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Agregext composition de mathematiques generales 2006 maths

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6Epreuve ecrite de mathematiques generalesPreambule et notations preliminairesCeproblemeintroduitlesoperateursdeDunkldeparametrek dontonadmetlacommutativite.On etudie d’abord le cas k = 0, puis le rang 1 et en n certaines proprietes remarquables endimensionn.OnutilisecesoperateurspourdemontreruneformuledeMacDonaldsurl’integralede Mehta.Les deux premieres parties sont independantes. La troisieme partie n’utilise que le I.2. On designe par N l’ensemble des entiers naturels positifs ou nuls et par R l’ensemble desnombres reels. Dans ce probleme n est un entier superieur ou egal a 2. On note e ,...,e la base1 nn ncanonique de R . On munit R de sa structure euclidienne usuelle dont le produit scalaire estnote (,). On note R[X ,...,X ] l’algebre des polynˆomes en n indeterminees a coe cients dans R.1 nTout polynˆome P de R[X ,...,X ] s’ecrit de maniere unique1 nX 1 nP = a X ...X 1 nn=( ,..., )∈N1 nou les a sont des reels nuls sauf pour un nombre ni d’entre eux.Le polynˆome P etant xe, on note supp(P) l’ensemble des tels que a = 0;αX 1 nainsi on peut ecrire P = a X ...X . 1 n∈supp(P)Si P est un polynˆome de R[X ,...,X ], P designe aussi, par abus de notation, la fonction1 nnpolynomiale associee et on note P(x) l’evaluation de P en x∈R .nX 1 n Le monˆome X X est de degre . Un polynˆome P non nul est dit homogene dei1 ni=1degre d si P est combinaison lineaire non nulle de monˆomes ...

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6 Epreuve ecrite de mathematiques generales Preambule et notations preliminaires CeproblemeintroduitlesoperateursdeDunkldeparametrek dontonadmetlacommutativite. On etudie d’abord le cas k = 0, puis le rang 1 et en n certaines proprietes remarquables en dimensionn.OnutilisecesoperateurspourdemontreruneformuledeMacDonaldsurl’integrale de Mehta. Les deux premieres parties sont independantes. La troisieme partie n’utilise que le I.2.  On designe par N l’ensemble des entiers naturels positifs ou nuls et par R l’ensemble des nombres reels.  Dans ce probleme n est un entier superieur ou egal a 2. On note e ,...,e la base1 n n ncanonique de R . On munit R de sa structure euclidienne usuelle dont le produit scalaire est note (,).  On note R[X ,...,X ] l’algebre des polynˆomes en n indeterminees a coe cients dans R.1 n Tout polynˆome P de R[X ,...,X ] s’ecrit de maniere unique1 n X 1 nP = a X ...X 1 n n =( ,..., )∈N1 n ou les a sont des reels nuls sauf pour un nombre ni d’entre eux. Le polynˆome P etant xe, on note supp(P) l’ensemble des tels que a = 0;α X 1 nainsi on peut ecrire P = a X ...X . 1 n ∈supp(P) Si P est un polynˆome de R[X ,...,X ], P designe aussi, par abus de notation, la fonction1 n npolynomiale associee et on note P(x) l’evaluation de P en x∈R . n X 1 n Le monˆome X X est de degre . Un polynˆome P non nul est dit homogene dei1 n i=1 degre d si P est combinaison lineaire non nulle de monˆomes de degre d. On note alors deg(P) ce degre. Y n(n 1) On note  le polynˆome (X X ); il est homogene de degre j i 2 16i