TS3 Révisions de la semaine du juin Année

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
TS3 Révisions de la semaine du 06 juin Année 2010/2011 EXERCICE 1 (Nombres complexes) Dans le plan complexe (P ) muni d'un repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) d'unité graphique 4 cm, on considère le point A d'affixe a =?1 et l'application f , du plan (P ) dans lui·même, qui au point M d'affixe z, distinct de A, associe le point M ? = f (M) d'affixe z ? tel que : z ? = iz z+1 . 1. Déterminer l'affixe des points M tels que M ? =M . 2. Démontrer que pour tout point M distinct de A et de O, on a : OM ? = OM AM et (?? u , ???? OM ? ) = (??? MA , ???? MO ) + π 2 à 2π près. 3. (a) Soit B le point d'affixe b =? 1 2 + i. Placer dans le repère le point B et la médiatrice (∆) du segment [OA]. (b) Calculer sous forme algébrique l'affixe b? du point B? image du point B par f . Établir que B? appartient au cercle (C ) de centre O et de rayon 1.

• coordonnées des vecteurs ???


• espérance mathématique de la variable aléatoire


• variable aléatoire


• ???? mo


• boule blanche


• affixe b? du point b?


• repère orthonormal direct

Sujets

• Première
• Mathématiques
• La Semaine
• Variable aléatoire

Informations

• Publié par: Ecole-pour-tous
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• Langue: Français

Extrait

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Révisions de la semaine du 06 juin

Année 2010/2011

E X E R C I C E 1(Nombres complexes) ³ ´ −→−→ Dans le plan complexe (P) muni d’un repère orthonormal directO,u,vd’unité graphique 4 cm, on considère le point A d’affixea= −1 et l’applicationf, du plan (P) dans lui∙même, qui au pointMd’affixez, distinct de A, associe ′ ′ le pointM=f(M) d’affixeztel que : iz ′ z=. z+1 ′ 1. Déterminerl’affixe des pointsMtels queM=M. 2. Démontrerque pour tout pointMdistinct de A et de O, on a : ³ ´³ ´ −−−→ OM −−→−→−−→ π ′ ′ OM=etu, OM=MA ,MO+à 2πprès. AM2 1 3. (a)Soit B le point d’affixeb= −+i. 2 Placer dans le repère le point B et la médiatrice (Δ) du segment [OA]. ′ ′ (b) Calculersous forme algébrique l’affixebdu point Bimage du point B parf. ′ Établir que Bappartient au cercle (C) de centre O et de rayon 1. ′ Placer le point Bet tracer le cercle (C) dans le repère. ′ (c) Enutilisant la question 2, démontrer que, si un pointMappartient à la médiatrice (Δ), son imageMpar fappartient au cercle (C). (d) SoitC le point tel que le triangle AOC soit équilatéral direct. En s’aidant des résultats de la question 2, construire, à la règle et au compas, l’image du point C parf(On laissera apparents les traits de construction.) 4. Danscette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l’ensemble (Γ) des pointsM ′ distincts de A et de O dont l’imageMparfappartient à l’axe des abscisses. Les questions a. et b. peuvent être traitées de façon indépendante. (a) Onposez=x+iyavecxetyréels tels que (x,y)6=(−1, 0) et (x,y)6=(0, 0). ′ Démontrer que la partie imaginaire dezest égale à : 2 2 ¡ ¢ x+y+x ′ Imz= 2 2 (x+1)+y En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble (Γ) et le tracer dans le repère. (b) Àl’aide de la question 2, retrouver géométriquement la nature de l’ensemble (Γ).

E X E R C I C E 2(Géométrie) ³ ´ −→−→ −→ L’espace est muni d’un repère orthonormalO,ı,,k. On considère les points A(1 ;−1 ; 4), B(7 ;−1 ;−2) et C(1 ; 5 ;−2). −→−→−→ 1. (a)Calculer les coordonnées des vecteurs AB ,AC etBC . (b) Montrerque le triangle ABC est équilatéral. −→ (c) Montrerque le vecteurn(1 ; 1 ; 1) est un vecteur normal au plan (ABC). (d) Endéduire quex+y+z−4=0 est une équation cartésienne du plan (ABC). 2. SoitDla droite de représentation paramétrique  x= −2t  y= −2t−2 où t∈R.  z= −2t−3

(a) Montrerque la droiteDest perpendiculaire au plan (ABC). (b) Montrerque les coordonnées du point G, intersection de la droiteD1 ; 0).et du plan (ABC) sont (3 ; (c) Montrerque G est l’isobarycentre des points A, B et C.

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3. SoitSla sphère de centre G passant par A. (a) Donnerune équation cartésienne de la sphèreS. (b) Déterminerles coordonnées des points d’intersection E et F, de la droiteDet de la sphèreS.

E X E R C I C E 3(Probabilités)

Une urne contient 10 boules blanches etnboules rouges,nétant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On fait tirer à un joueur des boules de l’urne. À chaque tirage, toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3 euros. On désigne parXla variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur.

Les trois questions de l’exercice sont indépendantes.

1. Lejoueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l’urne. 20n (a) Démontrerque :P(X= −1)=. (n+10)(n+9) (b) Calculer,en fonction denla probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par la variableX. (c) Vérifierque l’espérance mathématique de la variable aléatoireXvaut :

2 −6n−14n+360 E(X)=. (n+10)(n+9) (d) Déterminerles valeurs denpour lesquelles l’espérance mathématique est strictement positive. 2. Lejoueur tire 20 fois successivement et avec remise une boule de l’urne. Les tirages sont indépendants. Déter miner la valeur minimale de l’entiernafin que la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge au cours de ces 20 tirages soit strictement supérieure à 0,999. 3. Onsuppose quen=es.L’urne contient donc 10 boules blanches et 1 000 boules roug1 000. Le joueur ne sait pas que le jeu lui est complètement défavorable et décide d’ effectuer plusieurs tirages sans remise jusqu’à obtenir une boule blanche. Le nombre de boules blanches étant faible devant celui des boules rouges, on admet que l’on peut modéliser le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une boule blanche par une variable aléatoireZsuivant la loi : Z k −0,01x pour toutk∈N,p(ZÉk)=d0, 01ex. 0 On répondra donc aux questions suivantes à l’aide de ce modèle. (a) Calculerla probabilité que le joueur ait besoin de tirer au plus 50 boules pour avoir une boule blanche, soit P(ZÉ50). (b) Calculerla probabilité conditionnelle de l’évènement : « le joueur a tiré au maximum 60 boules pour tirer une boule blanche » sachant l’évènement « le joueur a tiré plus de 50 boules pour tirer une boule blanche ».

E X E R C I C E 4(Equations différentielles)

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment. Partie A :

On cherche à déterminer l’ensemble des fonctionsf, définies et dérivables sur l’intervalle ]0 ;+∞[, vérifiant la condi tion (E) :

′2 2x pour tout nombre réelxstrictement positif,x f(x)−f(x)=xe . 1. Montrerque si une fonctionf, définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ;+∞[, vérifie la condition (E), alors la f(x) fonctiongdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ parg(x)=vérifie : x ′2x pour tout nombre réelxstrictement positif,g(x)=e . 2. Endéduire l’ensemble des fonctions définies et dérivables sur l’intervalle [0 ;+∞[ qui vérifient la condition (E).

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3. Quelleest la fonction définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ;+∞[ qui vérifie la condition (E) 1 et qui s’annule en? 2

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Partie B : On considère la fonctionhdéfinie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par 1 e 2x h(x)=xe−x. 2 2 ³ ´ −→−→ On désigne parCO,sa courbe représentative dans un repère orthonormalı,. 1. Déterminer,suivant les valeurs du nombre réel positifx, le signe deh(x). Z Z 1 1 2 2 2x 2. (a)Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’intégralexe dxet en déduireh(x) dx. 0 0 (b) Endéduire, en unité d’aire, la valeur exacte de l’aire de la partie du plan située en dessous de l’axe des abscisses et au dessus de la courbeC.

E X E R C I C E 5(Intégrales) ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormalO,ı,. On considère la fonctionfdéfinie surRpar :

2−x f(x)=xe . ′ On notefla fonction dérivée def. 1. (a)Déterminer les limites de la fonctionfen−∞et+∞. ′ (b) Calculerf(x) et déterminer le tableau de variations def. (c) Endéduire le signe defsurR. Z a 2. Pourtout nombre réela, on considère l’intégrale :I(a)=f(x) dx. 0 (a) Donnerselon les valeurs deale signe deI(a). (b) Àl’aide d’une double intégration par parties montrer que pour tout nombre réela: µ ¶ 2 a −a I(a)=2−2e 1+a+. 2

(c) Endéduire pour tout nombre réela:

µ ¶ 2 1a a a eI(a)=e−1+a+. 2 2

2 x x 3. Soientgethles fonctions définies surRparg(x)=e eth(x)=1+x+. 2 On noteCla courbe représentative degetPcelle deh.

(a) Montrerque les courbesCetPont la même tangente au point d’abscisse 0. (b) Déduiredes questions précédentes la position relative des courbesCetP.

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E X E R C I C E 6(Suites) On considère la suite de nombres réels (u n ) définie surNpar : 1 1 u= −1,u=et, pour tout entier natureln,u=u−u. 0 1n+2n+1n 2 4 1. Calculeru 2 et en déduire que la suite (u n ) n’est ni arithmétique ni géométrique. 2. Ondéfinit la suite (v n ) en posant, pour tout entier natureln: 1 v=u−u. n n+1n 2 (a) Calculerv. 0 (b) Exprimerv n+1 en fonction dev n . 1 (c) Endéduire que la suite (v n ) est géométrique de raison. 2 (d) Exprimerv n en fonction den. 3. Ondéfinit la suite (w n ) en posant, pour tout entier natureln: u n w n =. v n (a) Calculerw 0 . 1 (b) Enutilisant l’égalitéu n+1 =v n +u n , exprimerw n+1 en fonction deu n et dev n . 2 (c) Endéduire que pour toutndeN,w n+1 =w n +2. (d) Exprimerw n en fonction den. 4. Montrerque pour tout entier natureln 2n−1 u n =. n 2 k=n X 5. Pourtout entier natureln, on pose :S n =u k =u 0 +u 1 + ∙ ∙ ∙ +u n . k=0 Démontrer par récurrence que pour toutndeN: 2n+3 S n =2−. n 2

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