1ère épreuve de mathématiques 2003 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 1ère épreuve de mathématiques 2003. Retrouvez le corrigé 1ère épreuve de mathématiques 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2003
• Isfana

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

I. S. F. A. _________

2003-2004 _________

Concours d'Entrée _______________

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculette non autorisée. P ROBLÈME I Q UESTION 1: Soit M la matrice carrée d’ordre 3 : ⎡ 6 5 4 ⎤ M= ⎢2 4 2 ⎥ ⎢ 2 1 4 ⎥ ⎣ ⎦ Déterminer les valeurs propres de la matrice M et les sous espaces propres associés. Q UESTION 2: Une entreprise désire prévoir chaque année l’indice de satisfaction de ses clients. Ceux ci sont classés en trois catégories : « satisfait » ; « indifférent » ; « mécontent ». On note x n ,y n et z n les proportions de clients satisfaits, indifférents et mécontents. A l’ouverture de l’entreprise (année 0) les clients sont tous considérés comme « indifférents ». Pour effectuer une prévision on part des hypothèses décrites ci-dessous : Un client satisfait une année a :  60%de chances de rester satisfait  20%de chances de devenir indifférent  20%de chances de devenir mécontent  l’annéesuivante. Un client indifférent une année a :  50%de chances de devenir satisfait  40%de chances de rester indifférent  10%de chances de devenir mécontent  l’annéesuivante. Un client mécontent une année a :  40%de chances de devenir satisfait  20%de chances de devenir indifférent  40%de chances de rester mécontent  l’annéesuivante. a- Montrer que l’on peut écrire : x x ⎡ n ⎤ ⎡ n−1 ⎤ y Ay matrice carrée d’ordre 3 que l’o ⎢ n ⎥ =× ⎢ n−1 ⎥ n exprimera en fonction de laoù A est une ⎢ ⎥⎢ ⎥ z z ⎣ n ⎦ ⎣ n−1 ⎦ matrice M. b-Montrer qu’il existe un unique triplet de proportions (x,y,z) de somme égale à 1 tel que : ⎡ ⎤⎡ x ⎤ ⎢ y⎥ =A× ⎢y ⎥ ⎢ z ⎥ ⎢ z ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Déduire que, si une année les proportions de satisfaits, indifférents et mécontents sont égaux à x,y et z, alors pour les années suivantes ces proportions restent constantes.

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2 c- En remarquant que z n =1-x n -y n montrer que l’on peut écrire : ⎡ x ⎤ ⎡ x −1 ⎤ n n += ×C B est une matrice carrée d’ordre 2 et C une matrice 2 où x 1 dont on ⎢ y ⎥ ⎢ y −1 ⎥ ⎣ n ⎦ ⎣ n ⎦ donnera les expressions. En déduire l’expression de y n puis l’expression de x n . Donner la limite des suites x n , y n et z n quand n tends vers + ∞ . P ROBLÈME II Soient k, a , b et c quatre réels strictement positifs. On considère la suite notée { u,n∈Nsatisfaisant les relations : n ; ; ⎧ u 0 =a u 1 =b u 2 =c . ⎨ u u=u u+k ⎩ n+3n n+1n+2 Q UESTION 1 : Vérifier que la suite { u,n∈Nest bien définie par les relations données ci-dessus. n u+u 4 0 Q UESTION 2 : On pose α= . u 2 (i) Montrer par récurrence que pour tout entier n on a :u×u−u. n+4n+2n c a ⎛ 1 1 ⎞ (ii) Montrer que α  peuts’écrire sous la forme + +k+ . En déduire que α strictement est ⎜ ⎟ a cab c ⎝ ⎠ supérieur à 2. ∈ (iii) Déduire de (i) et (ii) la forme générale des suites { u , n N } et { u + , n∈N . Conclure que la limite de 2n2n1 la suite { u , n∈N égale à + est∞0. Montrer que la limite 0 est exclue par les relations définissant la ou n suite. Q UESTION 3 : On prend pour cettek=1;(a,b,c)=(1,2, 3). Montrer que la suite { u,n∈Nest à valeurs entières. n Donner l’expression du terme u 2n . u+u u +u 0 2 2 4 En remarquant queu= etu=que le terme montreru 2n+1  estégal à la moyenne 1 3 2 2 arithmétique des termes d’ordre pair qui encadrent l’entier2n+1. P ROBLÈME III Q UESTION 1: ∞ ∞ 1−cos tin t a - Montrer que les intégrales dt et dt sont absolument convergentes. ∫ / ∫ / 3 23 2 t t 0 0 b- Déduire de (a)les convergences des intégrales : ∞ ∞ 2 2 I=cos( x)dx et =)dxsin( x . ∫ 0 ∫ 0 Déduire égalementJ>0. Indication : On pourra pour chacune des intégrales faire un changement de variable puis une intégration par parties. L ES QUESTIONS SUIVANTES ONT POUR BUT DE CALCULER LES INTÉGRALES I ET J. Q UESTION 2 : + Sur ,ensemble des réels positifs on définit les fonctions C et S par : tt 2 2 C(t)=cos(x)dx;S(t)=sin(x)dx. ∫  0 ∫  0

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3 On définit aussi les fonctions A et B par : 2 2 (t)=C(t)−S(t)  (t)=2C(t)S(t) . + a- Montrer que les fonctions C et S sont bornées et dérivables sur. b- Montrer que les fonctions A et B sont dérivables suret que leurs dérivées vérifient : π/ 4 2 ⎛ t ⎞ t ' A(t)=2 cos ⎜ 2 ⎟ 2 dθ. ∫ ⎝ cosθ ⎠ cosθ 0 π/ 4 2 ⎛ t ⎞ t  '() 2sin ∫ t= ⎜ 2 ⎟ 2 d. ⎝ cosθ ⎠ cosθ 0 Q UESTION 3 : En utilisant le théorème figurant dans l’encadré ci-dessous donner les expressions (sous forme d’intégrales) des fonctions A et B. Théorème : Soient [a,b] un segment de R ,Λun intervalle de R ,K(x,y) une fonction réelle définie sur[a,b]× Λtels que : (i)K est continue. ∂K (ii)( ,y)existe et est continue sur[a,b]× Λ. ∂y b b ∂K Alors la fonction K(x,y)dx définie surΛest dérivable et a pour dérivée ( ,y)dx . ∫ ∫ ∂y a a Q UESTION 4: π/ 4 2 ⎡ y ⎤ t (i) On note K la fonction t→)K( t=sin( )dyd . En utilisant le théorème cité en question ∫ ⎢ ∫ 0 2 ⎥ cosθ ⎣ ⎦ 0 3 vérifier que K(t) est dérivable et que K’(t) est égale à A(t). u En déduire que K(t) est égal àA(t)dt. ∫ 0 u 1 + On note G la fonction définie surpar la relationG(u)=A(t)dt. ∫ u 0 π/ 4 1 Montrer l’égalitéG(u)=cos θ .S(ucos θ )d θ . En déduirelimG(u) . ∫ u→∞ u 0 u 1 + (ii) On note H la fonction définie surpar la relationH(u) = B(t)dt. ∫ u 0 π / 4 π 1 Montrer de la même manière l’égalitéH(u)= −cos θ .C(ucos θ )d θ lim. En déduireH(u) . ∫ u→∞ 4u 0 Q UESTION 5 : Soit f une fonction continue sur R+ et telle que limf(u)=0 . u→∞ t 1 a- Montrer que la fonction(t)= ×f(u)dua pour limite 0 quand t tend vers ∞ . ∫ t 0 b- En déduire que si f est une fonction continue telle que limf(u)= alors limF(t)= . u→∞t→∞ Q UESTION 6: En appliquant (5°-b) aux fonctions G et H introduites à la question 4° donner la valeur des intégrales I et J.

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