Brevet de technicien supérieur novembre groupement A Nouvelle Calédonie

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Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Brevet de technicien supérieur novembre 2008 - groupement A Nouvelle-Calédonie Exercice 1 12 points On désigne par ? un nombre réel positif tel que 0

  • transformationde laplace aux deuxmembres de l'équa- tion

  • a2 cos

  • solution générale de l'équation

  • solution de l'équation différentielle

  • laplace

  • b1 sin


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01 novembre 2008

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105

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Français

Brevet de technicien supérieur novembre 2008  groupement A NouvelleCalédonie
Exercice 112 points π On désigne parαun nombre réel positif tel que 0<α<. 2 On considère la fonctionfdéfinie surR, paire, périodique de période 2π, telle que : f(t)=1 si06t6α f(t)=0 siα<t<πα f(t)= −1 siπα6t6π π 1. Danscette question, le nombre réelαvaut . 3 Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement la fonctionfsur l’in tervalle [2π; 2π]. 2.On appelleSla série de Fourier associée à la fonctionf +∞ X On noteS(t)=a0+(ancos(n t)+bnsin(n t)). n=1 Le but de cette question est de calculer les coefficients de la série de FourierS π pour une valeurxquelconque du nombre réelαtel que 0<α<. 2 a.Calculera0, valeur moyenne de la fonctionfsur une période. b.Déterminerbn,ndésignant un nombre entier naturel strictement posi tif. c.Montrer que, pour tout nombre entier naturelnstrictement positif, on a :
2£ ¤ n an=1(1) sin(nα). nπ 3.Déterminer la valeurα0deαpour laquelle ona3=0. π 4. Pourtoute la suite de l’exercice, on se place dans le cas oùα=. 3 Rappels : Sihdésigne une fonction périodique de périodeT, le carré de la valeur effi caceHde la fonctionhsur une période est : Z r+T 1 2 2 H=[h(t)] dt. Tr rdésignant un nombre réel quelconque. Si les coefficients de Fourier de la fonctionhsonta0,anetbnalors : Z r+T+∞2 2 X 1a+b 2 2n n [h(t)] dt=a+formule de Parseval 0 Tr2 n=1 2 a.CalculerF, carré de la valeur efficace de la fonctionfsur une période. b.On définit surRla fonctiongpar :
g(t)=a0+a1cos(t)+b1sint+a2cos(2t)+b2sin(2t).
2 3 Montrer queg(t)=cos(t) pour tout nombre réelt. π 2 c.CalculerG, carré de la valeur efficace de la fonctiongsur une période.
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A. P. M. E. P.
2 G 3 d..près du quotientDonner une valeur approchée à 10 2 F Ce dernier résultat montre que la fonction gconstitue une assez bonne approximation de la fonction f .
Exercice 210 points On s’intéresse à un système entréesortie. Dans les parties A et B, on étudie la réponse de ce système à deu x entrées différentes. Les parties A et B sont indépendantes dans leurs résolutions respectives. Partie A On considère l’équation différentielle (E1) suivante : y"(t)+4y(t)=8 (E1) ydésigne une fonction dérivable de la variable réellet. 1. a.Donner la solution particulière constante de l’équation différentielle ( E1). b.Déterminer la solution générale de l’équation (E1). 2. a.Montrer que la fonctionf, solution de l’équation différentielle (E1) et qui vérifief(0)=0 etf(0)=0 est définie surRpar :
f(t)=2[1cos(2t)].
b.La fonctionfest périodique. En donner une période. Préciser, sans justification, le maximum et le minimum de la fonctionf. c.Représenter la fonctionfsur l’intervalle [0 ; 2π].
Partie B On rappelle que la fonction échelon unitéUest définie par : ½ U(t)=0 sit<0 U(I)=1 sit>0 Une fonction définie surRest dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ]− ∞; 0[. On considère la fonctionedéfinie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par : · µ¶¸ ³ ´ π3π e(t)=8U(t)U t− +U(tπ)U t2 2 On considère la fonction causalegqui vérifie les conditionsg(0)=0 etg(0)=0, ainsi que la relation (E2) suivante :
y"(t)+4y(t)=e(t) (E2) On admet que la fonctiongpossède une transformée de Laplace notéeG. 1. a.Représenter la fonctionesur l’intervalle [0; 2π]. b.On appelleEla transformée de Laplace de la fonctione. DéterminerE(p). 2. a.En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l’équa tion (E2), montrer que : ³ ´ 8 π3π ppπp G(p)=¡ ¢1e+ee . 2 2 2 p p+4
Nouvelle–Calédonie Groupe A
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A. P. M. E. P.
b.Vérifier que la fonctionhdéfinie surRparh(t)=2[1cos(2t)]U(t) a pour transformée de Laplace la fonctionHdéfinie par 8 H(p)=¡ ¢. 2 p p+4 c.Donner une expression de la fonctiong, en utilisant éventuellement la fonctionh. · · h h π3π 3. a.On donne les expressions deg(t) sur les intervalles;πet ;+∞: 2 2 h h π g(t)= −4 cos(2t) sit;π 2 · · 3π g(t)= −8 cos(2t) sit;+∞ 2 h h π Donner des expressions similaires deg(tet0 ;) pour les intervalles 2 · · 3π π; . 2 b.On a représenté surl’annexe, à rendre avec la copiela fonctiongsur les · · h h π3π intervalles ;πet ;+∞. 2 2 Compléter le graphique en traçant la représentation graphique degsur · · h h π3π les intervalles0 ;etπ; . 2 2
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9 8 7 6 5 4 3 2 1
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Annexe
à rendre avec la copie
π 2
4
π
3π 2
2π
A. P. M. E. P.
t
novembre 2008
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