Corrigé mathématiques bac ES (2017)

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• Publié par: LExpress.fr
• Publié le: 21 juin 2017
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• Langue: Français

Extrait

Série ES
ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Exercice 1 (6 points)

MATHEMATIQUES
Série L
ENSEIGNEMEN DE SPECIALITE

1.a.T1suit la loi uniforme sur l'intervalle [0 ; 12].
Laprobabilité qu'un client attende au moins 5 minutes avant d'être pris en charge est :
12−5 7
P(T⩾5)=P(5⩽T⩽12)= =≈0,583
1 1
12−0 12
0+12
E(T)=
b.Le temps moyen d'attente à une caisse est :1=6 min
2

2.T2suit la loi normale d'espérance 5 et d'écart-type 1,5. A l'aide de la calculatrice, on obtient
P0,75⩽T⩽
(16)≈0,745

3. a.On répèten= 10 fois une même expérience aléatoire de manière indépendante à deux issues :
la caisse tombe en panne ou ne tombe pas en panne avec une probabilité de tomber en pannep= 0,1.
Xest la variable aléatoire égale au nombre de caisses qui tombent en panne pendant une journée donnée.
Xsuit donc la loi binomiale de paramètresn= 10 etp= 0,1.

b.

10 10
P X=0=(1−0,1) =0,9≈
( )

0,349

4.On effectue un sondage de taillen= 860.
Onfait l'hypothèse que la proportion de clients satisfaits soitp= 0,9.
L'intervallede fluctuation asymptotique au seuil de confiance à 95 %est :
p(1−p)p(1−p)
I=p−1,96; p+1,96≈[0,880 ; 0,920]
[ ]
√n√n
763
Lafréquence de clients satisfaits observée est :f= ≈0,887
860
Conclusion :f∈Idonc on ne peut pas remettre en question l'affirmation du gérant.

Exercice 2 (5 points)

u12
Partie ALa suite (un) est définie paru0= 900 et, pour tout entier natureln,n+=0,75u+.
1n
1.u=900
0
u=0,75u+12=0,75×900+12=687
1 0
u=0,75u+12=0,75×687+12=527,25
2 1
erer
Le 1Mars 2017 correspond àn= 2.On peut donc estimer à 527 le nombre d'adhérents au 1Mars 2017.
2.Pour tout entier natureln,v=u−48
n n
−48=0,75u+12−
a.Pour tout entier natureln,vn+=u+1n48=0,75u−36
1n n
36
v=0,75u−u−48
doncn+1n=0,75(n)
( )
0,75
=0,75v
v+1n
n
La suite (vn) est doncgéométrique de raisonq= 0,75
b.terme estSon premierv=u−48=900−48=852.
0 0
nn
Ona, pour toutn,vn=v0×qdoncvn=852×0,75

c.Pour tout entier natureln,

v=u−48 donc
n n
d'où

u=v+48
n n
n
un=852×0,75+48

n
3.On cherche le premier entierntel queun⩽100 soit 852×0,75+48⩽100
n
ce qui équivaut à852×0,75⩽52
n52
0,75⩽
852
n52
qui donneln(0,75)⩽ln carla fonctionlnest strictement croissante sur]0;+∞[.
(852)
52
nln)⩽ln
0,75
(
(852)
52 52
ln ln
( )( )
852 852
soitn⩾carln(0,75) < 0.≈on trouve que le premier entier solution est9,7 doncn= 10.
ln(0,75)ln(0,75)
La présidente devra démissionner au bout de 10 mois.
Remarque : Cette solution s'obtient également par lecture du tableau de valeurs sur la calculatrice.

Partie B
1.Les lignes à compléter sont
7e ligneAffecter à S la valeurS+10×U
Dernière ligneSortieAfficher S
2. S=10×u+10×u+...+10×usomme de 12 termes
0 111
S=10×(u+u+...+u)
0 111
Oru+u+...+u=(v+48)+(v+48)+...+(v+48)=v+v+...+v+48×12
0 111 01 110 111
avec (vn) géométriquede raisonq= 0,75 et de premier termev0= 852.
12
1−q
d'oùu0+u1+...+u11=852× +576≈3 876, 047
1−q
etS≈10×3 876,047=38 760,47 €

Exercice 3 (6 points)

Partie A

x

f '(x)

f(x)

0

1

3x
Pour toutxsur [0 ; 1] on donnef(x)=(1−x)e
3x
1.Pour toutxsur [0 ; 1] on sait d'après l'énoncé quef '(x)=(−3x+2)e
3x2
Ore>0pour toutxet−3x+2>0donnex<. D'où
3
2
1
3
3×0 0
f(0)=(1−0)e=1e=1
3×2 2
+ 0 –
2 2312e
f=1−e=e=
2)( ) (
3 33 3
e
3×1
3 f(1)=(1−1)e=0
0

3x
2.D'après le logiciel de calcul formel,f' '(x)=3e(1−3x).
3x1
avec 3e>0 pourtoutxet 1−3x>à0 équivautx<. D'où
3
1
x0 1
3
f ''(x)–+ 0

Convexité de f

convexe

concave

Conclusion :Cfpossède un point d'inflexion de coordonnées

1
x=
3

et

3×1
1 13212e
y=f=1−e=e=
( ) (3)
3 33

Partie B
1.D'après la partie A on sait quef(1) = 0 etf(0) = 1 donc A ( 1 ; 0) et B(0 ; 1) appartiennent bien àCf.
2 2
D'autre part,g(1)=1−2×1+1=0etg(0)=0−2×0+1=1
donc A ( 1 ; 0) et B(0 ; 1) appartiennent aussi àCg.
Conclusion :A ( 1 ; 0) et B(0 ; 1) sont des points communs aux courbesCf etCg.

3x
2. a.Résolvons l'inéquatione−1⩾0.
3x
e⩾1
3x
ln(e)⩾ln 1car la fonction ln est strictement croissante
3x⩾0soitx⩾0
3x
Conclusion : On a donc bien pour toutxdans [0 ; 1],e−1⩾0

b.De plus sur [0 ; 1],

x⩾0

donc

3x
e−1+x⩾0

3x
c.Pour toutxdans [0 ; 1],f(x)−g(x)=(1−x)(e−1+x)
3x
avece−1+x⩾0 etx⩽1donc1−x⩾0.
Conclusion : Pour toutxdans [0 ; 1],f(x)−g(x)⩾0.

1 11
3 33
2x21202
∫ ∫
3. a.g(x)dx= (x−2x+1)dx= −x+x= −1+1− −0+0=
[ ]( )( )
3 33
0 00
b. fetgsont deux fonctions continues sur [0 ; 1] telles quef(x)−g(x)⩾0.
1 11
∫ ∫∫
On a doncS=(f(x)−g(x))dx=f(x)dx−g(x)dx
0 00
3
e−4 1
S= −u.a.
9 3
SoitS≈1,5u.a.en arrondissant au dixième.

1
3

Exercice 4 (3 points)
ln(c+1)−ln(c)
Pour tout entier c compris entre 1 et 9,P(X=c)=
ln(10)
ln(2)−ln(1)ln(2)
1.On a doncP(X=1)= =≈0,301
ln(10)ln(10)
2. a. Premier cas.
On prend un échantillon de taillen= 36 677.
ln(2)
Onfait l'hypothèse quep=P(X=1)= ≈0,301
ln(10)
L'intervallede fluctuation asymptotique au seuil de confiance à 95 %est :
p(1−p)p(1−p)
I=p−1,96; p+1,96≈[0,296 ; 0,306]
[ ]
√n√n
La fréquence observée de communes dont la population est un nombre qui commence par 1 est :
11094
f= ≈0,302.
36 677
Conclusion :f∈Idonc l'observation ne permet pas de remettre en question l'affirmation proposée.

b. Deuxième cas.
On peut supposer que, sauf rares exceptions, les candidats mesurent entre 1 mètre et deux mètres, soit
une mesure en centimètres qui commence par 1.
On peut donc supposer queP(X=1)≈1 .On est très loinP(X=1)≈0,301 quedonne la loi de Benford.
Conclusion : La loi de Benford n'est ici pas adaptée pour la variable aléatoireX.