2ème épreuve de mathématiques Option B 2006 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 2ème épreuve de mathématiques Option B 2006. Retrouvez le corrigé 2ème épreuve de mathématiques Option B 2006 sur Bankexam.fr.

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• 2006
• Isfana

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

Parties de poker Cesujetabordedemani`eretr`essimplifie´edesquestionsdeprobabilit´esins- pir´eesdesituationslie´esa`despartiesdepoker.Ne´anmoins,aucuneconnais- sancedecejeudecartesn’estn´ecessaire,ettouteslesquestionssetraitent avec les outils du programme.osemtnipeairstercossdtrLoeep`ebl inde´pendantes.

1Notations,d´efinitionsetre`gledujeu Lors de certains tournois de poker (du type Texas Hold’em), chaque joueur dispose de deux cartes, connues de lui seul. Au milieu de la table sont successivementde´voile´es(`alaconditionqu’aumoinsdeuxjoueursn’aientpas encoreabandonne´)cinqcartes:d’abordleflop,constitu´edetroiscartes,puis laquatri`emecarte(appel´eeturn,e)nfitedalninreere`tracelee´aeppriver.La maind´efinitived’unjoueurestlameilleuremaindecinqcartesparmisept cartes (les deux siennes plus les cinq communes sur la table). Le jeu de cartes estunjeude52cartes(13cartesdechaquecouleur(tre`fle,carreau,coeur, pique)),etilestm´elang´eapr`eschaquedonne.Ilrestetroisjoueursautour de la table : Nicolas, Didier et Alexis. On suppose que tous les tirages sont ´equiprobables.Dansunedonne,lestiragessontind´ependantsetsansremise.

2 Mainsde poker 1.Lorsdelapremi`eredonne,AlexisaRoideCoeuretDamedePique, DidieraValetdeCoeuretValetdeTre`fle,NicolasaDixdeTre`fleet DeuxdeTr`efle.Leflop(troispremie`rescartescommunes)estconstitu´e deAsdePique,DixdePique,etTroisdeTr`efle.Laquatrie`mecarte estleSixdeTre`fle.Siladerni`erecarte(river)estunroiouunedame d’unecouleurautrequeTre`fle,ouunValet,Alexisauralameilleure main.Sic’estunTre`fleouunDeux,Nicolasauralameilleuremain. Dans tous les autres cas, Didier gagne. (a)Quelleestlaprobabilit´equeDidieraitlameilleuremainaufinal (en connaissant les cartes de tous les joueurs)? (b)Quelleestlaprobabilite´conditionnellequeNicolasaitaufinalla meilleure main, sachant que Didier n’a pas la meilleure main?

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2.Unenouvelledonnecommence.Quelleestlaprobabilit´epourAlexis d’avoiruncarre´(4cartesdelamˆemehauteur,parexemplequatreAs, quatre Dames, ...) (avec les sept cartes)? 3.Sachantqu’Alexisauncarre´d’As(avecseptcartes),quelleestlapro- babilit´equesesdeuxcartes(connuesdeluiseules)soientdeuxAs?

3Dur´eesdejeu Onsupposejusqu’`alafindel’e´nonce´queladur´eed’unepartiedepoker peuteˆtremode´lis´eeparuneloiexponentielle,dontleparam`etred´ependdu nombre et de la valeur des joueurs. Lucien, le fils de Didier, fait une partie avecLaurence,lafilledeDaniel.Danieljoueaupokera`uneautretableque Didier.Onmod´eliserespectivementladure´ed’unepartie`alatabledeDaniel parlavariableal´eatoireX 1 eleditle`mteapardeloreoneniexpλ 1 , celle de la table de Didier parX 2 eledapar`mteerdeloiexponentielλ 2 . En attendant leursparents,LaurenceetLucienjouenteuxaussia`uneautretable.Ladure´e deleurpartieestmod´elise´eparunevariableal´eatoireX 3 de loi exponentielle deparam`etreλ 3 . On suppose queX 1 ,X 2 etX 3 ndan´epetes.dnitnos Onadmettraler´esultatsuivant:siXoirepositivetuesavenbairlaeltae´ admettantladensit´ef X eretuotruopsrola,oiat´ealleabrivaYnaetepdndne´i deX, Z +∞ P(Y >X) =P(Y >x)f X (x)dx. 0 Onrappellee´galementquelafonctionder´epartitiond’unevariableal´eatoire Xnaltlaiousviemararte`llieepedpoexntneλsenodtparn´ee −λx F X (x) =P(X≤x) = 1−e pourx≥0 etF X (x) = 0 pourx <0. 1.Lesenfantspeuventjouerjusqu’`acequ’undesdeuxparents(Didierou Daniel) ait fini de jouer. Le temps pendant lequel ils peuvent jouer est mode´lise´parlavariableal´eatoire Y 1,2 = min(X 1 , X 2 ).

Montrer queY 1,2 tr`eamareptloneda`tseesuitunentneillleioxeop pre´ciser(identifierP(Y 1,2 )> xpourx≥0). 2

2.D´eterminerlamoyenneetlavariancedeY 1,2 . 3.Calculerlaprobabilit´equecesoitlapartiedeDanielquitermineen premier P(X 1 < X 2 ). 4.Calculerlaprobabilit´equelesenfantsaientletempsdeterminerleur partie avant Didier et Daniel

P(X 3 <n(imX 1 , X 2 )).

5.De´terminerlaprobabilit´e

6.De´terminer

7.D´eterminer

P(X 3 >3|X 1 >3).

P(X 1 >4|X 1 >3).

P(min(X 1 , X 2 , X 3 )>3|min(X 1 , X 2 , X 3 )>1).

8. SoitI´laelbairavalnsdaotae`erilavasrue{1,2,3}eiaprdfin´e

{I=i}={∀j6=i, X j > X i }

pouri∈ {1,2,3},

etIeslesariabtoirl´eamuioaparxuavsnedesumiminnteitttamelis0= parmiX 1 ,X 2 etX 3 luel.)bilit´envecprobadorpatiuqec(esiu (a)Aquele´ve´nementcorrespond{I= 1}rennod(?nse´epouner litt´eraire) (b) MontrerqueIetT= min(X 1 , X 2 , X 3 .stnadne)sod´epntin 9.Onsuppose(danscettequestion)quechaqueenfantvasecoucherde`s quesapartieoucelledesonp`ereesttermin´ee.Laurencevadoncse coucherapre`sletempsale´atoireW 1 = min(X 1 , X 3 ,etLucie)eanrpe`ls tempsal´eatoireW 2 = min(X 2 , X 3 s´eeti´reetiudbu’tdet´srporpesLe.l) de la loi jointe de (W 1 , W 2 ´eitslpmesedeborpliba`a-dest-arexirep,)’c

pourx 1 , x 2 ≥0.

P(W 1 > x 1 , W 2 > x 2 )

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