Bac 2019 : le corrigés de mathématiques (ES/L)

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Bac 2019 : le corrigés de mathématiques (ES/L)

Informations

• Publié par: LeParisienEtudiant
• Publié le: 21 juin 2019
• Nombre de lectures: 133 232
• Langue: Français

Extrait

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R❡t

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3
r❖6= 0,06❡♥❜✐✐♦❛tst♥❡✬❧✿♠r✣❛
17
✷✳▲❛✬r✣♠❛✐t♦♥✷❡st❢❛✉ss❡✳
❊♥❡✛✱t❡✬❧♣s❡❛ré♥❝❡❞❡X✐❢✉♥♦✐❛❧t❧✉✐✐sq✉❧❧❡r❡❛✈✐✬t♥✉s❧rr♦❡♠
k+ 18
E(X) =✳
2
❊♥s✉♣♣♦s❛♥t✉q❡❝❡t✉t✈❛❝❡❛♥♣sré❡❡

✳✶▲❛✬✣♠rt❛♦✐♥✶ts❡
❊♥❡✛✱❡t❧❛♦r♣❜❛✐❜ét✐❧❞❡

✳

✱r❖❝♦♠♠❡
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❊①❡r❝✐❝❡ ✶ ✭✺ ♣♦✐♥ts✮

PR∩S
PSR=✳
P(S)

66= 9✿❛✣❧✬❛tr♠♥❡✐♦✐❜ts♥❡

❖r
✳✸▲❛✬♠r✣❛t♦✐♥✸ts❡

P(S) = P(R∩S) + PR∩S

= P(×P (S)
R)×PR(S) + PRR
= 0,7×0,4 + 0,3×0,2
= 0,28 + 0,06
= 0,34

❖♥♣❡✉t❞♦♥❝❝❧❛❝r❡❧✉✿

✈r❛✐❡

✳

PR∩S
PSR=
P(S)
0,3×0,2
=
0,34
0,06
=
0,34
3
=
17

12✱ ♦♥ ❛ ❞♦♥❝ ✿

[k; 18]✿❡st

❇❛❝❝❛❧❛✉ré❛t ❊❙✲▲ ✷✵✶✾
➱♣r❡✉✈❡ ❞❡ ▼❛t❤é♠❛t✐q✉❡s ✲ ❈♦rr✐❣é
P❛❧✉❉❆❚❘❍❖❙

❢❛✉ss❡

✳

k+ 18
= 12⇐⇒k+ 18 = 2×12
2
⇐⇒k+ 18 = 24
⇐⇒k= 24−18
⇐⇒k= 6

R✈✐r❡✬❧♥✉♥♦❡❞✐t✐t❛❧♦✐✉❞❡❧✈❡rts✱❡♥s❡❞✉♥♥t❛r❡♣❢♠❡♦r

❖♥♦rés✉t✬éq❧✉t❛♦✐♥sr✉]0 ; +∞[✉✐éq❛rt♣❛♥é❞♦❝♣r♥❡✿s❡❝♥❡❧❛✈

5

x
2
lnx−ln +ln(2) = ln(2x) + 5
e

5
⇐⇒2 ln(x)−ln(x)−ln(2) = ln(2) + ln(ln(e) +x) + 5
⇐⇒2 ln(x)−(5 ln(x)−1) + ln(2) = ln(2) + ln(x) + 5
⇐⇒2 ln(x)−5 ln(x) + 1 = ln(x) + 5
⇐⇒−4 ln(x) = 4
⇐⇒ln(x) =−1
1
−1
⇐⇒x= e=
e
1
▲qé✬✉✐t❛♦♥❛❞♠t❡❜✐❡♥✉♥❡✉♥✉✐q❡s❧♦✉t♦✐♥q✐✉st❡✿✬❧❛✣♠r♦✐t❛♥ts❡
e
✈r❛❡✐✳
✹✳▲✬❛✣♠r❛t♦✐♥✹ts❡❢❛✉ss❡✳
❉❛s♥❧s❡❝♦♥❞✐✐t♦♥s❞♦♥é♥✱s❡❛❧❝♦❜r✉❡Cf❡♠❞❛❧❧❧èà❡❡♥t❡♣❛r❛t✉♥❡t❛♥❣
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②✈❛r✐❡❡♥tr❡f(0)>0❡tf(5)<0❝♥❡✱✈♥r❡✉t✉❞♦❝♦r❛✐❧❧❞✉r❡❞♦
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té❤♦♠rè❡❞s❡✈❛❡❧✉sr♥✐❡t♠ré❞✐✐❛r❡s✱q❧✉✬ét♦✐❛♥f(x) = 0❛❞♠❡t ✉♥❡
✉✉✐♥q❡s❧♦t♦✐✉♥r✉s❝t❡♥✐t❧❛✈r❡❡❧❀
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❝❡❛❧✐s❣✐♥✜❡✉q❡❧❛❝♦✉❜r❡Cfs❡❞❡①❛✬✉❡t①♥❛❡❣❞❛❡♠❞t❧❧è❧❡sà❧♥t❡s♣❛r❛
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ts❡✈r❛✐❡✳

❊①❡r❝✐❝❡ ✷ ✭❊❙ ♥♦♥ s♣é❝✐❛❧✐st❡s

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[5 ; 15]st♥❡♠❡❧✉t❝♥♦❢❛s✐✐♦♥s❡❡ts✐

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✷✵✶✳✽❉✉✬♥❡❛♥♥é❡à❧✬❛✉tr❡✱❧❡♥♦♠r❜❡❞❡♣♦♠♠✐sr❡✐❞♠✉♥✐❡❞❡
❝❡✉q✐r❡✈❡✐t♥à♠❧✉t♣✐❧r❡✐❡❧♥♦♠❡r❜r♣é❝é❞❡♥t
▲❛r✉❡♥❝❡♣❛❧♥t❡❝❤❛✉q❡❛♥♥❡é22r❡ss♣✉❧♣♣♠♦✐♠❡s♣❛r❤❡❝té❛♠r❡❡♥✱t❛✐r
❝❡✉q✐❡sttr❛❞✉t✐♣❛r❛✬❧♦❥t✉❞❡22✳❡✉r♦❡✉❡♥❜tà❧❛❧❛✈
❊♥❝♦♥❝s✉❧♦✐♥✿∀n∈N✱un+1= 0,96un+ 22✳
✭❜✮❊♥✉✐❧✐t❛s♥t❧❡♠♦❧❞è❡❝❤♦✱s✐✐❡❧♥♦♠❡r❜❞❡♣♦♠♠r❡✐s♣r❛❤❡t❝r❛❡❡♥

(n+ 1)s❡é♥èr♣❛s❛♥

♣❛r
un

0,96♣❡❉✳✱s✉❧

4%✱

✳✷✭❛✮

✷✵✷✵❡sr✐❛t❞❡✿

❊♥ ❛♦r♥❞❛st♥✐
❡srt✐❛❞❡

❧✉✬♥✱ét✐❡❧♥♦❡r❜♠❞❡♣♦♠♠✐❡rs♣❛r❤❡❝t❡r❛❡♥✷✵✷✵
320✳

u2= 0,96×u1+ 22
= 0,96×(0,96×u0+ 22) + 22
= 0,96×(0,96×300 + 22) + 22
= 0,96×310 + 22
= 319,6

N←−0
U←−300
❛♥t❚q✉❡U <400❡r✐❛❢
N←−N+ 1
U←−0,96×U+ 22
❋✐♥❛t♥❚✉q❡

✭❜✮➚❛❧✜♥❞❡✬❧❡①❝é✉t✐♦♥❞❡❧✬❛❧❣♦r✐t❤♠✱❡❛❧❛✈r❛✐❜❡❧N❝t✐♦♥t❧❡♥❛❧❛✈r❡✉
13❡q✉❡❣♥✐✜❧❛s✐✳❈❡è❞❡❧❡❝♦♠r♣sè❞✱❛✬♠✐♦♠❡♣❡❞❜r♦♠❡♥✱❧r❛♣sr❡
❤❡❝❡r❛t♣é❞❛s❡r❛400❛✉ ❜♦✉t ❞❡13✶✳✐♦❡t✷♥✸✵❛s♥s✱
✸✳✭❛✮❖♥✱❛♣♦r✉t♦t✉♥♦♠❡r❜❡t♥r❡✐♥❛❧❡r✉tn✿
vn+1=un+1−550
= 0,96un+ 22−550
= 0,96un−528
= 0,96un−0,96×550
= 0,96×(un−550)
= 0,96×vn
❖♥❡♥rt❡✐q✉❡(vn)❡❞❡r❛✐s♦♥❡tsé❣♠♦té✐r✉q0,96❡r♠t❡❡r♠✐r❡✱♥s♣♦
❛✈t✉v0=u0−550 = 300−550 =−250✳
n
✭❜✮U♥❡❡①r♣✐s❡♦♥ ❞❡vn♥❡♦❢t✐♥❝❞❡♦♥nst❡♥❝❞♦✿vn=−250×0,96✳
❖♥❛❛❧♦rs✱♣♦✉rt♦✉t♥♦❜♠❡r❡✐t♥r❡♥❛✉t❡r❧n✿
vn=un−550⇐⇒un= 550 +vn
n
⇐⇒un= 550−250×0,96
◆♦s✉♦❜❡t♥♦s♥✐❜❡♥❧✬❡①r♣s♦✐♥❡t✉❞✳❡♥❡❛
✭❝✮ ▲✬❛♥é♥❡✷✵✷✺ ❝r❣♥♦❛r✉❛❞♥♦♣s❡n= 7♠✐❡rs♣❛r♦♠❡♣é❞✐t♥s❞❡▲❛✳
7
❤❡❝t❛r❡❝❡❡t♥❝❞♦✿❞❡♥❛é♥✲❡à❧❡s❛ru7= 550−250×0,96✳ ❈♦♠♠❡
▲❛✉r❡♥❝❡❡①♣❧♦❡✐t✉♥❡❡❢♠r❡❞❡14♠❜♥♦❧❡s✱♠♠♣♦❞❡r❡❡❞sr❡✐❛t❡r❤❝❡
♦s♥❡①t✐♦❧♣❛♦✐t♥❡s❛r♦❧❛sr✿

❉❛✬sèr♣❝❡♠♦✱❡❧è❞▲❛r✉❡♥❝❡❡①❧♣♦❡✐t❛r❡♥✷✵✷✺✉♥❡❡❢♠r❡❝♦♠♣❛t♥t
5070s♦✳♠❡♠r✐♣

N= 14×u7
7
= 14×(550−250×0,96 )
≈5070✭r✬✉♥✐té✮♦♥❞✐à❧❛

✭❞✮❖♥s♦ré✉t❧✬✐éq♥✉❛✐t♦♥✿

n
un>400⇐⇒550−250×0,96>400
n
⇐⇒550−400>250×0,96
n
⇐⇒150>250×0,96
150
n
⇐⇒>0,96
250
n
⇐⇒0,6>0,96
n
⇐⇒ln(0,6)>ln (0,96 )
⇐⇒ln(0,6)> n×ln(0,96)
ln(0,6)
⇐⇒< n❝❛rln(0,96)<0
ln(0,96)

ln(0,6)
❈♦♠♠❡≈12,51❡t ❝♦♠♠❡nt♥❡❡r❜♠♦♥♥✉ts❡é❣❛❧✐té✐❡r✱❧✬✐♥
ln(0,96)
ts❡é✈✐r❡é✜s✐❡ts❡✉❧❡♠❡♥ts✐n>13✳
❈❡❛❧❣✐s✜✐♥❡✉q✱❡❞❛✬sèr♣❝❡♠♦❞è✱❡❧❡❧♥♦♠r❜❡❞❡♣♦♠♠✐rs❡♣❛r❤❡❝❛t❡r
é❞♣s❛r❡❛400❛✉ ❜♦✉t ❞❡13♦s✱s♥❡t✐✶✸✵✷r♥♦✿r♦❡t❡❧✉✈és❡rt❛✉❧t❛♥
♦t❜❡♥✉♣éré❝❞❡♠♠❡♥t❣râ❝❡à❧✬❛❧❣♦❤✐tr♠❡✳

❊①❡r❝✐❝❡ ✷ ✭❊❙ s♣é❝✐❛❧✐st❡s✮ ✭✺ ♣♦✐♥ts✮

❈♦rr❡❝t✐♦♥à✈❡♥✐r❞❛♥sq✉❧❡q✉❡s✐♥st❛♥ts✳

❊①❡r❝✐❝❡ ✸ ✭✺ ♣♦✐♥ts✮

P❛rt✐❡ ❆
✶✳■❧②❛♣é♥✉✐r❡❞❡✬❛✉♦❧sr✉q❡❧❡❞❜ét✐ts❡✐♥❢ré❡✐✉rà
✉q❡❝❛❧❡❡sr♣♦❞❡✐✉s❛✈✉t✿
❈❡sért❛t❧✉❛été♦❡t❜✉♥à❧❛✬❞✐❡❞❡❧❛❝❧❛❝✉❧❛tr✐❝❡✳❖♥♣❡✉t❡❧✈ré✜✐r❡
r❣❛♣✐❤✉q❡♠❡♥tà❧✬❛❞✐❡❞❡❧❛❝♦r✉❜❡❞❡❞❡s♥ét✐❞❡♣r♦❜❛❜✐❧✐té❛s❧à❛✐❝❡é♦
✈r❛❛✐❧❜❡❛❛❧é♦tr❡✐D✿

3−1
8m.s✳▲❛♣r♦✐❜❛❜ét✐❧
P(06D <8)≈0,10r✳✐è♠❡❝❡♥t❞✐❛✉♥♦❛

✳✸▲❛r♣♦❜❛❜✐❧✐ét✉q❡❡❧❞❜é✐t♦s❜❡ér✈s♦t✐❝♦♠♣r✐s❡♥tr❡
3−1
m.s♦r♣s✐r♣s❡s❧❝❝❛❡à✉❧rt♣❛❞❡✐ré❞t❧❛❧❡r♠❛❧♦✐♥♦❡✿

D✿

27,5

8
P(86D6

n= 10❡t

P❛rt✐❡ ❇
✳✶❖♥❤❝♦t✐s✐10❛s❛rs❛✉❤✉♥❡♥❞s✉r❡❧❡❞❡s❜♠é✈ss❡r❡❧s❛✉✣❡♥♠♠té✈❡❧❡r
r❣❛♥❞ ♣♦r✉ ❛✐s❧è✈❡♠❡♥tà✐♠❝r❡❧ér♣❡10t✐r❛❣s❡✈❛❝❡❡r✐♠❡s▲✳♣❛ét✐❧✐❜❛❜♦r
✉✬✉q♥r❡❡❧é✈sr✐♣❛✉❤❛❛s❞r❛t✐téé✉❛♣❡✛t❝❡é❜❛s❡❞❡❙q✉✐♣r❧✬é♥❡✐tt✉❛✈
0,25❡❇♥r✉♦❧❧❝sé❤❛♠❡❞ètr❡s✐❞❡♣❛r❛♠s♥❖✳❞❛♥❝✉♥♥s❧❛❡♣❞♦❝❡
❡tp= 0,25✱ ❡t ❡♥ ♥t♦❛t♥Xs❡❧✐♠r❡✛és❡✈❡❧♣❛é✱t✉❡❝❧♥❡❞❡r❡♠♦r❜
♣r❛qé✬❧✉✐♣❡❞❡❙é❜❛st✐❡♥✱X✳❛♠é✉❝❡ss❞❝ès❝❛♥❝❤❡s❝♠♦t♣❧❡♥❡♠♦r❜❞❡
❈t❡r❛✈❡❧❜❛✐s❡rtè♠❛r❛♣❡❞✐❛❧❡✐♥♦♠❧♦✐❜♥❝❧❛t✐♦❞❡r✉st❛✐♦❛❡é❧
p= 0,25✳
✳✷▲❛r♣♦❜❛✐❜✐❧ét✉q❡4❡♠❡♥t❛✐❡✈és❡①❛❝t❡r❡❧tt♥é❞❡éq❧✬♣❡✉✐é✉t❝r❛♣s❡✛❡
❙é❜st❛✐❡♥✈❛t✉✿

10
4 6
P(X= 4) =×0,25×0,75
4
≈0,15❛♦r♥❞✐ ❛✉ ❝❡t♥è✐♠❡

✳✸▲❛r♣♦❜❛✐❜é✐t❧✉q❛✬✉♠✐♦s♥

3−1
3,5m.st❡

❡✛❡❝✉tés♣❛réq❧✉✬✐♣❡❞❡

❊♥❡✛✱t❡❛❧♣r♦❜❛❜❧✐✐téq✉❡
[µ−2σ;µ+ 2σ]r♦✈✐❡♥♥✉t✈❛

P(3,56D627,5) = P(15,5−126D615,5 + 12)
= P(15,5−2×66D615,5 + 2×6)
= P(µ−2×σ6D6µ+ 2×σ)
≈0,95❛r❡♠♦♥❞✐❡❝✉❛è✐t♥

D❛♥s❧s❡s❞♠♣r✐rs❝♦❧❛✉❡❡❞✈s♥❡❡♥r♣❡❧❧❛✈r❡t♥✐✬
0,95✳

✳✷❧■✬♥②❛♣s❛❞❡✐✈❣✐❛❧♥❝❡♣❛tr❝✐✉è✐❧❡r♦❧✉qsr❡❧❡❞é❜✐t❡st❝♦♠♣rs✐❡♥rt❡
3−1 3−1
m.st❡m26.s❛♣✳▲❜❛r♦✐❧✐❜✉qét❧❡❝❡♣❡s❛r♦❞✉✐s❡✈❛✉t✿
26)≈0,85❛♦rt✐❡♥✉❝✐❛ré❈❡❡✳è♠❛t❛t❧✉s❞♥é✐❞❡❞à❧✬❛❡❧❛✉♥❡t❜♦t
❝❛❧❝✉❧t❝✐❛r✳❡❖♥♣❡t✉❡❧✐ré✈✜r❡❛r❣♣❤✉q✐❡♠❡♥tà✬❧✐❛❞❡❞❡❛❧❝♦✉❜r❡❞❡
❞❡♥✐sét❞❡♣r♦❜❛❜✐✐té❧❛s❧❛❡❧❜❛✐r❛✈❛❧à❡é✐♦❝❡✐rt♦é❛

n= 10
10✱

2t♥❡✐❛sé✈❡❧❡r

❜é❙s❛❡✐t♥❛✈t✉✿

P(X>2) = 1−P(X61)
= 1−P(X= 1)−P(X= 0)

10 10
9 10
= 1− ×0,25×0,75− ×0,75
1 0
≈0,76❛♦r♥❞✐❡♠♥t✐è❛✉❝❡

P❛rt✐❡ ❈
❊♥✐t✉✐❧❛st♥❛❧♦❢❧✉♠r❡❞✉❝♦rs✉✱✉♥✐❡♥tr❧✈❛❧❡❞❡❝♦♥✜❛♥❝❡❛✉♥✈✐❡❛✉❞❡❝♦♥✜❛♥❝❡

1 1
❞❡95%♦s❛ é✐❝à ❝❡t✿✐tr❛s❡♦♥t✐✉❛✐ts❡I=f− √;f+√✱ ù♦f❧❛r❛✐ts❡
n n
éq❢✉r❡♥❝❡♦❜s❡r✈é❡s✉r❧✬❝é❤❛t♥❧✐♦❧♥❞❡r❧❡❡és✈❡tn✳❧♦♠❡♥❡❞❜r❧❡r❡sé✈❡❝❡✛❡sé✉t
2
▲✬❛♠♣❧✐t✉❞❡❞✬✉♥❡t❧t♥✐r❡❛✈❡❧❧❡ts√✉r♣♦❀❡s❧❧✬❡q✉ré❢♥✐t✐♦à❡r✉❡✐0,1✿t♦r♥sé✉♦
n
2√
√<0,1⇐⇒2<0,1×n
n
√
⇐⇒20< n
2
⇐⇒20< n❝r❛n>0
⇐⇒400< n
❈✬t❡sà♣r✐rt❛❞❡400sé✉q❧❡✈❡r❞✬✉♥t✉❞❡♠♣❧✐❡❧✬❛✜♥♦❝❡❞❡❧❧❛✈r❡t♥✐❛✉✈❡♥✐❛✉❝❡❛♥
❞❡ ❝♦♥✜❛♥❝❡ ❞❡95%r✉à❡ss❡r❝♦✉rér✐❡❛✐♥❢❢❛❧❝❡✈❛✉✉❞❡❧✉♠r♦❡♥❜t♦0,1✳

❊①❡r❝✐❝❡ ✹ ✭✺ ♣♦✐♥ts✮

P❛rt✐❡ ❆
✳✶Pr❛❡❧t❝r✉❡❛r❣♣❤✐q✉❡✿
✳✷❈♦♠♠❡
✳✸✭❛✮❖♥❤❛❝❤✉❡r❧❛③♦♥❡❞é❡t✐r❝✿

A❞❡♦♥①✐✢❡♥✐✬❞t♥✐♦♣♥✉ts❡

✭❜✮❖♥♣❡✉t❝♦♠t♣r❡❡♥✐✈r♦♥
❞✬❛✐r❡❞❛♥s❧❛③♦♥❡❤❛❝✉❤ér✱❡♦s✐t❡✈♥r♦✐♥
▲✬❡st✐♠❛t✐♦♥❞❡❧é✬❜é✐♥ts❡♥❡s❡♠❡❧❜♣❛s❝r♦❡t❝❡✳

f(0)≈112t❡

24t❛✐❧❧❡♥❛❧❣s❡❡❞❡rt❝

f(60)≈70✳
Cf♥t♥❡✱♦❡✉r✐q❡

′′
f(7) = 0✳

10×20 = 200s♥✐té✉
24×200 = 4800✳t✐♥✉❡r✐❛✬❞sé

P❛rt✐❡ ❇
✳✶f❛❜✐✈ért❞s❡rs✉❧❡
✬❞✉♥❡♦❢♥❝t✐♦♥❛✣♥❡❡t✬❞✉♥❡❝♦♠♣s♦❡é❞❡✬❧❡①♣♦♥❡♥t✐❡❧❧❡♣❛r✉♥❡❢♦♥❝t✐♦♥
❧✐é♥❛✐r✱❡t❡✉♥❡♦❢♥❝♦✐t♥❝♦❛st♥t♥✱❡♦tt✉s❡❞r❛✈✐és❡❧❜r✉s❝t❡✐♥t❡r✈❛❧❡❧✳P♦✉r
t♦t✉♥♦❜♠❡rér❧❡

❆✐✐♥✱s♣♦✉rt♦✉t♥♦♠❜❡rér❧❡

❖♥♦✐❜t❡♥t❜❡✐♥❡✬❧①r♣❡♦✐s♥ ❛t❡♥❞✉❡✳
✷✳✭❛✮❖♥❞étr❡♠✐♥❡❡❧s✈❛❧❡✉rs❞❛✬♥♥t❛❧✉♦✐♥❞❡

❉❡❧♣✉s✱♣♦✉rt♦✉t♥♦♠❜❡rr❧❡é
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❛✣♥❡str✐❝t❡♠❡♥t❞❝é♦r❛s✐✳❡t♥
❖♥❡♥rt❡✐❧❡t❛❜❡❧❛✉❞❡s✐❣♥❡s❞❡

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