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• Langue: Français

Extrait

´Institut de mathematiques
Modules d’endo-permutation
Th`ese de doctorat
pr´esent´ee a` la
Facult´e des Sciences de
l’Universit´e de Lausanne
par
Nadia Mazza
Diplˆom´ee en Math´ematiques
Universit´e de Lausanne
Jury
M. le Professeur Gervais Chapuis, Pr´esident
M. le Professeur Jacques Th´evenaz, Directeur de th`ese
M. le Professeur Serge Bouc, Expert
M. le Professeur Jon Carlson, Expert
Mme. le Professeur Donna Testerman, Expert
Lausanne
20032
«J’´etais assis, un peu voutˆ ´e, la tˆete basse,
seul en face de cette masse
noire et noueuse enti`erement brute
et qui me faisait peur.
Et puis j’ai eu cette illumination.»
Jean-Paul Sartre, La naus´ee.Table des mati`eres
0.1 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.2 Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I Le groupe de Dade 11
1 Notions de base 13
1.1 Repr´esentations des groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Modules d’endo-permutation et groupe de Dade . . . . . . . . . . 15
1.3 P-alg`ebres de Dade et groupe de Dade . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Changement de caract´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Syzygies, morphismes et compositions . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 1978-2002 : L’Odyss´ee du groupe de Dade 35
3 Les p-groupes m´etacycliques 43
3.1 Structure des p-groupes m´etacycliques . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Groupe de Dade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Le plus petit exemple non ab´elien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Groupes extrasp´eciaux 59
4.1 G´en´eralit´es sur les p-groupes extrasp´eciaux . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Un cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
II Mode d’emploi des modules d’endo-permutation 87
5 Sources de modules simples 89
5.1 Encore des q-groupes extrasp´eciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2 Construction de groupes finis p-nilpotents . . . . . . . . . . . . . 92
5.3ction de modules simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3.1 Cas d’un groupe cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.2 Cas d’un groupe quaternionien . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.3 Cas d’un groupe semidi´edral . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.4 Inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3`4 TABLE DES MATIERES
5.5 Induction tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.6 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.7 Morale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.8 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.9 Un autre exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6 Equivalences splendides 121
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2 R´esolutions de permutation endo-scind´ees . . . . . . . . . . . . . 122
6.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7 Conclusion 1310.1 R´esum´e
Danslath´eoriedesrepr´esentationsmodulairesdesgroupesfinis,lesmodules
d’endo-permutation occupent une place importante. En effet, c’est le rˆole jou´e
par ces modules dans l’analyse de la structure de certains modules simples pour
desgroupesfinisp-nilpotents,quiaamen´eE.Dadea`enintroduireleconcept,en
1978. Quelques ann´ees plus tard, L. Puig a d´emontr´e que la source de n’importe
quel module simple pour un groupe fini p-r´esoluble quelconque est un module
d’endo-permutation. Plus r´ecemment, on s’est rendu compte que ces modules
interviennent aussi dans l’analyse locale des cat´egories d´eriv´ees et dans l’´etude
des syst`emes de fusion.
La situation que l’on consid`ere est la suivante. On se donne un nombre pre-
mier p, un p-groupe fini P, un corps alg´ebriquement clos k de caract´eristique p
et on veut d´eterminer tous les kP-modules d’endo-permutation couverts ind´e-
composables de type fini, c’est-`a-dire tous les kP-modules ind´ecomposables de
type fini, tels que leur alg`ebre d’endomorphismes est un kP-module de permu-
tation ayant un facteur direct trivial. On d´efinit une relation d’´equivalence sur
l’ensemble de ces kP-modules et le produit tensoriel des modules induit une
structure de groupe ab´elien sur l’ensemble des classes d’´equivalence. On appelle
ce groupe, le groupe de Dade de P. Ainsi, classifier les modules d’endo-permu-
tation couverts revient a` d´eterminer le groupe de Dade de P.
Le groupe de Dade d’un p-groupe fini arbitraire est encore inconnu, bien
qu’E. Dade, en 1978, ´etait d´eja` parvenu a` la classification dans le cas ou` P est
ab´elien. La premi`ere partie de ce travail de th`ese est consacr´ee au probl`eme
de la classification dans le cas g´en´eral et r´esoud la question dans le cas de
deux familles de p-groupes finis, a` savoir celle des p-groupes m´etacycliques,
pour un nombre premier p impair, et celle des 2-groupes extrasp´eciaux, de la
forme D ∗···∗D . Ces deux choix ont ´et´e motiv´es par le fait que ces groupes8 8
sont “presque” ab´eliens. De plus, certains r´esultats sur la structure du groupe
de Dade d’un p-groupe fini quelconque rendent le groupe de Dade des groupes
de ces deux familles plus simple a` ´etudier.
Dans un deuxi`eme temps, nous nous sommes int´eress´es a` deux occurrences
decesmodulesdanslath´eoriedelarepr´esentationdesgroupesfinis,c’est-`a-dire
a` deux raisons qui motivent leur ´etude. Ainsi, nous avons r´ealis´e des modules
d’endo-permutationcommesourcesdemodulessimples.Enparticulier,ils’av`ere
que,danslecasd’unnombrepremierpimpair,toutmoduled’endo-permutation
ind´ecomposable dont la classe est un´el´ement de torsion dans le groupe de Dade
est la source d’un module simple. Finalement, nous avons d´etermin´e, parmi
tous les modules d’endo-permutation connus actuellement, lesquels poss`edent
une r´esolution de permutation endo-scind´ee. Nous sommes arriv´es a` la conclu-
sion que les seuls modules d’endo-permutation qui n’ont pas de r´esolution de
permutation endo-scind´ee sont les modules “exceptionnels” apparaissant pour
un 2-groupe de quaternions g´en´eralis´es.`6 TABLE DES MATIERES
0.2 Abstract
This dissertation is concerned with the classification of endo-permutation
modules. These modules were first introduced by E. Dade, in 1978, and their
study is motivated by the important role they play in some areas of representa-
tion theory of finite groups.
For instance, they appear as sources of simple modules for finite p-solvable
groups, as it has been proved by L. Puig. They also occur in the local analysis
ofsplendidderivedequivalencesbetweenblocks.Indeed,J.Rickardnoticedthat
some of them have an endo-split permutation resolution inducing this equiva-
lence. At present, it turns out that they are also of relevant importance in the
study of fusion systems, considered in topology, as well as in group theory. Let
us give an outline of the situation.
Given a prime number p, a finite p-group P and an algebraically closed
field k of characteristic p, we say that a finitely generated module M is an
endo-permutationmoduleifitsendomorphismalgebraEnd M isapermutationk
kP-module. We say that an endo-permutation module is capped if it has an
indecomposable direct summand with vertex P.
We can define an equivalence relation on the set of (isomorphism classes of)
capped endo-permutation kP-modules and the set of all equivalence classes is
a finitely generated abelian group for the associative law induced by the tensor
product. We call this group the Dade group of P.
Hence,thequestionoftheclassificationofallendo-permutationkP-modules
reduces to the computation of the Dade group of P.
In 1978, Dade solved this problem in case P is an abelian p-group. More
than twenty years later, the general case is still open and we only have some
partial results on the group structure.
Our contribution to the classification of endo-permutation modules consists
in determining the Dade group of two families of finite p-groups, namely me-
tacyclic p-groups for an odd prime number p, and extraspecial 2-groups of the
∗nshape D , for an integer n≥ 2.8
Wealsoconsidersomeaspectsofthetheorywherethesemodulesoccur.More
precisely, we give an explicit realization of “many” endo-permutation modules
as sources of simple modules and, following a recent result of J. Carlson, this
proves that all torsion endo-permutation modules effectively occur as sources of
simple modules, for an odd prime number p.
Finally,usingworkofS.BoucandJ.Rickard,weprovethatamongallendo-
permutation modules we know at present, the only ones which don’t have an
endo-split permutation resolution are the “exceptional” modules occuring for a
generalized quaternion 2-group.0.3 Introduction
Le sujet de ce travail