BTS : Métropole–Antilles–Guyane, collège, 3ème

Description

Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Brevet de technicien supérieur Métropole–Antilles–Guyane session 2010 - groupement B2 Exercice 1 12 points Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d'une équation différentielle On considère l'équation différentielle (E) : y ?? y = ex ?2x où la fonction inconnue y , de la variable réelle x, est définie et dérivable sur R et y ? désigne sa fonction dérivée. 1. Déterminer les solutions définies sur R de l'équation différentielle (E) : y ??y = 0. 2. Soit g la fonction définie sur R par g (x)= xex +2x+2. Démontrer que la fonction g est une solution particulière de l'équation diffé- rentielle (E). 3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 4. Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale f (0)= 3. B. Étude d'une fonction Soit f la fonction définie sur R par f (x)= (x+1)ex +2x+2. Sa courbe représentative C est donnée dans un repère orthogonal ci-dessous.

• logiciel de calcul formel


• réponse juste


• pulsation ?


• lieu de transfert


• solution particulière de l'équation diffé- rentielle


• equation différentielle

Sujets

• Équation différentielle
• Système de calcul formel

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Brevetdetechniciensupérieur
Métropole–Antilles–Guyane
session2010-groupementB2
Exercice1 12points
Lestroispartiesdecetexercicepeuventêtretraitéesdefaçonindépendante.
A.Résolutiond’uneéquationdifférentielle
Onconsidèrel’équation différentielle
0 x(E) : y ?y?e ?2x
0oùlafonction inconnue y,delavariableréelle x, est définieetdérivablesurRet y
désignesafonctiondérivée.
01. DéterminerlessolutionsdéfiniessurRdel’équationdifférentielle(E):y ?y?
0.
2. Soitg lafonctiondéfiniesurRpar
xg(x)?xe ?2x?2.
Démontrerquelafonction g estunesolution particulièredel’équation diffé-
rentielle(E).
3. Endéduirel’ensembledessolutionsdel’équation différentielle(E).
4. Déterminerlasolution f del’équationdifférentielle(E)quivérifielacondition
initiale f(0)?3.
B.Étuded’unefonction
Soit f lafonctiondéfiniesurRpar
xf(x)?(x?1)e ?2x?2.
SacourbereprésentativeC estdonnéedansunrepèreorthogonalci-dessous.Brevetdetechniciensupérieur A.P.M.E.P.
y
C
1
xO 1
?10
1. Calculer lim f(x).
x!?1
2. Pourcettequestion,uneseuleréponseA,B,Cestexacte.Indiquersurlacopiela
lettrecorrespondantàlaréponsechoisie.Onnedemandeaucunejustification.
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de ré-
ponsenerapportenin’enlèvedepoint.
LacourbeC admetuneasymptoteen?1dontuneéquationest:
RéponseA RéponseB RéponseC
y?x?1 y?2x?2 y?2
3. a. Démontrer que le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0,
delafonction f est:
3 2 2
f(x)?3?4x? x ?x ε(x) avec limε(x)?0.
2 x!0
Pourlesquestion3.bet3.c,uneseuleréponseA,B,Cestexacte.Indiquer
sur la copie la lettre correspondantà la réponse choisie. On ne demande
aucunejustification.
Laréponsejusterapporteunpoint.Uneréponsefausseouuneabsencede
réponsenerapportenin’enlèvedepoint.
b. UneéquationdelatangenteT àlacourbeC aupointd’abscisse0est:
RéponseA RéponseB RéponseC
3 2y?3 y?3?4x y? x
2
c. Auvoisinagedupointd’abscisse0,lacourbeC est:
RéponseA RéponseB RéponseC
au-dessusdela au-dessousdela au-dessousdela
tangenteTpourtout tangenteTpourtout tangenteTquand
x. x. x?0etau-dessus
quandx?0.
GroupeB2: conceptionetindustrialisationen2microtechniques mai2010Brevetdetechniciensupérieur A.P.M.E.P.
Calculintégral
Z1
1. Onnote I? (2x?2)dx.
?1
MontrerqueI?4.
Z1
x2. Onnote J? (x?1)e dx.
?1
?1Démontreràl’aided’uneintégrationparpartiesque J?e?e .
Z1
3. a. OnnoteK? f(x)dx,où f estlafonctiondéfiniedanslapartieB.
?1
DéduiredecequiprécèdelavaleurexactedeK.
?2b. DonnerlavaleurdeK,arrondieà10 .
c. Onadmetquepourtoutx del’intervalle [?1; 1], f(x)>0.
Donneruneinterprétation graphiquedeK.
Exercice2 8points
LespartiesAetBdecetexercicepeuventêtretraitéesdefaçonindépendante.
On considère un système, électrique ou mécanique. On note e(t) le signal d’entrée
ets(t)lesignaldesortie.
e(t) s(t)
Système
OnnoteE(P)?L(e(t))etS(P)?L(s(t))oùL estlatransformationdeLaplace.
LafonctiondetransfertH dusystèmeestdéfinieparlarelation:S(P)?H(P)?E(P).
Onsupposequepourcesystèmelafonctiondetransfertestégaleà:
2p
H(P)? .
2(p?1) ?1
A.Réponsedusystèmeàunéchelon
On suppose dans cette partie que e(t)?U(t) oùU est la fonction échelon unité
définiesurRpar:U(t)?0sit?0;U(t)?1sit>0.
1. a. DéterminerE(P).
2
b. EndéduirequeS(P)? .
2(p?1) ?1
µ ¶
1
?12. a. Déterminer,àl’aideduformulaire,L .
2p ?1
?1b. Endéduires(t)?L [S(P)].
B.Recherched’unepulsationparticulière
GroupeB2: conceptionetindustrialisationen3microtechniques mai2010Brevetdetechniciensupérieur A.P.M.E.P.
y
On appelle «lieu de transfert» l’en-
semble des points M du plan com- Γ
plexe d’affixe H(jω) lorsque ω décrit
]0;?1[,oùjestlenombrecomplexe
π
demodule1etd’argument .
2
1 xO I(0,5) A(1)
OnadmetqueH(jω)? ¡ ¢.
ω 11?j ?2 ω
On propose deux méthodes pour dé-
terminer la pulsationω pour laquelle¯ ¯ M(H(jω))¯ ¯lemodule H(jω) estmaximal.
Lesdeuxméthodespeuventêtretraitéesdefaçonindépendante.
1. Méthodegraphique
On admet que le lieu de transfertΓ est le cercle de centre 1 d’affixe 0,5 et de
rayon0,5,privédupointOetreprésentésurlafigureci-dessus.
a. Donner la position du point M sur Γ pour laquelle la distance OM est
maximale.
¯ ¯
¯ ¯b. En déduirela valeur de H(jω)pour laquelle le module H(jω) est maxi-
mal.
c. Déterminerlavaleurω deωtellequeH(jω)?1.0
2. Méthodeanalytique
1
a. Onconsidèrelafonctionr,définiesur]0;?1[,parr(ω)? .q ¡ ¢2ω 11? ?
2 ω¯ ¯
¯ ¯Montrer que, pour tout ω dans l’intervalle ]0 ; ?1[, le module H(jω)
vautr(ω).
0b. Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant pour la dérivée r
delafonctionr :
¡ p ¢¡ p ¢¡ ¢
2?2 ω? 2 ω? 2 ω ?2
0r (ω)? .¡ ¢3/24ω ?4
Cerésultatestadmisetnedoitpasêtredémontré.
Parailleurs,onadmetquelafonctionr possèdeunmaximumuniqueω0
0sur]0;?1[.Déterminerlavaleurdeω enutilisant l’expressionr (ω).0
ω estlapulsationderésonancedusystème.0
GroupeB2: conceptionetindustrialisationen4microtechniques mai2010
bbbBrevetdetechniciensupérieur A.P.M.E.P.
Formulaire
L
F(p)f(t)U(t)
?1L
OnrappellelesformulessuivantessurlatransformationdeLaplace.
L[λf ?μg]?λL[f ]?μL[g];
1
L[U(t)]? ;
p
1?atL[e U(t)]? ;
p?a
ω
L[sin(ωt)U(t)]? .
2 2p ?ω
Plusgénéralement, sionnoteL[f (t)U(t)]?F(p)alors,
?τpL[f (t?τ)U(t?τ)]?F(p)e ;
?atL[f (t)e U(t)]?F(p?a);¡ ¢
0 ?L[f (t)U(t)]?pF(p)?f 0 .
GroupeB2: conceptionetindustrialisationen5microtechniques mai2010