Bac 2019 : le corrigé de mathématiques (ES Spé)

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Bac 2019 : le corrigé de mathématiques (ES Spé)

Informations

• Publié par: LeParisienEtudiant
• Publié le: 21 juin 2019
• Nombre de lectures: 131 563
• Langue: Français

Extrait

❢❛✉ss❡

S❝❡❧❛✉❝❡❧❛✐♥s✐✿s

✳
R❝s❛❛❤t♥

R❡t

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3
r❖6= 0,06❡♥❜✐✐♦❛tst♥❡✬❧✿♠r✣❛
17
✷✳▲❛✬r✣♠❛✐t♦♥✷❡st❢❛✉ss❡✳
❊♥❡✛✱t❡✬❧♣s❡❛ré♥❝❡❞❡X✐❢✉♥♦✐❛❧t❧✉✐✐sq✉❧❧❡r❡❛✈✐✬t♥✉s❧rr♦❡♠
k+ 18
E(X) =✳
2
❊♥s✉♣♣♦s❛♥t✉q❡❝❡t✉t✈❛❝❡❛♥♣sré❡❡

✳✶▲❛✬✣♠rt❛♦✐♥✶ts❡
❊♥❡✛✱❡t❧❛♦r♣❜❛✐❜ét✐❧❞❡

✳

✱r❖❝♦♠♠❡
♦r♣❜❛✐❜sét✐❧t♦❛t✱❡❧s♦♥❛✿

❊①❡r❝✐❝❡ ✶ ✭✺ ♣♦✐♥ts✮

PR∩S
PSR=✳
P(S)

66= 9✿❛✣❧✬❛tr♠♥❡✐♦✐❜ts♥❡

❖r
✳✸▲❛✬♠r✣❛t♦✐♥✸ts❡

P(S) = P(R∩S) + PR∩S

= P(×P (S)
R)×PR(S) + PRR
= 0,7×0,4 + 0,3×0,2
= 0,28 + 0,06
= 0,34

❖♥♣❡✉t❞♦♥❝❝❧❛❝r❡❧✉✿

✈r❛✐❡

✳

PR∩S
PSR=
P(S)
0,3×0,2
=
0,34
0,06
=
0,34
3
=
17

12✱ ♦♥ ❛ ❞♦♥❝ ✿

[k; 18]✿❡st

❇❛❝❝❛❧❛✉ré❛t ❊❙✲▲ ✷✵✶✾
➱♣r❡✉✈❡ ❞❡ ▼❛t❤é♠❛t✐q✉❡s ✲ ❈♦rr✐❣é
P❛❧✉❉❆❚❘❍❖❙

❢❛✉ss❡

✳

k+ 18
= 12⇐⇒k+ 18 = 2×12
2
⇐⇒k+ 18 = 24
⇐⇒k= 24−18
⇐⇒k= 6

R✈✐r❡✬❧♥✉♥♦❡❞✐t✐t❛❧♦✐✉❞❡❧✈❡rts✱❡♥s❡❞✉♥♥t❛r❡♣❢♠❡♦r

❖♥♦rés✉t✬éq❧✉t❛♦✐♥sr✉]0 ; +∞[✉✐éq❛rt♣❛♥é❞♦❝♣r♥❡✿s❡❝♥❡❧❛✈

5

x
2
lnx−ln +ln(2) = ln(2x) + 5
e

5
⇐⇒2 ln(x)−ln(x)−ln(2) = ln(2) + ln(ln(e) +x) + 5
⇐⇒2 ln(x)−(5 ln(x)−1) + ln(2) = ln(2) + ln(x) + 5
⇐⇒2 ln(x)−5 ln(x) + 1 = ln(x) + 5
⇐⇒−4 ln(x) = 4
⇐⇒ln(x) =−1
1
−1
⇐⇒x= e=
e
1
▲qé✬✉✐t❛♦♥❛❞♠t❡❜✐❡♥✉♥❡✉♥✉✐q❡s❧♦✉t♦✐♥q✐✉st❡✿✬❧❛✣♠r♦✐t❛♥ts❡
e
✈r❛❡✐✳
✹✳▲✬❛✣♠r❛t♦✐♥✹ts❡❢❛✉ss❡✳
❉❛s♥❧s❡❝♦♥❞✐✐t♦♥s❞♦♥é♥✱s❡❛❧❝♦❜r✉❡Cf❡♠❞❛❧❧❧èà❡❡♥t❡♣❛r❛t✉♥❡t❛♥❣
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②✈❛r✐❡❡♥tr❡f(0)>0❡tf(5)<0❝♥❡✱✈♥r❡✉t✉❞♦❝♦r❛✐❧❧❞✉r❡❞♦
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té❤♦♠rè❡❞s❡✈❛❡❧✉sr♥✐❡t♠ré❞✐✐❛r❡s✱q❧✉✬ét♦✐❛♥f(x) = 0❛❞♠❡t ✉♥❡
✉✉✐♥q❡s❧♦t♦✐✉♥r✉s❝t❡♥✐t❧❛✈r❡❡❧❀
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•✐t♥♦❛❧♦❢❝♥f❡❡tstr✐❝t❝♦♥t✐♥✉s❡❡♠❡t❝t♥s✐♦❡t♥❛rs✉r[5 ; 15]✱ ❡❧❧❡ ②
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r❛❡✐✈❡❡♥rtf(5)<0❡tf(15)>0♥❝✱❡❞♦❞✉r❡✐❛❧❧♦r♦❝✉❞✉tr❡✈♥
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té❤♠rè♦❡❞s❡❛❡❧✈✉rs✐♥tr❡♠é✐❞❛r✐s❡✱é✬❧✉qt❛♦✐♥f(x) = 0❛❞♠❡t ✉♥❡
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❝❡❛❧✐s❣✐♥✜❡✉q❡❧❛❝♦✉❜r❡Cfs❡❞❡①❛✬✉❡t①♥❛❡❣❞❛❡♠❞t❧❧è❧❡sà❧♥t❡s♣❛r❛
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❊♥❡✛❡t✱❧❛❢♦♥❝♦✐t♥f❡✉r❡s✈♥①❡ts♦❝
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❊①❡r❝✐❝❡ ✷ ✭❊❙ ♥♦♥ s♣é❝✐❛❧✐st❡s

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[5 ; 15]st♥❡♠❡❧✉t❝♥♦❢❛s✐✐♦♥s❡❡ts✐

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✷✵✶✳✽❉✉✬♥❡❛♥♥é❡à❧✬❛✉tr❡✱❧❡♥♦♠r❜❡❞❡♣♦♠♠✐sr❡✐❞♠✉♥✐❡❞❡
❝❡✉q✐r❡✈❡✐t♥à♠❧✉t♣✐❧r❡✐❡❧♥♦♠❡r❜r♣é❝é❞❡♥t
▲❛r✉❡♥❝❡♣❛❧♥t❡❝❤❛✉q❡❛♥♥❡é22r❡ss♣✉❧♣♣♠♦✐♠❡s♣❛r❤❡❝té❛♠r❡❡♥✱t❛✐r
❝❡✉q✐❡sttr❛❞✉t✐♣❛r❛✬❧♦❥t✉❞❡22✳❡✉r♦❡✉❡♥❜tà❧❛❧❛✈
❊♥❝♦♥❝s✉❧♦✐♥✿∀n∈N✱un+1= 0,96un+ 22✳
✭❜✮❊♥✉✐❧✐t❛s♥t❧❡♠♦❧❞è❡❝❤♦✱s✐✐❡❧♥♦♠❡r❜❞❡♣♦♠♠r❡✐s♣r❛❤❡t❝r❛❡❡♥

(n+ 1)s❡é♥èr♣❛s❛♥

♣❛r
un

0,96♣❡❉✳✱s✉❧

4%✱

✳✷✭❛✮

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❊♥ ❛♦r♥❞❛st♥✐
❡srt✐❛❞❡

❧✉✬♥✱ét✐❡❧♥♦❡r❜♠❞❡♣♦♠♠✐❡rs♣❛r❤❡❝t❡r❛❡♥✷✵✷✵
320✳

u2= 0,96×u1+ 22
= 0,96×(0,96×u0+ 22) + 22
= 0,96×(0,96×300 + 22) + 22
= 0,96×310 + 22
= 319,6

N←−0
U←−300
❛♥t❚q✉❡U <400❡r✐❛❢
N←−N+ 1
U←−0,96×U+ 22
❋✐♥❛t♥❚✉q❡

✭❜✮➚❛❧✜♥❞❡✬❧❡①❝é✉t✐♦♥❞❡❧✬❛❧❣♦r✐t❤♠✱❡❛❧❛✈r❛✐❜❡❧N❝t✐♦♥t❧❡♥❛❧❛✈r❡✉
13❡q✉❡❣♥✐✜❧❛s✐✳❈❡è❞❡❧❡❝♦♠r♣sè❞✱❛✬♠✐♦♠❡♣❡❞❜r♦♠❡♥✱❧r❛♣sr❡
❤❡❝❡r❛t♣é❞❛s❡r❛400❛✉ ❜♦✉t ❞❡13✶✳✐♦❡t✷♥✸✵❛s♥s✱
✸✳✭❛✮❖♥✱❛♣♦r✉t♦t✉♥♦♠❡r❜❡t♥r❡✐♥❛❧❡r✉tn✿
vn+1=un+1−550
= 0,96un+ 22−550
= 0,96un−528
= 0,96un−0,96×550
= 0,96×(un−550)
= 0,96×vn
❖♥❡♥rt❡✐q✉❡(vn)❡❞❡r❛✐s♦♥❡tsé❣♠♦té✐r✉q0,96❡r♠t❡❡r♠✐r❡✱♥s♣♦
❛✈t✉v0=u0−550 = 300−550 =−250✳
n
✭❜✮U♥❡❡①r♣✐s❡♦♥ ❞❡vn♥❡♦❢t✐♥❝❞❡♦♥nst❡♥❝❞♦✿vn=−250×0,96✳
❖♥❛❛❧♦rs✱♣♦✉rt♦✉t♥♦❜♠❡r❡✐t♥r❡♥❛✉t❡r❧n✿
vn=un−550⇐⇒un= 550 +vn
n
⇐⇒un= 550−250×0,96
◆♦s✉♦❜❡t♥♦s♥✐❜❡♥❧✬❡①r♣s♦✐♥❡t✉❞✳❡♥❡❛
✭❝✮ ▲✬❛♥é♥❡✷✵✷✺ ❝r❣♥♦❛r✉❛❞♥♦♣s❡n= 7♠✐❡rs♣❛r♦♠❡♣é❞✐t♥s❞❡▲❛✳
7
❤❡❝t❛r❡❝❡❡t♥❝❞♦✿❞❡♥❛é♥✲❡à❧❡s❛ru7= 550−250×0,96✳ ❈♦♠♠❡
▲❛✉r❡♥❝❡❡①♣❧♦❡✐t✉♥❡❡❢♠r❡❞❡14♠❜♥♦❧❡s✱♠♠♣♦❞❡r❡❡❞sr❡✐❛t❡r❤❝❡
♦s♥❡①t✐♦❧♣❛♦✐t♥❡s❛r♦❧❛sr✿

❉❛✬sèr♣❝❡♠♦✱❡❧è❞▲❛r✉❡♥❝❡❡①❧♣♦❡✐t❛r❡♥✷✵✷✺✉♥❡❡❢♠r❡❝♦♠♣❛t♥t
5070s♦✳♠❡♠r✐♣

N= 14×u7
7
= 14×(550−250×0,96 )
≈5070✭r✬✉♥✐té✮♦♥❞✐à❧❛

✭❞✮❖♥s♦ré✉t❧✬✐éq♥✉❛✐t♦♥✿

n
un>400⇐⇒550−250×0,96>400
n
⇐⇒550−400>250×0,96
n
⇐⇒150>250×0,96
150
n
⇐⇒>0,96
250
n
⇐⇒0,6>0,96
n
⇐⇒ln(0,6)>ln (0,96 )
⇐⇒ln(0,6)> n×ln(0,96)
ln(0,6)
⇐⇒< n❝❛rln(0,96)<0
ln(0,96)

ln(0,6)
❈♦♠♠❡≈12,51❡t ❝♦♠♠❡nt♥❡❡r❜♠♦♥♥✉ts❡é❣❛❧✐té✐❡r✱❧✬✐♥
ln(0,96)
ts❡é✈✐r❡é✜s✐❡ts❡✉❧❡♠❡♥ts✐n>13✳
❈❡❛❧❣✐s✜✐♥❡✉q✱❡❞❛✬sèr♣❝❡♠♦❞è✱❡❧❡❧♥♦♠r❜❡❞❡♣♦♠♠✐rs❡♣❛r❤❡❝❛t❡r
é❞♣s❛r❡❛400❛✉ ❜♦✉t ❞❡13♦s✱s♥❡t✐✶✸✵✷r♥♦✿r♦❡t❡❧✉✈és❡rt❛✉❧t❛♥
♦t❜❡♥✉♣éré❝❞❡♠♠❡♥t❣râ❝❡à❧✬❛❧❣♦❤✐tr♠❡✳

❊①❡r❝✐❝❡ ✷ ✭❊❙ s♣é❝✐❛❧✐st❡s✮ ✭✺ ♣♦✐♥ts✮

✶✳✭❛✮V♦✐✐❝✉♥r❣❛♣❤❡♦s✐❝❛❝❡éà❡t✉❛✐t♦♥t✐✿s

0,4
0,8 0,6
D R
0,2

0,8 0,2
✭❜✮▲❛♠✐❛tr❝❡❞❡tr❛s♥t✐♦✐♥❞✉❣❛r♣❤❡❡ts✿M=✳
0,4 0,6
✷✳✭❛✮❉✬❛♣rès♥é✬❧♦♥✱é❝❏❧✉❡✐❡♠♣✉r♥t❡❧❛✈✐♦❡r❛♣❞✐❡❡❧r♣❡♠❡✐r♦❥✉✱r❞♦♥❝

r1= 1❡td1= 0✱ ❞♦♥❝ ♦♥ ❛ ✿P11= 0✳

0,72 0,28
2
✭❜✮❖♥❝❧❛❝✉❡❧✿M=✳♥❖❡♣t✉✐❛s♥❝✐❧❛❧❡❝✉r✿
0,56 0,44


20,72 0,28
P3=P1∙M1= 0∙= 0,56 0,44✳
0,56 0,44

❖♥❡♥é❞❞✉t✐✉q❡❛❧r♣♦❜❛❜✐té❧✐q✉❡❏✉❡✐❧❡♠r♣✉❡t♥❧s❡r♦❡t✉s❞♣é❡tr❛✲
♠❡♥t❧❛❡s❡❧rt✐♦s✐♠è❡♦❥r✉❛✈t✉
✸✳✭❛✮P♦r✉t♦✉t♥♦♠❡r❜❡r❡✐t♥♥❧❡r✉t❛

❖♥❡♥❡r✐t✿dn+1

❉✱ù♦✬♣♦r✉♦tt✉♥♦r❜♠❡❡♥t✐❡r♥❛t✉r❡❧

d3= 0,56✳
n❛✿♦♥❧✱♥✉♦♥♥Pn+1=Pn∙M✳


0,8 0,2
rn+1=dnrn∙
0,4 0,6
n✿

dn+1= 0,8dn+ 0,4rn
rn+1= 0,2dn+ 0,6rn

rn+1= 0,2dn+ 0,6rn
= 0,2(1−rn) + 0,6rn
= 0,2−0,2rn+ 0,6rn
= 0,4rn+ 0,2

0,4♦♥♣r❡♠✱strr❡♠❡❡✐

n✿

❖♥♦❡✐t❜t♥✐❜❡♥❛❧❡r❛❧✐t♦♥❛t❡♥❞✉❡✳
✺✳✭❛✮P♦r✉♦tt✉♥♦❜♠❡r❡✐t♥❡r♥❛tr✉❡❧

◆♦✉s♦❜t❡♥♦♥s❜✐❡♥❧✬❡①♣rs✐♦❡❡❛♥t✳❡♥✉❞

✭❜✮▲❛✬❧❣r✐♦t❤♠❡✶♥❡❝♣s❡r♣❞♥♦♦❛✉❧❛✉❛s❧❝❝❛t❧s❜❛✉♦❧❝❝✉r❛❞✱♥❛♥❞❡❡✱
❧❛✈❛❧❡✉r❞❡D❞❡✉r❡❧s❡t❡t♣♠✐♠r❡❛❧❛✈✱st❡✜é❡❞♠♦❞✐♥♣r❡❛♥s✉
❝❧❛❝✉❡é❧à♣✐tr❛r❞❡❛❧♥♦✉✈❡❧❧❡✈❛❧❡✉r❞❡
▲✬❛❣❧♦tr❤✐♠❡✷♥❡❝♦r♣s❡♣❞♥♦♦♥s❛❡❛❧❧❛✉❝❛s❝✉♣♥✉❧t❧❛✱❝❛r♥❞✉
❜♦✉❝❧❡❡✬s❝é①❡t✉3❧✬✉❡❡q✐✜❣♥s✐✉✐❡q❝✱s✐♦❢♥♦❛♣sr✉♥❛❣❞❡
4s❞♠❡❛♥❡r❧❡❣❡r❡rst❛❝❡t❧✉❝❧♦s♥♦✐❛❤✉♦rsq✉❡❧✬✱❛❧
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✈❛♥❝❡ ❞❡2r♣♦✉✱♣❣s❛♥rs❡❛❣♥❛r✉❞r
❧❛✈❡r✉❞❡D❡❧❧❡ ❞❡✱ ❡t ❝R♥♦❡ts❡♥✉❞é❞❡❞✐t❛r❡♣r❡❧❛t✐❧❛
q✐✉s❡t✈r❛✐❡♣♦✉rt♦✉t♥♦♠❜❡r❡r❡✐t♥♥❛✉t❧❡r
❏❧✉❡✐❡♠r♣✉❡t♥♦s✐t❧❛✈♦✐❡r❛♣❞✐❡s✐♦t❧❡sr♦t✉❡s❞é♣❡t❛r♠❡t♥s❡❧❛✳✮
✳✹♦P✉rt♦✉t♥♦♠r❜❡❡t✐♥r❡♥❛tr✉❧❡n✱ ♦♥ ❛ ✿

2
n−1
vn=×0,4✳
3

d3❡t

3✳

rn= 1−dn

❖♥❡♥rt❡✐q✉❡(vn)s♦♥❡r❛✐❞❡✉q✐rté♠♦é❣ts❡
1 12
❛✈t✉v1=r1−= 1−=✳
3 33
✭❜✮ U♥❡❡①♣s❡r❞♥♦✐❡vn❝t✐♦♥❞❡❡♥❢♦♥
❖♥❛❧❛✱sr♦♣♦✉rt♦✉t♥♦♠r❜❡❡t✐♥r❡♥✉t❛❡r❧

ns❡t ❞♦♥❝ ✿

n✱ ♦♥ ❛ ✿
1
vn+1=rn+1−
3
1
= 0,4rn+ 0,2−
3
2
= 0,4rn−
15
1
= 0,4rn−0,4×
3

1
= 0,4×rn−
3
= 0,4×vn

1 1
vn=rn⇒−⇐rn= +vn
3 3
1 2
n−1
⇐⇒rn= +×0,4
3 3
1 2 5 2
n−1
⇐⇒rn= +× × ×0,4
3 3 2 5
1 5
n
⇐⇒rn= +× ×0,4
3 3

r3✱ ❝r❛ ♦♥

1✉❛r❛♥❣

n✱♥❥✱✉❛r✭❝♥é♦♥r❞♦✉

R❡st

3♦✉✈❡❡❧❛♥❧❝✉❧♦♥❝❛✱❧❧❡

Dq❡✐✉s❡✐t❝♥♦❡✭❝rt❝✮✳

1❣♥❛r✉❛

✮❝✭❈♦♠♠❡

n
−1<0,4<1✱ ♦♥ ❛ ✿lim 0,04 =✿✐t❞✉r❞♦✱r♣♣❛ù✱✬♦
n→+∞
5
n
lim×0,04 =✳
n→+∞
3
1
❊♥✜✱♥♣❛rs♦♠♠❡✿limrn=✳
3
n→+∞
❖♥♣❡t✉ér♣✈r✐♦✉q✱❡✉sr❡❧♦❧♥❣❡tr♠✱❡❏✉✐❧❡❡♠r♣✉♥❡t❛r❛❧♦✈❡✐r❛♣✐❞❡
✉♥❡❢♦✐ss✉rrt✱s✐♦t❡s❡❧♦rs❡t✉é❞♣t❛❡r♠❡❛♥t❡❧s❡❧rts❡❡❞✉t❡♠s♣✳

❊①❡r❝✐❝❡ ✸ ✭✺ ♣♦✐♥ts✮

P❛rt✐❡ ❆
✶✳■❧②❛♣é✉♥✐r❡❞❡✬❛✉♦❧sr✉q❡❡❧❞é✐❜tt❡s✐♥ér❢❡✐r✉à
q✉❡❝❡❧❛s❡♣♦r❞✉s✐❡❛✈✉t✿
❈❡rsé❧✉❛tt❛téé♦t❜❡♥✉à❧✬❛✐❞❡❞❡❧❛❝❛❝❧❧✉✐rt❛❝✳❡❖♥♣❡✉t❡❧✈✐ér✜❡r
❣r❛♣❤✐✉q❡♠❡♥tà✬❧❛❞✐❡❞❡❧❛❝♦✉r❜❡❞❡❞❡♥s✐té❞❡♦r♣❜❛✐❜ét✐❧❛sà❧é❡❝✐♦❛
✐❛r✈❛❜❧❡❛❧❛é♦tr❡✐D✿

✷✳■❧②✬♥❛♣s❛❞❡✐✈❛❧✐❣♥❝❡♣rt✐❛❝✉r❧❡✐è❧sr✉q♦❡❧❡❞❜ét✐s❡t❝♦♠♣r✐s❡❡tr♥
3−1 3−1
m.st❡m62.ss✐✈❡✉❛✿ts❛♣❡♦r✉❞téq✉❡❝❡❧r♦❜❛❜✐❧✐♣❛▲✳
26)≈0,85r✉❝✐❛♥❞♦❡✳è♠t✐❡♥✉st❧❡❈ér❛t❛❛ét ♦t❜❡♥✉ à ❧✬❛✐❞❡ ❞❡ ❧❛
❝❝❧❛✉❧rt❛❝✐✳❡❖♥♣❡✉t❧❡r✐✈é✜r❡❣r❛♣❤q✐✉❡♠❡t♥à❧❛✬❞✐❡❞❡❧❛❝♦✉r❜❡❞❡
❞❡♥s✐té❞❡♣r♦❜❛❜✐✐té❧❛s❡✐rt♦é❛❛❧❧❡✐r❜❛❛❧❛✈é✐à❡❝♦

3−1
8m.st♣é❛▲✳❜✐❧✐r♦❜❛
P(06D <8)≈0,10r✳❡♠❛è✐t♥❡❝✉❛✐❞♥♦

D✿

8
P(86D6

P❛rt✐❡ ❇
✶✳❖♥❝❤♦✐t✐s10♥t♠❡❛❤✉❛sé✈❡❧❡r❡♠❜❧♥❡♥ss✉r✉s❛r❞s✣♠❛sé✉s❧❡✈❡❞❡r❡
❣❛r♥❞♣♦✉rs❛❡♥tà❧ér♣♠❡✈è❧✐♠✐❡❝r❡10é❧✐t✐r❛❣❡s❛✈❡t✐❛▲r♣❜♦❜❛r❝♠❡s✐✳❡
q✬✉✉♥❡❧❡ré✈♣r✐s❛✉❤❛s❛r❞❛✐té✉❛t❙é❞❡♣❡✉✐♥✈✐❡st❜❛✉t❝❡✛❡tqé✬❧r❛♣é
0,25❡❞♦♥❝❞❛♥s✉♥s❝❤é♠✳♥❖❡s❧♣❝❛♠èr❛❡str❇❡❞❛♦♥r❡✐❧❧✉❛♣❡❞
❡tp= 0,25❛♥t♥♥♦t✱❡t❡X❡❧é✈❡❞❡r❜