en
du


mapping
hoix
une
de
group
de
de
mo
group
dulo


oir
au

but
par
par
El
un
t?
?l?men
est
t
?tes,
de
?ller
t
ar
quotien
telles
ologique
ons
top
,

passage
est
,
de
el?e
.
du
De
est
plus,
t
ler
group
pr
?ller
?serve
application
les
(i.e.
p
qui
ar

ab
Prop
oliques
[Gol2])
,
sur
i.e.
onnexes
en
sur
v

oie
plan
un
quiva-
?l?men
la
t
des
parab
de
olique
t.
de
?sentations

p
(v
dans
T
est
sur
pr
un
e.
?l?men
an
t

parab
ren-
olique
[GM]
de
pr?serv
de
our
e
quotien
ac
induit
esp

Cartan-Hadamard
de
de
r
th?or?me
induit
L'
par
le
e
ar
)
,


discret
par
de
la
action

mo
des

b
discr?te)
outs
a
des

surfaces
morphisme
h
?
yp

erb
discr
oliques

de
repr?sen
v
et
olume
1
ni
ar
(v
applic
oir
hom?
par
des
exemple
osantes
[Bus,
d?le
Rat]).
une
P
telle
our
La
tout
T
P
yp
dans
et
.
est
?l?men
p
t

de
hm
et
orien
son
oin
,
preuv
les
prop
repr?sen
suiv
tations
2
image
r
dans
et
,
?servant
ainsi
ab
et
univ
qu'un
rev
?l?men
?
t
or
de
discr
et
les
son
oliques.
t
le

l'orien
En
suite
particulier,
tations,
si
erge
l'un
.
et
o
de
exemple
ses
our
son
an
t
isom?trie
dans
p
la
une
m?me
t
orbite
au
sous
par
relev
et
?s
isom?trie
dans
et
.

Notons
d'holonomie
le
epr
et
une
,
,
alors
donc
leurs
action
repr?sen
hom?omorphismes
tations
group
d'holonomie
app
son
group
t
de

sur
dans
le
tation
e
l'orien
quotien
t
L'action
an
sur
pr?serv
une
sous-group
du
e
e
(car
dulaire
un
T
di?omorphisme
hm
isotop
de
e
d'image
?
On
l'iden
une
tit?
de
induit
es
une
de

un
sur
?te
de
v
de
dans
un

).
?
Consid?rons
asso

la
t
de
.
d'une
isom?trie
tation
une
de
?l?men
.
tout
osition
existe
(V
our
p
p
exemple

Cette
[GHL
ation
exemple
un
il
omorphisme
par
l'une
oir
deux
nous
omp
noterons

de
de
la
?sentation
m?me
r
mani?re
fournit
,
isom?trie
oup
une
et

discr?tude
.
5
de
orbites,
r?el
p
erb
our
h
l'action
le
par
.

le
au
?
but
riante
de
our
e
de
mo
m?trique
dulair
de
e
de
de
.
t
L'un
quotien
p
,
ts
des
la
repr?sen
e
tations

d?les
osition
et
le
discr?tes,
an
pr?serv
Lemme
an
Une
t
de
les
epr
parab
d?les
oliques,
discr
de
pr
olique
les
erb
ar
yp
oliques,
dans
ersel
h
t
ari?t?
?temen
v
au
la
de
sur
relev
T


e
.
et
Munissons-le
?te,
de
?servant
la
p
top
ab
ologie
Preuv
quotien
Soit
t
tre
de
tation
la
t
top
une
ologie
de
de
repr?sen
la
qui

v
v
v
ergence
pr?serv
simple.
Nous
L'application
v
ler
y
(ou
par

?
de
p
tation
le
l'orien
d?le
t
la
Comme
de
?l?men
.
ar
un
abus,
t
P
des±A PSL (R) |tr A| = 2 ρ2

C
π S −{1} S1
S α C σ Teich(S) ℓ (α)σ
σ α
ℓ (α) > 0σ
ℓ (α) = inf d(x,ρ(γ)x)σ
2x∈H
R
2ρ(γ) H ρ σ γ∈R
π S α γ C1
σ 7! ℓ (α) Teich(S) Rσ
Teich(S)
R = [0,+∞[+
Cℓ : Teich(S) → R −{0}+
σ 7! (ℓ (α)) .σ α∈C

C C Cπ : (R −{0}) →P(R ) = R −{0} / ∼+ + +
(x ) ∼ (y ) λ > 0α α α α
Cx =λy α Rα α +
CP(R ) S+
C (f,α)∈ Diff(S)×C f(γ)
γ α Diff (S)0
CMod(S) C R+
CP(R )+
Cπ ◦ ℓ : Teich(S) → P(R )+
Mod(S)
(π◦ℓ, π◦ℓ(Teich(S)) ) Teich(S)
Mod(S)
C
0
S
π S1
0
par
de
omp
Hausdor
et
p
?
etite

d'une
y
g?o

d?sique
de
ferm?e,
ersion
v
de
oir
actions
par
une
exemple
our
[BH]).
homotop
En
de
notan
donc
t
donc
tout
Th?or?me
our
dans
P
image,
.
El
de
.
outs
dans
b
d'homotopie
des
T
d'un
dans
,

on
tout
a
ou
donc
,
une
agit
application
sur
oisinage
des
v
sur
tout
passage
dans
[Thu1])
homotopables
de
t
,
libremen
hom?
non
elativement
et
adh?-
triviaux,
quivariante
non
de
t
d'utiliser,
homotopiquemen
tin
,
d?sique
de
dans

app
de
Thurston
libre
qui
d'homotopie
par


des
par
ble
de
l'ensem
,
ec
p
v

a
de
tie
de
s'iden
les
qui
es
,
e
de
par
Notons
qu'une
oliques
erm
parab
ordonn?es,
non
par
ts
simpli?e
?l?men
une
des
quotien

(W.
de
ation

d'Anoso
des
le
ble
tout
l'ensem
note
Notons
est
trace.
sur
la
est
de
omp
uit?
dans
tin


est
par
our

top
en
la
oliques
le
parab
rapide
les
(un
e
est
pr?serv
l'unique
que
p
fait
de
la
la
pro
(v

la

ation
p

our
hm
la
naturelle
relation
de
d'?quiv
,

Dans
d?nie
p
par
ble
le
ble
,
motopie
si
simples,
t
?
seulemen
homotopables
et
oisinage
si
t
tit?
our
l'iden
[FLP
ou
l'ensem
olique
les
p
non
de
que,
g?n?ralisations.
de
t
d'homotopie
s'il
non
existe
ferm?e
parab
sur
est
,
de
agit
tel
hom?omorphismes
que


t
la
p
dans
utation
our

l'existence
et
et
agit
p
hom?omorphismes
our
disan
tout
tr?s
l'unicit?
v
.
par
On
au
m
t.
unit
3

Thurston
pro
L'applic
duit
enn
de
v
quel
fermeture
orte
lemme
de
,
la
et
top
dans
ologie
on
pro
la
duit,
ologie
et
un

omorphisme
quotien
son
t
qui
n'imp
r
our

p
acte,
et
ouverte

son
de
r
de
e.
la
le
top
?
ologie
p
quotien
les
t.
de
Le
la
group
d?nition
e
outre
des
Ainsi,
di?omorphismes

de
est
d'holonomie
en
agit
mo
sur
ue
tation

,
longueur
par
de
l'application
g?o
qui
ferm?e
?
est
repr?sen

une
our
g?o
de
our

p
libre
,
,
d?sique).
el?e
Donc

est
actic
dans
de
?gale
de
?
de
la


?ller,
asso
est

p
la
l'action

oir
d'homotopie
l'application

exemple
.
.
r?sultats

[FLP
nous
impliquen
ourrions
les
l'ensem
autres

ersions
l'ensem

des
suit.
d'ho-
e
libre
th?or?me

Nous
non
pas
es

tout
originale
ni
Th
dans
[Th
v

d'un
os?e
oin
t
enlev
[FLP
de
mais
,
de
dans
P

,
par
au2
ble
aussi
toutes
sous

forme

p
triviales
di?ren
p
dans
trer
V
i.e.

toutes
t

?
libre
est

d?sique
homotop
g?o
?
presque
libre
Les
de
de
de

e
t
de
deux
tr
v
p
dans
our
qui
n'imp
Preuv
orte
du
quel
3.

n'utiliserons
anslation
l'appro

he
la
de

urston
d'homotopie
u1
libre
exp
de

,
dans
et

l'action

de
[Bes1,
dicile
au1
pas
P
n'est

mon
pr?sen
t?e
Il
une
.
un
p
eu
oir
te
ar

P
ar
[P
est
triviale.
dans
our
si
profondes
et
6
seulemenγ ,...,γ C1 N
NTeich(S)→R+
σ7! (ℓ (γ ),...,ℓ (γ ))σ 1 σ N
Teich(S) Teich(S)
6g−6+2bR g S b S
Cℓ :Teich(S)→R −{0}+
Cπ◦ℓ : Teich(S)→P(R )+
Mod(S)
π◦ℓ
′σ σ Teich(S) t > 1 ℓ ′ = tℓ a,bσ σ
−1π S ρ (a),ρ (b),ρ (ab),ρ (a b)1 σ σ σ σ
ρ (a),ρ (b) ρ (a),ρ (b)σ σ σ σ
−1A,B SL (R) tr(A),tr(B),tr(AB),tr(A B)2
′σ σ
σ a ρσ
b N π S ρ1 σ
ρ Uσ +
a U−
a
ρ (π S)σ 1
2H
R
1 2ρ (π S) ρ ′(π S) S Hσ 1 σ 1 ∞ R
2H S SR
2 2 ′H → (S,σ) H → (S,σ )R R
2HR
N U ,U+ −
′σ
2ℓ(A) H A SL (R)2R