Die Elemente der analytischen Geometrie : zum Gebrauche an höheren Lehranstalten sowie zum Selbststudium : mit zahlreichen Übungsbeispielen

University Of California Libraries, Heinrich Ganter, Ferdinand Rudio

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ANTERundRUPIO G PIE ANALYTISCgE GEOMETRIE PER EBENE " VIERTE AUFLAGE B. G. TEUBNER 4IN LEIPZIGIr erschit Bolys Eber] Enge Frisc ] Grafs Killi Krafi Loba Pean Schle Scho- Stäcl Vero Wass PI« Born Broc Conr Dron Erlei Frisc Girnun.———————————— Dronke, die Kegelsclinitte in synthetischer Behandlungsweise. n. ^iC 2. Durege, die ebenen Kurven 3. Ordnung. n. „ 7.20 Eberhard, die Grundgebilde der ebenen Geometrie. n. „ 14. zur Morphologie der Polyeder. n. 8.„ Fiedler, Cyklographie. n. 9.„ Fuhrmann, W., Einleitung in die neuere Geometrie. n. ,, 1.60 EinleitungGeiser, in die synthetische n. 3.,, Hankel, H., Vorlesungen üb. d. Elemente der projektivischen Geometrie n. Jfc T.- Henrici und Treutlein, Lehrbuch der Elementar-Geometrie. IL Teil. n. .« 2 80 Holzmüller, math. Lehrbuch. Bd. HI. n. „ 2.80 Kötter, die Entwickelung der synthetischen Geometrie. n. 4.40„ Müller, H., Leitfaden der ebenen Geometrie. TeilL 2. Heft und IL Teil. n. 2.80^ü Leitfaden der Stereometrie. 2.n. „ Pasch, Vorlesungen über neuere Geometrie. d. 4.„ Reye, synthetische Geometrie der Kugeln und linearen Kugelsysteme. n. 2.40.ä; 5.Schell, allgemeine Theorie der Kurven doppelter Krümmung, n. „ Schroeter,Theorieder Oberflächen2 . Ordnungu.Raumkurven Ordnung.3. n. .«. 16.— —Kurven Ordnung.Theorie der ebenen 3. n- „ 8 . Grundzüge einer rein geometr. Theorie derRaumkurven 4. 0. 1. Sp. n. J{. 2.80 Steiner' s Vorlesungen über synthet. Geom., bearb. v. Geiser u. Schroeter. n. J6.20.— Sturm, die Gebilde 1. u. 2. Grades d. Liniengeom. in synthet. Behandlung. n. JCi2.— synthetische Untersuchungen über Flächen 3. Ordnung. n. 8.„ —Th mae , Untersuchungenüberzwei zweideutige Verwandtschaften, n. „ 3 Henrici und Treutlein.Treutlein und Henrici, siehe: Weyer, Einführung in die neuere konstruierende Geometrie. n. „ 1.20 —geometrischen Elementargebilde, n.Weyr, Theorie der mehrdeutigen „ 4. 1 —Geometrie der räumlichen Erzeugnisse —2deutiger Gebilde, n. 4 .„ —Geometrie. t^-Witzschel, Grundlinien der neueren 6-,, oder Gestaltenlehre.Topologie auf Krystallographie.)(Anwendung Dingeldey, topologische Studien u. s. w. n. JC 2.40 Geometrie. 14.Eberhard, die Grundgebilde der ebenen n. „ Polyeder. ii- 8.zur Morphologie der ,» n.Minkowski, Geometrie der Zahlen. 8.„ cyklocentiische Konchospirale. n. 1Naumann, über die ,, über die Rationalität der Tangentenverhältnisse. d. 1„ Krystallstruktur. n. 12.Schoenflies, KrystaUsysteme und „ Entwickelung einer Theorie der n. 8.Sohncke, „ Geometrie.Abzählende n. 9.60Schubert, Kalkül der abzählenden JC Bewegung.Geometrie der (Kinematik.) 6.—die Integraphen, deutsch von Bitterli. n. JtAbdank-Abakanowicz, Bewegungsmechanismen.Dingeldey, Erzeugung von Kurven 4.0. durch 2.n. JC Band. n. 10.—der Bewegung und der Kräfte. L „Schell, Theorie Bewegung. n. 4.Schoenflies, Geometrie der „ n. 13.60Mechanik, deutsch von Ziwet. I. Bd. „Somoff, theoretischeDIE ELEMENTE DER ANALYTISCHEN GEOMETRIE. ZUM GEBRAUCHE AN HÖHEREN LEHRANSTALTEN SOWIE ZUM SELBSTSTUDIUM. MIT ZAHLREICHEN ÜBUNGSBEISPIELEN. ERSTER TEIL. DIE ANALYTISCHE GEOMETRIE DER EBENE. VON De. H.QANTER und De. P.RUDIO PROFESSOR AN DER KAKTONSSCHULE PROFESSOR AM POLYTECHNIKUM IN AARAU. IN ZÜRICH. MIT 54 FIGUREN IM TEXTE. VIERTE, VERBESSERTE AUFLAGE. LEIPZIG, DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER. 1900.(löO IV, '* » * i ' * ALLE RECHTE, EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSEECHTES, VORBEHALTEN.Vorrede zur vierten Auflage. Wir können der vierten Auflage unseres Buelies im wesent- liclien dieselben Worte vorausschicken wie der dritten. Der Umstand, dafs diese besonders starke Auflage in so kurzer Zeit vergriffen war, ist uns ein Beweis dafür, dafs unser Buch einem wirklichen Bedürfnisse entspricht. Wir haben daher die neue Auflage, von einigen wenigen Verbesserungen und Zusätzen abgesehen, dem Inhalte nach unverändert gelassen und uns darauf beschränkt, die Darstellung zu vervollkommnen. Auf Wunsch der Verlagsbuchhandlung wurde noch ein alpha- betisches Sachregister hinzugefügt und dadurch unser Buch auch äufserlich mit der vor kurzem erschienenen zweiten Auf- lage der „Elemente der analytischen Geometrie des Raumes" in Übereinstimmung gebracht. Aarau und Zürich, September 1899. Die Verfasser. Vorrede zur dritten Auflage. Die vorliegende dritte Auflage ist, soweit es sich um den Text handelt, im wesentlichen ein Abdruck der zweiten. Änderungen wurden nur vorgenommen, wo wir glaubten, die Übersichtlichkeit der Gruppierung und die Präzision der Dar- stellung erhöhen zu können. Den von der Kritik geäufserten Wünschen suchten wir, soweit als möglich, in den Übungs- aufgaben, deren Zahl von 405 auf 436 erhöht wurde, gerecht zu werden. Es gilt dies in besonderem Mafse von den An- regungen, die wir der eingehenden Besprechung der zweiten 781457VIII Inhaltsverzeichnis. Seite • 1T, 62. Beziehungen§ zwischen den Sehnen und Tangenten einer Hy- perbel und ihren Asymptoten 145 63. Pol und Polare§ 149 64. Breunpunktsei§ genschaften 150 65. Die Direktrix§ 153 Sechstes Kapitel. Die Parabel. (49 Aufgaben.) Definition§ 66. und Gleichung der Parabel 156 67. Die Parabel und§ die Gerade. Durchmesser 158 §68. Tangente und Normale 160 69. Anwendung schiefwinkliger Koordinaten§ 164 70. Pol und§ Polare 167 71. Flächeninhalt eines§ Parabekegmentes 169 §72. Gemeinsame Darstellungen von Ellipse, Hyperbel und Parabel 171 Sachregister 177Erstes Kapitel. Der Punkt. 1. Bestimmung der Lage eines Punktes in einer Geraden§ durck seine Abscisse. In einer als unbegrenzt gedachten zweiGeraden seien Punkte und E gegeben, von denen wir den ersten als An- fangspunkt, den zweiten als Einheitspunkt bezeichnen. Fig. 1. Die Länge der Strecke OE wählen wir als Längeneinheit, durch die wir jede auf der Geraden befindliche Strecke messen wollen. Wir stellen uns etwa vor, OE sei gleich einem Centi- meter, sodafs alle vorkommenden als VielfacheStrecken sich von einem Centimeter darstellen. Indem wir dem Punkte den Punkt E zugesellen, ge- winnen wir aber nicht nur einen Mafsstab für die Längen der auf der Geraden vorkommenden Strecken, sondern wir sind jetzt auch im Stande, die beiden von ausgehenden Rich- tungen unserer Geraden von einander zu unterscheiden. Wir wollen die Richtung von nach E als die positive Rich- tung, die entgegengesetzte als die negative Richtung der Geraden bezeichnen. Dabei werden wir, um die Vorstellungen zu fixieren, ein für allemal den Punkt E rechts von an- nehmen, sodafs die Richtung von aus nach rechts als die positive, die von aus nach links als die negative zu be- trachten ist. Ist nun auf der Geraden ein beliebiger Punkt P gegeben, so ist seine Lage vollständig bestimmt, wenn man erstens Ganter u. Eudio, analyt. Geom. d. Kbene. 4. Aufl. 1'" •> Erstes Kapitel: Der Punkt.,2 ,„, gemessene) Entfernung(durcli die Längeneinlieit OEseine und wenn man zweitens weifs,vom Anfangspunkte kennt liegt daherlinks von befindet. Esob er sich rechts oder mit einem Vor-Obigen nahe, die Entfernung OPnach dem mit dem positiven, wenn dieversehen, nämlichzeichen zu ist, d. h. wenn P rechts vonOP die positiveRichtung die Rich-negativen Vorzeichen, wennliegt, dagegen mit dem links von be-negative ist, d. h. wenn sich Ptung OP die findet. ' entsprechenden Vor-Man nennt die mit dem desEntfernung OP die Abscissezeichen versehene Die ge-auf den Anfangspunkt 0.Punktes P in Bezug die Abscissen-OE wird daher auchgebene Gerade achse genannt. haben dann positive, alle PunkteAlle Punkte rechts von die Ab-negative Abscissen. Insbesondere hat Elinks von wird der folgende Satz-}- Nach diesen Erörterungenscisse 1. immittelbar einleuchten: der Abscissenachse entsprichtJedem Punkte P negative) Zahl(positive oder x,eine ganz bestimmte umgekehrt, jeder (posi-seine Abscisse, undnämlich Zahl x entspricht ein ganz be-tiven oder negativen) der,der Abscissenachse, nämlichstimmter Punkt P Zahl x ist.Abscisse gleich der gegebenendessen die ganze Zahlenreihe vonsind demnach im Stande,Wir — durch eine Punktreihe zu ver-cx) bis oü geometrisch-f- \u..^x^^ umgekehrtgewissermafsen abzubilden, undanschaulichen, Gerade ist, in ein-deren Träger die gegebenedie Punktreihe, Zahlenreihe zu repräsentieren. Ineit«"- Weise durch einedeutiger 1.»^«.1 undVerknüpfung von Punktendieser eigentümlichen Geometrie.Wesen der analytischenZahlen besteht das von und^ die1.*) Bestimme nach WahlAufgabe — ——mit den Abscissen 1/2, 1/3,Punkte 1, 1, |, Y^.|, gegebenenzu dem Punkte mit derAufg. 2. Konstruiere -=•den Abscissen ]/2a, «]/2,Abscisse a die Punkte mit Ya, Aufgaben stetsbei allen folgenden*) Man zeichne bei dieser wie die zugehörige Figur.