Analyse en ondelettes M-bandes en arbre dual ; application à ...
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Description

THÈSE
soutenue le 13/12/2006 pour obtenir
le grade de Docteur en Sciences de l’Université de Marne la Vallée
Spécialité : Traitement du Signal
par
Caroline CHAUX
Analyse en ondelettesM bandes en arbre dual ;
application à la restauration d’images.
Composition de la commission d’examen :
Président : Michel BARLAUD
Rapporteurs : Patrice ABRY
Josiane ZERUBIA
Examinateurs : Amel BENAZZA BENYAHIA
Ali MOHAMMAD DJAFARI
Laurent DUVAL
Directeur de thèse : Jean ChristophePESQUET Remerciements
Je tiens en premier lieu à remercier mon directeur de thèse, M. Jean Christophe
PESQUET (Laboratoire d’informatique de l’IGM, Univ. Marne la Vallée), auprès duquel
j’ai énormément appris. Je le remercie pour toute l’attention et pour le soutien qu’il m’a
porté durant ces trois années. Il m’a communiqué sa volonté d’aller toujours plus loin et
j’ai pris un réel plaisir à effectuer cette thèse sous sa direction.
Je voudrais également remercier M. BARLAUD (Laboratoire I3S, Nice Sophia Antipolis)
d’avoir bien voulu présider le jury de thèse, M. ABRY (Laboratoire de physique, ENS Lyon)
et Mme ZERUBIA (INRIA, Sophia Antipolis) d’avoir acceptés de rapporter sur cette thèse,
Mme BENAZZA (Sup’Com Tunis), M. Ali Mohammad DJAFARI (LSS, Gif sur Yvette) et M.
DUVAL (IFP, Rueil Malmaison) d’avoir bien voulu participer à ce jury. Leurs remarques et
leurs questions pertinentes contribueront à mes futurs travaux de recherche.
Ces travaux ont été menés en collaboration avec M. DUVAL pour la partie sismique ...

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Langue Français
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Extrait

THÈSE soutenue le 13/12/2006 pour obtenir le grade de Docteur en Sciences de l’Université de Marne la Vallée Spécialité : Traitement du Signal par Caroline CHAUX Analyse en ondelettesM bandes en arbre dual ; application à la restauration d’images. Composition de la commission d’examen : Président : Michel BARLAUD Rapporteurs : Patrice ABRY Josiane ZERUBIA Examinateurs : Amel BENAZZA BENYAHIA Ali MOHAMMAD DJAFARI Laurent DUVAL Directeur de thèse : Jean ChristophePESQUET Remerciements Je tiens en premier lieu à remercier mon directeur de thèse, M. Jean Christophe PESQUET (Laboratoire d’informatique de l’IGM, Univ. Marne la Vallée), auprès duquel j’ai énormément appris. Je le remercie pour toute l’attention et pour le soutien qu’il m’a porté durant ces trois années. Il m’a communiqué sa volonté d’aller toujours plus loin et j’ai pris un réel plaisir à effectuer cette thèse sous sa direction. Je voudrais également remercier M. BARLAUD (Laboratoire I3S, Nice Sophia Antipolis) d’avoir bien voulu présider le jury de thèse, M. ABRY (Laboratoire de physique, ENS Lyon) et Mme ZERUBIA (INRIA, Sophia Antipolis) d’avoir acceptés de rapporter sur cette thèse, Mme BENAZZA (Sup’Com Tunis), M. Ali Mohammad DJAFARI (LSS, Gif sur Yvette) et M. DUVAL (IFP, Rueil Malmaison) d’avoir bien voulu participer à ce jury. Leurs remarques et leurs questions pertinentes contribueront à mes futurs travaux de recherche. Ces travaux ont été menés en collaboration avec M. DUVAL pour la partie sismique, Mme BENAZZA pour la partie multicomposantes, M. COMBETTES (Laboratoire Jacques Louis Lions, Univ. Paris VI) et Mme WAJS (Laboratoire Jacques Louis Lions, Univ. Paris VI) pour la partie « problèmes inverses » et je voudrais leur adresser mes remerciements pour m’avoir fait découvrir de nouveaux domaines d’applications, de nouvelles méthodes, de nouveaux outils. Les discussions que nous avons pu avoir m’ont beaucoup apporté, et pas uniquement du point de vue scientifique. Cette thèse a été effectuée dans l’Équipe Signal et Communications (elle même fai sant partie du Laboratoire d’informatique de l’Institut Gaspard Monge) dans laquelle j’ai été très bien accueillie et au sein de laquelle j’ai pu excercer mes travaux de recherche dans de très bonnes conditions. Je remercie tous les membres de cette équipe pour leur aide, pour les discussions que nous avons eues, pour leurs précieux conseils. Je voudrais également remercier Mme Wiecha, Mme Fonfrède et M. Hérault pour m’avoir aidée à résoudre tous les problèmes d’ordre administratif, informatique etc. ren contrés au cours de cette thèse. Je remercie également toute ma famille qui m’a soutenue durant ces trois années. Une attention toute particulière se tourne vers mon compagnon Xavier, qui a réussi à me supporter tout au long de ce sinueux chemin et qui a toujours su se montrer positif vis à vis de mon travail, même dans les moments les plus difficiles. D’autres personnes ont aussi contribué à cette thèse : merci à mes amis, collègues... Bon courage pour les actuels doctorants. Table des matières Remerciements 3 Table des matières 5 Résumé 9 Abstract 11 Glossaire 13 1 Introduction 15 2 Rapide état de l’art sur les ondelettes 23 2.1 Représentation des signaux monodimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Transformée en continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Analyse multirésolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.3 Introduction à la notion de trame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.4 Transformée en ondelettesM bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.5 Ondelettes biorthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.6 Décomposition en paquets d’ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Représentation des signaux bidimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1 Transformée en ondelettes bidimensionnelle séparable . . . . . . . 29 2.2.2 Analyse en bancs de filtres non séparables . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3 Filtres orientables (steerable filters) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.4 Ondelettes à caractère géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 AnalyseM bandes en arbre dual 39 3.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Construction des paires de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.1 Définition du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.2 Conditions suffisantes pour obtenir les décompositions duales . . . 40 3.2.3 Solution du problème : dans le cas d’une phase linéaire . . . . . . . 41 3.2.4 Compacité du support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.5 Propriétés de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3 AnalyseM bandes en arbre dual 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.1 Décomposition bidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.2 Reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.3 Préfiltrage et invariance par translation . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6 TABLE DES MATIÈRES 3.4 Aspects de mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4.1 Familles d’ondelettesM bandes et de bancs de filtres . . . . . . . . 55 3.4.2 Implantation dans le domaine fréquentiel . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5 Quelques extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5.1 Nombre de bandes différents suivant les lignes et les colonnes . . . 61 3.5.2 Cas biorthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.5.3 Cas complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4 Caractérisation du bruit après analyseM bandes en arbre dual 75 4.1 Moments du second ordre des coefficients d’ondelettes du bruit . . . . . . . 75 4.1.1 Expression des covariances dans le cas 1D . . . . . . . . . . . . . . 75 4.1.2 Extension au cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.3 Transformée en arbre dual réelle bidimensionnelle . . . . . . . . . . 80 4.1.4 Transformée en arbre dual complexe . . . . . . . . 82 4.2 Quelques propriétés asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.3 Exemple de quelques familles d’ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3.1 Ondelettes de ShannonM bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3.2 de Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.3.3 Familles d’ondelettes issues de paquet d’ondelettes . . . . . . . . . 95 4.3.4 Ondelettes de Franklin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.4 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.4.1 Résultats déduits des expressions théoriques . . . . . . . . . . . . . 103 4.4.2 Étude de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.4.3 Inter corrélations inter bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.4.4 Simulations sur des bruits bidimensionnels . . . . . . . . . . . . . . 107 4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5 Débruitage d’images 111 5.1 Débruitage mono canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.1.1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.1.2 Seuillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.1.3 Mesures de performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.1.4 Application de la décomposition M bandes en arbre dual au dé bruitage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.1.5 Extension au cas complexe biorthogonal . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.1.6 Comparaison avec les curvelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2 Débruitage d’images multicomposantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.2.2 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.2.3 Proposed nonlinear estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.2.4 Multicomponent wavelet denoising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.2.5 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 TABLE DES MATIÈRES 7 6 Déconvolution d’images 149 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.2 Problem formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.2.1 Notation, assumptions, and problem statement . . . . . . . . . . . . 151 6.2.2 Inverse problems with sparsity constraints . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.2.3 Bayesian statistical framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.3 Basic tool: proximity operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.3.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.3.2 Forward backward splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.3.3 Decomposition formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.4 Proximity operators associated with log concave densities . . . . . . . . . . 157 6.5 Existence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.6 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.7 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.7.1 Example 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.7.2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.7.3 Example 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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