2ème épreuve de mathématiques Option B 2000 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 2ème épreuve de mathématiques Option B 2000. Retrouvez le corrigé 2ème épreuve de mathématiques Option B 2000 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

I. S. F. A. _________

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION B Les deux problèmes sont indépendants. Calculatrice autorisée.

2000-2001 _________

Concours d'Entrée _______________

PROBLEME 1 : Systèmes Bonus-Malus Dans la plupart des pays où l’assurance automobile est obligatoire, existent des systèmes Bonus-Malus à classes. Ceux-ci permettent d’ajuster la cotisation que paie annuellement un assuré sur le risque d’accidents (responsables) qu’il présente. Ils s’appuient sur le nombre d’accidents antérieurs de cet assuré.  Plusprécisément à chaque renouvellement annuel de son contrat, un assuré est placé (pour l’année à venir) dans une nouvelle classe de cotisation (qui peut être la même). Celle-ci ne dépend que de la classe de l’année précédente et du nombre d’accidents qu’il a occasionnés au cours de cette même année.  Lesrègles de passage d’une classe à l’autre, la classe d’entrée dans le système pour les nouveaux contrats et les cotisations de chaque classe définissent ainsi un système Bonus-Malus. : 1, 2, 3 correspondant auxOn considère dans ce problème un système simplifié comportant 3 classes cotisations 50, 70, 100 unités monétaires.  Laclasse d’entrée dans le système est la classe 3. L’assuré bénéficie d’une réduction d’une classe pour chaque année sans accident, d’une pénalité d’une classe par accident. Ces règles conduisent au tableau suivant définissant le système Bonus-Malus. Classes après k accidents (dans l’année)  ClassesCotisations k=0k=1 k ≥2 Entrée⇒ 100 23 3 3  270 13 3  150 12 3

 Onconsidère un nouvel assuré entrant dans le système. On notepla probabilité qu’il aitkaccidents dans une k (n) anné 0p1 ,pcelle nnées. e (k∈IN) avec < 0 <qu’il soit en classe i après n a (3≥i≥1,n≥0) i (0) (1)  1°)Donner p puis p pour 3≥ i ≥1 . i i (n)  2°)a) Pour n ≥1 donner lesystème ( S ) des expressions des p (3≥i≥1) en fonction des i (n−1) p (3≥j≥1) et de p et p . j 0 1 2000

 2  b)) En déduire la matrice M telle que : (n) (n−1)  p   p  3 3  (n)   (n−1)  p 2 =M p 2 .    (n) (n−1)    p p 1 1     )Comment pourrait-on utiliser cette matriceM pourétudier la convergence dessuites (n)  iqua fera pas les calculs correspondants. p i (3≥ ≥1) nd n→ +∞ ? On ne (n)  3°) Admettantque les suitlimites notées( es i ont des πn i→ +∞ , avec = 1 i 3 ≥ ≥ 1) quand π 3 + π 2 + π 1 , déduire de ( a) S ) le système vérifié par les π (3≥i≥1) . i  b)En donner, en fonction de p et p , la solution en π , π , π . 0 1 3 2 1  4°)On suppose que le nombre (annuel) d’accidents de l’assuré est une v.a.r. N suivant une loi de Poisson P ( λ ).  π  3    a)Donner les valeurs de π pour λ =0.05, λ =0.10 et λ =0.20.  2    π  1   Quelleinterprétation peut-on en donner ? dP(λ) m P(λ) m  b)On définit l’élasticité d’un système Bonus-Malus par η(λ)=où P(λ) est la cotisation espérée m dλ λ pour la probabilité(π(λ),π(λ),π(λà la valeur)) correspondantλdu paramètre. 3 2 1  )Interpréter (λ) . ) Donnersa valeur pourλ=0.10.

PROBLEME 2 : Distributions entières composées  Onadmettra que l’on peut permuter les signesΣde sommes doubles à termes positifs.  Lenombre d’«événements» touchant un portefeuille (i.e. un ensemble) de contrats d’assurance pendant une ième période donnée est une variable aléatoire réelle (v.a.r.) entière N . Le nombre de contrats affectés lors du j 1 (j) événement, s’il se produit, est une v.a.r. entière N . 2  Onanalyse la loi de la v.a.r. N nombre total de contrats affectés pendant la période considérée : N 1 (j) (0) N=N [ où l’on a posé N =commodité d’écriture0 par] ∑ 2 2 j=0 sous les hypothèses suivantes : (j)  (i) N indépendante des v.a.r. N (j≥1) 1 2 (j) (ii) lesv.a.r. N (j≥1) sont indépendantes et identiquement distribuées. 2 (j)  Onappellera N une v.a.r. générique ayant la même loi que les N . 2 2  Ladistribution de N est dite primaire, celle de N étant dite secondaire. 1 2  Onpose P ( N n ) ,) N . 1 π n = 1 = 2 π n = P ( N 2 = n , p = P ( N = n ) pour n ∈ I n I. Donner un exemple, en assurance ou dans un autre secteur, où ce modèle pourrait s’appliquer. 1°)

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 3 k (j) ( k ) (j)  2°)On considère la loi de l N : P Nn (I) a somme des k v.a.r. premières 2 π n =(=) n∈N ,k≥1 , 2 ∑ 2 j=1 avec :  1n si=0 (0) π =. 2n  0 si n≥1  m (k) (k−1) a)Montrer queπ ππ =,k≥1 . ∑ 2m2m−r2r r=0 b) ExprimerP(N=n) en fonction des probabilités conditionnellesP(N=n N=k) . En déduire 1 +∞ (k) p= ππ ∑ n1k2n k=0  enexplicitant, à chaque étape du calcul, les hypothèses (i) et (ii) utilisées. c) Lesdistributions primaire et secondaire étant respectivement PoissonP(λ) etBernoulli B (1,p), 1 déterminer la loi deN.  3°)a) Enutilisant la formule obtenue en 2°) b), montrer queE(N)=E(N)E(N) . 1 2  b)Ce résultat confirme-t-il celui de 2°) c) ? II.Utilisation des fonctions génératrices (f.g.) M m  1°)La f.g. d’une variable aléatoire réelle (v.a.r.)entièreMest définie parg(u)=E(u)=P(M=m)u, M ∑ m≥0 série convergente pour u< ρ où estun réel ≥1 . On admettra que les dérivées successives de (uêtre obtenues en dérivant sous le signe) peuventΣ M les termes de la série. a) Montrerque P ( M= 0) =g (0) etque la f.g. détermine la loi de probabilité de M . b) Onsuppose >1 On considère le moment factoriel d’ordre .k deM défini parE N NN k) (k) = [ (−1)...(− +1 ] .  )ExprimerE(M) etV(M) en fonction de moments factoriels deM. ) Donnerµen fonction de dérivées de(u) . (k) M c) Déterminerf.g. et moment factoriel d’ordrekd’une v.a.r. PoissonnienneP(λ) . d) Montrerque siMetMsont des v.a.r. entières indépendantes on ag(u)=g(u)g(u) . 1 2M + M MM 1 21 2  2°)a) Al’aide de la formule I. 2°) b), montrer queg(u)=g [ g(u) ] . N NN 1 2  b)) Retrouverl’expression deE(N) obtenue en I. 3°) a). ) Déterminerla valeur deV(N) en fonction des moments jusqu’à l’ordre 2 deNetN. 1 2  3°)On suppose dans la suite queNune loi de Poisson suit P (λ) .Pour alléger les notations, on 1 1 poseπ =πpour j≥0 . 2j j a) Quedeviennentg(u) ,E(N) etV(N) dans ce cas particulier ? N b) Onappelle distribution de Neyman typeA laloi deN correspondantà une distribution secondaire on .Que sontg(u) ibution? Poiss P (λ 2 ) N ,E(N) etV(Ncette distr) pour

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4 c) Ladistribution secondaire étant quelconque, établir à l’aide de la formule de Leibniz donnée ci- dessous une relation de récurrence exprimantpen fonction des probabilités précédentesp,  ,p n0n−1 (n≥1) . d) Endéduire les premières probabilitéspd’une distribution de Neyman typeA. n

Formule de Leibniz : cette formule donne l’expression de la nième dérivée d’un produitu(x)v(x) de 2 fonctionsu(x) et v(x) dérivables jusqu’à l’ordrenen fonction des dérivées successives des fonctions composantes : n (n)k(n−k)k (uv)=C uv . ∑ n k=0 ---

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