1UE Calcul differentiel Corrige succinct de l'epreuve du juin Exercice

1UE Calcul differentiel Corrige succinct de l'epreuve du 7 juin 2007 Exercice 1 . 1. On calcule g?(t) = (t ? 1)(3t + 1) et comme ?1/3 /? R+ (le domaine de definition de g et donc de g?), on en deduit que g? s'annule seulement en t = 1. 2. On a 2?(x, y, z) := (x + y)2 + (x ? y)2 + y2 + z2 ≥ 0 comme somme de termes positifs ou nuls, et ?(x, y, z) = 0 si et seulement tous ces termes sont nuls, ce qui equivaut a z = 0, y = 0 et x = 0. 3. Par la formule de differentiation des fonctions composees on a dfa(h) = g?(?(a)) d?a(h). Ainsi dfa ? 0 si et seulement si g?(?(a)) = 0 ou d?a ? 0. Comme ? est a valeurs dans R+, g?(?(a)) = 0 equivaut d'apres le 1) a ?(a) = 1. D'autre part, pour a = (a1, a2, a3) et h = (h1, h2, h3) on a d?a(h) = (2a1 + a2 ? a3)h1 + (2a2 + a1)h2 + (2a3 ? a1)h3 , et par consequent d?a ? 0 equivauttheoreme de schwarz matrice hessienne de ? au meme point ?x?∞ ?y?∞ meme dimension apres quadratique definie positive d'apres formule de taylor avec reste integral