Brevet de technicien supérieur session groupement A électrotechnique

Description

Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Brevet de technicien supérieur session 2008 - groupement A (électrotechnique) Exercice 1 11 points On rappelle que la fonction échelon unitéU est définie sur R par : { U (t)= 0 si t < 0 U (t)= 1 si t > 0 Une fonction définie sur R est dite causale si elle est nulle sur l'intervalle ]?∞ ; 0[. 1. On considère la fonction causale e définie sur l'ensemble des nombres réels par : e(t)= 4[U (t)?U (t?2)] a. Tracer la représentation graphique de la fonction e dans un repère or- thonormal. b. On note E la transformée de Laplace de la fonction e. Déterminer E (p). 2. On considère la fonction s telle que 4s?(t)+ s(t)= e(t) et s(0)= 0 On admet que la fonction s admet une transformée de Laplace, notée S. Démontrer que : S(p)= 1 p ( p+ 1 4 ) ( 1?e?2p ) 3. Déterminer les réels a et b tels que : 1 p ( p+ 1 4 ) = a p + b p+ 1 4 4.

• repère orthonormal


• bn sin


• supérieur session


• ordre supérieur


• mor- ceaux


• signal sinu- soïdal

Sujets

• Base orthonormale

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Brevet de technicien supérieur session 2008  groupement A (électrotechnique)

Exercice 111 points On rappelle que la fonction échelon unitéUest définie surRpar : ( U(t)=0 sit<0 U(t)=1 sit > 0 Une fonction définie surRest dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ]− ∞; 0[. 1.On considère la fonction causaleedéfinie sur l’ensemble des nombres réels par : e(t)=4 [U(t)−U(t−2)] a.Tracer la représentation graphique de la fonctionedans un repère or thonormal. b.On noteEla transformée de Laplace de la fonctione. DéterminerE(p). 2.On considère la fonctionstelle que ′ 4s(t)+s(t)=e(t) ets(0)=0 On admet que la fonctionsadmet une transformée de Laplace, notéeS. Démontrer que : 1 ¡ ¢ −2p S(p)= µ ¶ 1−e 1 p p+ 4 3.Déterminer les réelsaetbtels que : 1a b µ ¶ = + 1 p 1 p p+ p+ 4 4 4.Compléter le tableau cidessous dans lequelfreprésente la fonction causale associée àF:

1 11 1 −2p−2p F(pe) e 1 1 p p p+p+ 4 4 f(t)U(t) 5. a.Déterminers(t),tdésignant un nombre réel quelconque. b.Vérifier que :  s(t)=0 sit<0 t  −  s(t)=4− si 0 4e 4 6 t<2   t1 −   s(t)= 4e 4e 2 −1 sit > 2  

6. a.Justifier que la fonctions; 2[.est croissante sur l’intervalle [0 b.Déterminer lims(t). t→2 t<2

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7. a.Déterminer le sens de variation de la fonctionssur l’intervalle [2;+∞[. b.Déterminer lims(t). t→+∞ 8.Tracer la courbe représentative de la fonctionsdans un repère orthonormal.

Exercice 29 points Dans ce problème, on approche un signal à l’aide d’une fonction affine par mor ceaux. On désigne parE; 3[.un nombre réel de l’intervalle ]0 On considère la fonctionfdéfinie surR,paire, périodique depériode 5, telle que :  E×tsi 0 6 t<1   (3−E)t+2E−3 si1 6 t<2 f(t)= 5   3 si2 6 t 6 2 Partie A : Dans cettepartie, et uniquement dans cette partie,on se place dans le cas oùE=2. · ¸ 5 1.Préciser l’écriture def(t2 ;; 2[ et.; 1[, [1) sur chacun des intervalles [0 2 2.Représenter graphiquement la fonctionfsur l’intervalle [−5 ;10]. Partie B : Dans cettepartie,on se place dans lecas général, c’estàdire dans le cas où la valeur deEn’est pas spécifiée. On appelleSla série de Fourier associée à la fonctionf. µ µ¶ µ¶¶ +∞ X 2nπ2nπ On noteS(t)=a 0 +a n cost+b n sint. 5 5 n=1 1.Montrer que la valeur moyenne de la fonctionfsur une période esta 0 = E+3 2 . 5 2.Déterminerb n pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1. 3. a.Montrer que pour tout nombre entier naturelnsupérieur ou égal à 1 : Z µ¶ µ¶ µµ ¶¶ 1 2nπ5 2nπ25 2nπ tcostdt=sin+cos−1 . 2 2 0 5 2nπ5 4nπ5 5 µ ¶µ ¶ R 2nπ R 2nπ 2 2 b.On a calculé les intégralesf(t) costdtetf(t) costdt. 1 2 5 5 On a ainsi obtenu pour tout nombre entier naturelnsupérieur ou égal à 1 : 5 Z µ¶ µµ ¶µ ¶¶ 2nπ25 2nπ4nπ 2 f(t) costdt=(2E−3) cos+(3−E) cos−E. 2 2 0 5 4nπ5 5 En déduire que pour tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 1 : µ µ¶ µ¶ ¶ 5 2nπ4nπ a n =(2E−3) cos+(3−E) cos−E. 2 2 nπ5 5 4.Pour tout nombre entier naturelnsupérieur ou égal à 1, on appelleu n l’har monique de rangn. On a alors µ ¶µ ¶ 2nπ2nπ u n (t)=a n cost+b n sintpour tout nombre réelt. 5 5

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a.Montrer qu’au rang 5,u 5 (t) est nul pour tout nombre réelt. b.On appelleE 0 la valeur deEpour laquelle l’harmonique de rang 3 est nulle, c’estàdire la valeur deEtelle queu 3 (t) est nul pour tout nombre réelt. −2 Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10près, de E 0 .

Dans ce problème, à l’aide d’un transformateur à diode, on approche un signal sinu soïdal redressé par une fonction affine par morceaux. Un tel signal avec u 3 (t)=u 5 (t)=0permettra :

s’il est associé à un moteur, de réduire les àcoups du couple 3 s’il est associé à un transformateur, d’éviter les pertes 3 s’il est associé à un filtre, d’éliminer plus facilement les harmoniques de rang 3 impair d’ordre supérieur.

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