Universite Claude Bernard Lyon Annee
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Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Universite Claude Bernard Lyon 1 Annee 2011-12 UE Analyse. Pharmacie-Ingenieurs 3eme annee Bibliographie : - Pierre Vigoureux, “Analyse”, tome 2. Editions ellipses. - Jean-Marie Monier “Analyse”. Edition Dunod. Table des matieres 1 Bornes superieure et borne inferieure 3 2 Les nombres complexes. Quelques rappels 4 2.1 Le corps C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Partie reelle et imaginaire. Conjugue. Module et argument . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Exponentielle d'un nombre imaginaire pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Suites numeriques 6 3.1 Suites convergentes et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2 Sous-suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3 Utilisation de l'axiome du sup . .

  • suites complexes

  • operation de somme definie

  • argument de z

  • notation algebrique

  • demi-axe des abscisses positives

  • series entieres

  • ordre de multiplicite

  • rayon de convergence


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Langue Français

Exrait

Universit´eClaudeBernardLyon1Anne´e2011-12 UEAnalyse.Pharmacie-Ing´enieurs3e`meanne´e Bibliographie : ´ - Pierre Vigoureux, “Analyse”, tome 2. Editions ellipses. ´ - Jean-Marie Monier “Analyse”. Edition Dunod. Tabledesmatie`res 1Bornessup´erieureetborneinfe´rieure3 2 Les nombres complexes. Quelques rappels 4 2.1 Le corpsC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2Partiere´elleetimaginaire.Conjugue´.Moduleetargument.............4 2.3 Exponentielle d’un nombre imaginaire pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3Suitesnume´riques6 3.1 Suites convergentes et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2 Sous-suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3 Utilisation de l’axiome du sup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.4 lim sup et lim inf d’une suit ´ lle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 e ree 3.5 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4S´eriesdansRouC11 4.1Premierscrit`eresdeconvergence...........................12 4.2Se´riesr´eelles`atermespositifs.............................12 4.3Crite`resdeconvergencepourlesse´riesatermescomplexes.............15 ` 4.4 Sommation par paquets, changement de l’ordre des termes . . . . . . . . . . . . . 16 5 Suites de fonctions 18 5.1 Convergence simple et uniforme d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . 18 5.2Propri´ete´sdelaconvergenceuniforme........................18 5.3Lecasdessuitesdesfonctionsa`valeurscomplexes.................20 6S´eriesdefonctions20 7Se´riesentieres21 ` 7.1 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7.2De´rivabilite´etint´egrationdunes´erieentie`re....................22 7.3Fonctionsd´eveloppablesens´eriesenti`eres......22 . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4Se´riesenti`erescomplexes................................23 8S´eriesdeFourier24 8.1Se´riestrigonome´triques................................24 8.2De´veloppementense´riedeFourierdunefonctionpe´riodique...........25 AExercicessurlesbornessup´erieureetinfe´rieure26 B Exercices sur les nombres complexes 26 1
C
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Exercices
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1Bornessup´erieureetborneinfe´rieure Nouscommenconsparrappelerquelquesnotionse´troitementli´ees`alarelationdordre¸ d´eniedanslensembleReelsesr´ombrdesn. De´nition1.1.SoitARetm,Mxneudle.smorbree´ - On dit queMest unmajorant deAdansRsi et seulement si :aA, aM. - On dit quemest unminorant deAdansRsi et seulement siaA, ma. - On dit queMstepllegrus´dnae´letnemedA(ou lemaximum deA) siMAetMest un majorant deAtirce´nO.soralM= maxA - On dit quemsulpellpetsmentel´etit´uspeedA(ou leminimum deA) simAetm est un minorant deA.nOe´scritalorm= minA. Exemple 1.1.max([0,1]) = 1. max([0,1[) n’existe pas max([0,+[) n’existe pas. D´enition1.2.Une partie deAest ditee´eorajm(resp.ee´ronim) dansRsi et seulement s’il ´ existe au moins un majorant (resp. un minorant) deAdansRartiunepetEna.´needtnoAdeR: - on appellereeuri´edepusenrobAdansRle plus petit des majorants deAdansR, s’il existe.Cet´el´ementestnot´esupA. - on appelleboederueire´fnienrAdansRle plus grand des minorants deAdansR, s’il existe.Cet´el´ementestnot´einfA. Exemple 1.2.sup([0,1]) = 1, sup([0,1[) = 1, sup([0,+isexn[)(sametapsuasinose`atori0iresu´pe(c[r,+[) = +).
Nousadmettonsleth´eor`emesuivant,quelone´tablitlorsquelonconstruitrigoureusement l’ensembleRuosngarvecsniatrda,(dumelemmoceuoixalssoui-deconnsestrpposeal´tceire´ sup”). Th´eore`me1.1.ee´redtienonvideetmajooTtuperaRadmet une borne superieure dansR. ´ Enconside´rantlensembledesoppos´esdese´l´ementsdunepartieAon obtient ceci : toute partienon-videetminor´eedeRaroenni´fmdtenubederueiresnaR. Remarque 1.3.uqpearite´etuodrerlerminsupapslanDSd’une partieAdeRon utilise souventcettecaracte´risation: S= supA⇐⇒(aA:aS  >0,aAtel queS < a. Onpeutcaract´eriserlinfIdeAallbesbm:edneunimare`e ( >0,aIAatel quea < I+. I= infA⇐⇒aA:
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2 Les nombres complexes. Quelques rappels 2.1 Le corpsC Certaine´uationsalg´ebriquesdedegre´dte2erexpmelc,moemaper´eelleinconnux2+ s eq 1=0,nontpasdesolutions.Nousallonsmaintenant´elargirlecorpsdesre´elsRen introduisant le corpsCdes nombres complexes. DansCatqu´eneuionalg´ebriquedeedrge´njoousurpso`sdeten solutions(encomptantlesordredemultiplicit´e).L´etudedeCletituesm´eog´enalpeirteteen entrigonome´trie.Deplus,C.sereitns´erieseudierlesle`o´uterdnetaruitrncaleouf ` De´nition2.1.Le corpsCest l’ensembleR2tion´eraesopunidm,cilpoitansodeeemmemtdtiul suivantes : pour tout(x, y)R2et(x0y0)R2: (x, y) + (x0y0) = (x+x0, y+y0),(x, y)(x0, y0) = (xx0yy0, xy0+x0y0). One´crittre`ssouventx+iyg´ebonaltati(nodecalpala`)euqire(x, yqieu.)e´moe´rtngioatot(n) Ilconvientdesimplierlanotationalg´ebriquedesnombrescomplexes(x,0) et (0, y:)rctinoe´ alorsx+i0 =xet 0 +iy=iysixetysont de lles. ´ En particulier, on peut voir tout nombre s ree re´ellexcomme un nombre complexe :RC. On voit que siz=x+iyetz0=x+iy0sont deux nombres complexes, alors z+z0= (x+x0) +i(y+y0), zz0= (xx0yy0) +i(xy0+x0y). En particulier 0 = 0 +i0. En outre,i += 0ise1tatonalteroconbmexpmellg´eionauedubriq (0,),1peapel´amieanigeriut´ni. La formule ci-dessus montre quei2= (0 +i1)(0 +i1) =1. Lethe´or`emeci-dessousexprimelefaitqueCest uncorps commutatif. The´ore`me2.1.emt,eleeldasociativative,assesues-dutmmcostdemmosediceine´Loption´era un´el´ementneutre,quiest0 = 0 +i0oT.e´tuentl´emzdeCadsnsoe´onppdeueoss`pCet´no,z. Siz=x+iy, alorsz=x+i(y)(´tonsuaeisxiy). Lope´rationdeproduitd´enieci-dessusestcommutative,associative,distributiveparrapport a`lasomme,elleadmetun´el´ementneutrequiest1 = 1 +i0t´el´emen.tuoTzdeC=C\{0} e e poss`dune´le´mentinverse,note´z1ouz1. Siz=x+iyavecxetyr´eeolsrsla, 1xy =2+iy2. z x2+y x2+ 2.2Partiereelleetimaginaire.Conjugue´.Moduleetargument ´ D´enition2.2.Pour tout complexez=x+iy, avecxetyel´eons,ed´t:nir i) Leeugu´conjdezot´¯ ¯iy. , n ez, parz=x ii) Laellee´ertiarpdez, parRez=xet sapartie imaginaire, parImz=y. iii) Lemoduledez, par|z|=px2+y2sacelsnalucitrap`uroieD(.z=xR, on retrouve lad´enitionusuelledelavaleurabsoluedex). iv) L’argumentdez(lorsquez6= 0´e)n,toArg(z)ntieorlengaeltdnee´mirpxe(e´.Ilsagi ~ radians) entre le demi-axe des abscisses positives et le vecteurOPu`o,P= (x, y)est le pointquirepr´esentezdansR2. Remarque 2.1.Le module|z|exprime la distance entrez(vu come point deR2) et l’origine. SizC, avecz6= 0, siθdetdnemugralengise´z, on a : z=|z|(cosθ+isinθedqueoitnirogon´mteir)(notatz). Bien entendu, siθest un argument dez, alorsθ+ 2(aveckZ) l’est aussi. L’argumentθ d’un nombre complexez=x+iy6= 0 est tel que cosθ=px2x+y2,sinθ=px2y+y2.
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