2ème épreuve de mathématiques Option A 2001 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 2ème épreuve de mathématiques Option A 2001. Retrouvez le corrigé 2ème épreuve de mathématiques Option A 2001 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2001
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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

I. S. F. A. _________

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures

2001-2002 _________

Concours d'Entrée _______________

OPTION A Les calculatrices sont interdites. PROBLEME 1 - I - 1  Onnote W(0,A,1,B) l’ensemble des fonctions à valeurs réelles p:t→p(t) définies et de classeC sur [ 0,1 ] satisfaisant p(0)=A et p(1)=B . SiA=B=0 on simplifie l’écriture en posantW=W(0,0,1,0) . 0 t 1°) Soit C:t→C(t) une fonction réelle définie et continue sur [ 0,1 ] pose onh(t)=(C(x)−m)dxoù ∫ 0 1 m=C(x)dxmontrer quehappartient àWet satisfait : ∫ 0 0 1 11 2 C(x)h ′ (x)dx=(C(x)−m)h ′ (x)dx=(C(x)−m)dx. ∫ 0 ∫ 0 ∫ 0  Endéduire que siCvérifie la propriété : 1 C(x)u ′ (x)dx=0 pourtoute fonctionudeW, ∫ 0 0  alors C(t)=m pour touttde [ 0,1 ] . t 2°) Soit α :t →α (t) et β :t →β (t) deux fonctions réelles définies et continues sur [ 0,1 ] on poseA(t) = α (x)dx. ∫ 0 1  Montrerque si (α(t)u(t)+ β(t)u ′ (t))dt=0 pourtoute fonctionudeW ∫ 0 0 1  ona aussi(β(t)−A(t))u ′ (t)dt=toute fonction0 pourudeW ∫ 0 0 1  déduiredu 1°) queβest de classe C sur [ 0,1 ] et vérifie : β′ (t)= α(t) pour touttde [ 0,1 ] . - II - 2 2  Ondésigne parLune fonction (x,y)→L(x,y) de IR dansRsupposée de classe C . A l’aide deLon définit une application de W(0,A,1,B) dans R en posant : 1 ℑ(p)=L(p(t),p ′ (t))dt pour p∈W(0,A,1,B) . On suppose qu’il existe un maximum deℑ sur ∫ 0 W(0,A,1,B) réalisé pour une fonctionpde W(0,A,1,B) . 0 1°) Montrerque pour toutudeWla fonctionϕdeRdansRdéfinie par : 0 u 1 ϕ( s )= L ( p ( t )+ su ( t ), p ′ ( t )+ su ′ ( t )) dt u ∫ 0 00  possèdeun maximum ens=0. 1  ∂L∂L  2°) Endéduire que :(p(t),p ′ (t))u(t)+(p(t),p ′ (t))u ′ (t)dt=0 . ∫ 0 00 00  ∂x∂y   

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 2 3°) Déduire,du résultat de la première partie, quepvérifie l’équation différentielle (dite d’Euler-Lagrange) : 0 d  ∂L  ∂L ∀t∈ [ 0,1 ]  (p(t),p ′ (t))=(p(t),p ′ (t)) .  0 0  0 0 dt∂y∂x   2 4°) Onsuppose, de plus quepest de classe C sur [ 0,1 ] : 0  montrerque, finalementpsatisfait (outrep(0)=Aetp(1)=B) sur [ 0,1 ] : 0 00 te ∂L L(p(t),p ′ (t))−p ′ (t) (p(t),p ′ (t))=cs . (E) 0 00 00 ∂y - III - Application :  Unproducteur d’électricité vend du courant à un groupe de consommateurs. Si le courant produit au tempstest x(t) Kw/h le coût de production est π(x(t)) . Le prix payé par les consommateurs est une fonction du tempst → p(t). Le profit instantané du producteur, au tempst, est doncx(t)p(t)- π(x(t)) , le profit total entret = 0 ett = 1 est: 0 0 1 [ x(t)p(t) − π (x(t)) ] dt. ∫ 0  Lecoût de production, déterminé par des contraintes techniques, est supposé régi par la formule 2 π (x)=αx+ βx+ γ(α,β,γ sontdes constantes connues,α>0). A chaque instanttla demande d’électricitéd(t), par les consommateurs, est liée au prixp(t) de l’instant par la formule :  d(t)=ap(t)+b+c p ′ (t) .  (Quelque soit le prix on a besoin d’au moinsbKw/h au tempst, si le prix est trop élevé on économise doncd(t) est proportionnelle au prix (aveca<0) enfin les consommateurs anticipent l’évolution du marché, d’où la présence d’un terme spéculatifcp ′ (t) avecc≠0 ).  Enimaginant que le producteur veuille satisfaire toute la demandex(t)=d(t) le profit entret=0 ett=1 est : 1  (ap(t)+b+cp ′ (t))p(t)− π(ap(t)+b+cp ′ (t))dt ∫ 0 il dépend donc directement de la fonction prix : on le noteℑ(p).  Enimaginant que les pouvoirs publics imposent le prix au tempst=0 soitp(0)=Aet au tempst=1 soitp(1)=Bet laisse le marché libre de déterminer son prix entre 0 et 1 le problème, pour le producteur, consiste à déterminer la fonction t→p(t) qui lui permettra d’obtenir un profitℑ(p) maximal. 0 0 2 1°) Montrerque sipexiste et est de classe C ,pvérifie l’équation (E) du paragraphe II avec 0 0  L(x,y)=xX(x,y)-π(X(x,y)) 2  etX(x,y)=ax+b+cy,π(X)=αX+βX+γ. 2°) Montrer,en dérivant par rapport àtcette équation quepvérifie l’équation différentielle du second ordre : 0 2    2cαp ′ (t)−2a(aα −1)p(t)+(b−2abα −aβ)p ′ (t)=0     b−2abα −aβ 2 a(aα −1)  soiten posantp = etλ = 2 2a(aα −1) cα 2  l’équation:(p ′′ (t)− λ(p(t)−p) ) p ′ (t)=0 . 3°) Ensupposant quepconstante sur aucun intervalle de n’est [ 0,1 ] , exprimerpfonction de ent etdes 0 0 constantesp,λ,AetB. 4°) Unefois p ainsi déterminée, que reste-t-il à démontrer ? 0 2001

 3 PROBLEME 2  Onconsidère le système d’équations différentielles linéaires :  1 x ′ (t)=y(t)  t  pourt≠0 (1)  3 2 y ′ (t)= −4t x(t)+y(t)   t  01  00   x(t)   OnposeA=;A=;X(t)=de sorte que (1) peut se réécrire : 0 4  02  −40   y(t)       4 1 X ′ (t)=(A+A t)X(t) pourt≠0. (2) 0 4 t 2 1°) Déterminerune suite de vecteurs deIR(C) telleque : k k≥0 +∞ 2k ∗ Y(t)=t Ctsoit solution surRde (2) . ∑ k k= 0 2   sint  Surchacun des intervalles (-∞,0[et]0,+∞) montrer queY(t) est de la formea.   2 2 2tcost     2    z(t)  sint0 1 2°) OnposeX(t)= .  2 2   z(t)  2tcost1  2    LorsqueX(t) vérifie (2) , trouver les équations différentielles vérifiées parz etz. En déduire la solution 1 2 +∗ −∗ générale de (1) surR(et surR). Quelles solutions sont prolongeables àRtout entier ? ---

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