UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

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davaj

Date de parution

01 juin 2010

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Français

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES EXAMEN DE JUIN 2010 Licence LCMA - 1ère année Durée du sujet : 3H Analyse 1 - Semestre de printemps Calculatrices non autorisées Documents non autorisés Exercice 1 Soit la fonction f : [ 0, +∞ [ ? R x 7? ln(x + 2) . 1. Montrer que f est contractante. 2. Montrer que l'intervalle [ 0, +∞ [ est stable par f . 3. Montrer que f possède un unique point fixe (que l'on ne cherchera pas à déterminer) sur [ 0, +∞ [ . 4. On définit la suite (un)n?N par u0 = 1 et un+1 = f(un) pour tout n ≥ 0. Cette suite converge- t-elle. Justifier. Exercice 2 On rappelle que e = exp 1 ≤ 3 et e?1 ≤ 1. Soit n ? N. Trouver un polynôme P2n de degré 2n tel que pour tout x ? [ 0, 1 ] , | ch x? P2n(x)| ≤ 2 (2n + 2)! . En déduire un nombre rationnel qui approche ch 1 à 10?3 près. Exercice 3 Pour x ? R, on pose F (x) = x4 ∫ x2 ln(2 + t + cos x) dt .

expression explicite de f0

formule de taylor-lagrange

x4 ∫

théorème du point fixe

subdivision du segment

semestre de printemps calculatrices

polynôme de taylor

Voir

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Français

UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

EXAMEN DE JUIN 2010

Licence LCMA 1ère année Analyse 1  Semestre de printemps Calculatrices non autorisées

Durée du sujet : 3H

Documents non autorisés

Exercice 1

Soit la fonction f0: [ ,+∞[ x 1. Montrer quefest contractante.

→ 7→

R ln(x+ 2).

2. Montrer que l’intervalle[ 0,+∞[est stable parf.

3. Montrer quefpossède un unique point ﬁxe (que l’on ne cherchera pas à déterminer) sur [ 0,+∞[.

4. On déﬁnit la suite(un)n∈Nparu0= 1etun+1=f(un)pour toutn≥0. Cette suite converge telle. Justiﬁer.

Exercice 2

−1 On rappelle quee= exp 1≤3ete≤1. Soitn∈N. Trouver un polynômeP2nde degré2ntel que pour toutx∈[ 0,1 ], 2 |chx−P2n(x)| ≤. (2n+ 2)! −3 En déduire un nombre rationnel qui approchech 1à10près.

Exercice 3