Bac 2019 : le corrigé de mathématiques (S) Spé et Obligatoire

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Bac 2019 : le corrigé de mathématiques (S) Spé

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• Publié par: LeParisienEtudiant
• Publié le: 21 juin 2019
• Nombre de lectures: 133 406
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

MATHÉMATIQUES- 2019
Série S
Spécialité

Remarques générales:
Ce sujet est composé de quatre exercices classiques : une étude de fonctions, appliquées (exercice 1), des
probabilités (exercice 2), un vrai faux justifié (exercice 3) et des matrices et arithmétiques (en spécialité) ou
de la géométrie dans l’espace (non spé)(exercice 4).

Bien que composés de questions classiques, chaque exercice avait une ou plusieurs questions à prise
d’initiative, où il fallait avoir un recul nécessaire sur les questions faites précédemment. Il était particulièrement
long si on veut rédiger proprement. Enfin, l’exercice de géométrie dans l’espace (pour les non spécialistes)
demandait à être à l’aise et à avoir les bons réflexes.

EXERCICE1 (6 points)

Partie A

1.

x−x
(a) Puisquelim e= +∞eet lim=0 (limites usuelles), par somme,
x→+∞x→+∞
x−x
lim e+e= +∞
x→+∞
et par somme et produit
limf(x)= −∞
x→+∞

(b)fest une fonction dérivable sur [0;+∞[ (sommes d’exponentielles elles-même dérivables) et
on a, pour toutx∈[0;+∞[ :
1¡ ¢
′x−x
f(x)= −e−e
2
1¡ ¢
x−2x
= −e 1−e
2
1
2x2x−2x−2x
Or, pourx>0, e>1 et donc, par quotient (e>0) : 1> =Ainsi, 1e .−e>0 pour
2x
e
x∈]0;+∞[ et finalement
′
Pour toutx∈]0;+∞[,f(x)<0

la dérivée s’annulant en 0.
Bilan:fest strictement décroissante sur [0;+∞[.
(c) Sur[0;+∞[, la fonctionfest continue (car dérivable) et strictement décroissante. De plus,
5 5
f(0)=et limf(x)= −∞, et 0∈]− ∞; ].D’après le théorème de la bijection, il existe un
x→+∞
2 2
uniqueα∈[0;+∞[ tel quef(α)=0
2. Remarquonsque, pour tout réelx:
7 1¡ ¢
−x−(−x)
f(−x)= −e+e
2 2
7 1¡ ¢
−x x
= −e+e=f(x)
2 2

1 / 8

Ainsi,x∈]− ∞; 0[vérifief(x)=0 si et seulement sif(−x)=0. Or, sur [0;+∞[, il existe une unique
solutionαà l’équationf(x)=0. D’après le résultat précédent, il existe une unique solution sur ]−
∞à savoir; 0],−α.
Bilan: l’équationf(x)=0 admet exactement deux solutions surR:αet−α.

Partie B

1. Rappelonsquef(−α)=f(α)=0 et quefest décroissante sur [0;α]. Puisquef(−x)=f(x) pour tout
réelx,fest croissante sur [−α; 0],ce qui est cohérent avec la figure.
La hauteur recherchée est donc
5
f(0)−f(α)=
2
2. (a)On calcule en utilisant l’expression def:
µ ¶
2
1¡ ¢
′2x−x
1+(f(x))=1+ −e−e
2
1¡ ¢
x2x−x−x2
=1+(e )−2e e+(e )
4
1 11
x2−x2
=1+(e )− +(e )
4 24
1¡ ¢
x2−x2
=(e )+2+(e )
4
Or, d’après l’identité remarquable
¡ ¢
2
x−x x2x−x−x2x2−x2
e+e=(e )+2e e+(e )=(e )+2+(e )

On a donc bien
1¡ ¢
2
′2x−x
1+(f(x))=e+e
4
(b) Onutilise le résultat précédent :
Z
αq
′2
I=1+(f(x)) dx
0
r
Z
α
1
x−x2
=(e+e )dx
04
Z
α
1¡ ¢1¡ ¢
x−x x−x
=e+e dxcar e+e>0
02 2
¡
1£ ¤α1¢
x−xα−α
=e−e=e−e
0
2 2
La longueur de l’arceau sur [−α,α], par symétrie, est égale à deux fois la longueur sur [0;α], et
α−α
donc, la longueur d’un arceau est égale àe−e .

Partie C

1. Lasurface des façades sud et nord est égale à l’aire délimitée par la courbe def, les droitesx= −αet
x=αet l’axe des abscisses. En clair, la surface d’une façade vaut
Z Z
α α
f(x) dx=2f(x) dx
−α0

en utilisant la symétrie de la courbe. On enlève la porte, qui est un rectangle d’aire 2×1=2 mètres
carrées. Ainsi, l’aire des façades nord et sud vaut
Z Z
α α
A=2×2f(x) dx−2=4f(x) dx−2
0 0

2 / 8

2. Oncalcule tout d’abordA, en rappelant que l’unité d’aire est de 1×1=1 mètre carré. Ainsi
Z
α
7 1¡ ¢
x−x
A=4−e+e dx−2
02 2
· ¸
α
7 1¡ ¢
x−x
=4x−e−e−2
2 2
0
α−α
=14α−2(e−e )−2

Concernant la bache rectangulaire du dessus, elle a comme longeur 3×1, 5=4, 5mètre, et comme
α−α
largeur la longeur de l’arceau e−e .Ainsi, l’aire de la bâche du dessus est de
¡ ¢
α−α
4, 5e−e

et finalement, l’aire, en mètre carré, de la bache totale est de :
¡ ¢
α−α α−α
14α−2(e−e )−2+e4, 5−e

ce qui donne, au mètre carré près, 42 mètres carrés

EXERCICE2 (5 points)

Partie A

1. (a)La durée moyenne est égale à l’espérance de XA. Comme elle suit une loi uniforme, on a
9+25
e[XA]= =17
2
La durée moyenne est de 17 minutes.
(b) Onconstate que d’après le graphique,µ=17 également. Orµcorrespond à l’espérance de XB,
et donc la durée moyenne d’une partie de type B est également de 17 minutes.
2. D’aprèsla formule des probabilités totales, en notant X la durée moyenne du jeu :
1 1
P(X620)=P(XA620)+P(XB620)
2 2
20−9 11
XAsuivant une loi uniforme,P(XA)= =. On utilise la calculatrice pour déterminer
25−9 16
P(XB620) avec XB,→NAinsi, au centième près :(17; 3).

Partie B

1.

P(X620)≈0, 76

(a) Oncomplète avec les données de l’énoncé, et en utilisant les règles des probabilités. On obtient :

3 / 8

2.

3.

(b) Onapplique la formule des probabilités totales :

P(A )=P(A∩A )+P(A∩B )
n+1n+1n n+1n
=an×0, 8+(1−an)×0, 3
=0, 5an+0, 3

(a) SoitP la proposition définie pour tout entiern>1 par Pn: “06an60, 6”.
Pourn=1, on aa1=aet 06a60, 6.P1est vraie.
Supposons la proposition Pnvraie pour un certain entiern>1. Alors, d’après la relation de
récurrence
an+1=0, 5an+0, 3
Par hypothèse de récurrence, 06an6donc 00, 6,60, 5an60, 6∗0, 5=0, 3et finalement 06
0, 360, 5an+0,60,n+1t vraie.
3 6: Pes
D’après le principe de récurrence, Pnest vraie pour tout entiern>1 et donc 06an60, 6.
(b) Onaan+1−an=0, 5an+0, 3−an= −0, 5an+0, 3.Or, d’après ce qui précède : 06an6et0, 6,
donc 0>−0, 5an>−0, 3 et finalement, 0, 3>−0, 5an+0, 3>0. Ainsi,an+1−an>0 : la suite (an)
est croissante.
(c) Lasuite (an6). D’après le théorème de la limite monotone, () est croissante, majorée (par 0,an)
converge. On noteℓsa limite. Mais alors, (an+1) tend aussi versℓet la relation de récurrence
donne
3
ℓ=0, 5ℓ+0, 3⇐⇒ℓ=
5
3
La suite (an) converge de.
5
(a) Pourtout entiern>1 :

un+1=an+1−0, 6
=0, 5an+0, 3−0, 6
=0, 5(un+0, 6)−0, 3
=0, 5un

La suite (un5.) est géométrique de raison 0,
n−1
(b) Ainsi,pour tout entiern>1, on aun=u1(0, 5)avecu1=a1−0, 6=a−Ainsi, pour tout0, 6.
n−1
entiern>1,un=(a−et finalement0, 6)(0, 5)

n−1
an=(a−0, 6)(0, 5)+0, 6

n−1
(c) Puisque−1<0, 5<1, on en déduit que5)lim (0,=0. Par somme et produit
n→+∞

liman=0, 6
n→+∞

cohérent avec la question 2c.
(d) Quandn6. On peutest grand, la probabilité que la partie soit une partie A se rapproche de 0,
estimer qu’un joueur qui s’adonne intensivement aux jeux vidéos (doncngrand) fera plus
souvent une partie A.

EXERCICE3 (4 points)

4 / 8

Partie A

1.

2019π2019π
2019 2019 2019i2019−i
6 6
u+u=2 e+2 e
2019 1
Or=336+, et donc
6 2
2019ππ π
i i(336π+)i
6 22
e=e=e=i
2019π
−i2019 2019
6
et de mê