CAPES EXTERNE DE MATHÉMATIQUES

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Niveau: Supérieur, Bac+5
CAPES EXTERNE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2005 Deuxième épreuve écrite

  • cercle ?

  • unique π

  • π0 par ?

  • sphere

  • position dans le plan

  • centre ?

  • couples differents de points diametralement


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CAPES EXTERNE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2005 Deuxième épreuve écrite
Notations. Pest un plan euclidien. ´ Etantdonne´sdeuxpointsdistinctsAetBdu planP, on note ]AB[ le segment [ABede´virp] sesextr´emite´s. Si Γ est un cercle de centre Ω, de rayonRno,epparateudeccrelΓtenoonlleraint´erieur I(Γ) le disque ouvert, de centre Ω, de rayonRe´apmitiΓr.estlqui On a doncI(Γ) ={MP|ΩRM <} Demˆeme,lext´erieurducercleΓ,not´eE(Γ) est l’ensemble : E(Γ) ={MP|ΩM >R} Recommandations importantes. Lesseptpartiesdeceprobl`emesonttr`eslargementde´pendantes.Ilestrecommande´deles traiterdanslordre,maisonpourratoujoursadmettreunre´sultatpourcontinuerleprobl`eme. Dansceprobl`eme,ondemandeplusieursfoisdeproposerunetsurtcoicnotriqueng´eom´ed’une gureoudune´le´mentdunegure.Cecisigniequelondemandeunesuitedinstructions permettantdere´aliserdefa¸conthe´oriquecettegureoucet´el´ementa`laidedelar`egleetdu compas.egunsunondauctisnrtetoccttemeneivcteaeerisal´ernO.er Cependant,onsupposeraconnues,onned´etaillerapasetonpourrautilisersansexplicationles constructionsg´eom´etriquese´le´mentairesclassiquessuivantes: trace´delam´ediatriceoudumilieudunbipoint; trace´ducerclepassantpartroispointsnonalign´es; trac´edelaparalle`lea`unedroitepassantparunpointdonne´; trace´delaperpendiculairea`unedroitepassantparunpointdonn´e. PartieI:Puissancedunpointparrapport`auncercle. Soit Γ un cercle deP, de centre Ω, de rayonR >0. 1 SoitMun point deP, et soitDune droite passant parMet coupant Γ en deux pointsT1 etT2. On pose p[D,Γ](M) =M T1. MT2 2 2 Montrer quep[D,Γ](M) = ΩMRdonc quep[D,Γ](Mepasdpended´e)nactnsee´ortiledaD. (On pourra, introduire le pointHorthogonprojet´e,laedsΩruD). Dans cette situation, on posepΓ(M) =p[D,Γ](M) (quelle que soit la droiteDpassant parM etcoupantΓendeuxpoints)etonappellecettequantit´epΓ(M) lapuissance du pointMpar rapport au cercleΓ. 2 Quel rapport y a-t-il entre le signe de la puissance d’un pointMpproraarpeΓcletaut`ernc sa position dans le plan ? 3Quelleestlapuissanceducentreduncercleparrapport`acecercle? 4 Soit Γ un cercle et soitD0une droite passant parMet tangente au cercle Γ en un pointT. Que peut-on dire du pointMsi une telle droiteD0existe ?D0est-elle unique ? 2 Montrer quepΓ(M) =M T.
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5 Soient Γ1et Γ2sse´crelxuecedointeuxpsendcantsAetB. Montrer que la droite (AB) est exactement l’ensemble de tous les pointsMletaoinineltranquiv´erdupla
pΓ1(M) =pΓ2(M)
6D´eterminerlanaturedelensembledespointsquiontlameˆmepuissanceparrapporta`deux cercleslorsqueceux-cinesontpasforc´ementse´cants.Quepeut-onendiresilesdeuxcercles sont tangents ? 7Pstraeonthorrelmaor`e´troppe`pernuaR= (~ıO,,~oi.SuntΓation)ltnuqe´crecodel 2 2 cart´esiennedanslerepe`reRestx+y+ax+by+c= 0. De´terminerlapuissancedupointOap)eparrtropeca`rcce.le`preuderigeno(ir Partie II : Construction d’uneΠ-droite. Dans cette partie,Cest un cercle de centreOet de rayonR, etΠldeeouvisqurimit´eerptal CetAetBsont deux points distincts deΠ. Lebutdecettepartieestdemontrerqueng´en´eral,pourtoutepaire{A, B}de points du disque ouvertΠi,nassapΓerapt´e,dicitercluncixtsyleatenuneecAetB, et coupantCen deux pointslementoppos´esdai´mtearonecrustioct´engetuoorpnasopnutncecedeueiqtr´eo,mt.Γelcr 1 On suppose queAetBitu´ontssidmaeˆemurmnseuscleretr`eucedC. Montrer qu’aucun cercle passant parAetBne rencontreCpnuo.sO(rraneniopxuede´maidstenemaltr´eosppto calculerdedeuxmani`ereslapuissancedeOcrelqΓiuapssreiatparrrpapoap`artceunAetB et qui couperaitCpotn´sop.)seednuepxiontsdiam´etraleme 2 On suppose queAetBeuqteesnsaisnoptssruute´emedunmˆetreiam`OA=OB. Montrer danscecaslexistenceetlunicite´duncercleΓquipasseparAetBet qui rencontreCen deuxpointsdiame´tralementoppose´s.Proposeruneconstructionge´ome´triquedececercle. 3 On suppose queOA6=OBet queAetBpassurunmˆemediaenostnO.erte`mesoppusn qu’il existe un cercle Γ, de centre Ω, qui rencontreCsoppse´meenldaeotneamditr´epouxtsin T1etT2. a) Montrer que (AB) rencontre (T1T2) en un point uniqueS. b) ComparerpC(S) etpΓ(S). 0 c) Soit Γun cercle quelconque passant parAetBet rencontrantCen deux pointsU1etU2 0 distincts. Comparer la puissance deSpar rapport aux cerclesCΓ,Γteenetedd´reuiequ S(U1U2). d)LorsquonneconnaıˆtpaslecercleΓ,de´duiredecequipre´ce`deuneconstructionge´ome´trique du pointS, puis du cercle Γ. e)Justierlexistenceetlunicit´edeΓ. 4Autred´emonstrationdelexistenceetlunicite´deΓ: Dans cette question, le plan euclidienPrapport´e`aunreplmaoronthorree`tesR= (~,ı~,O) et Cest le cercle de centreO, de rayonR= 1. a) Montrer qu’un cercle Γ (distinct deC) rencontreC´´smsteeareleiomttnnpdosoapiendeuxp si et seulement sipΓ(O) =1.
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b)End´eduireunem´ethodeanalytiquepourmontrerlexistenceetlunicite´deΓenen de´terminantune´equationcarte´siennepuissoncentre.Comment,danscettem´ethode,reconnaˆıt-onquelescoordonne´esdeAetBsoeslltentesquonti´edila`ailree´utpsraitucdanslecaquonest 1? PartieIII:Unproble`medelieug´eome´trique. Dans cette partie,Cest un cercle de centreO, de rayonR, etAest un point distinct deO, situ´edansledisqueouvertΠrape´tlimiCmrnie´etiluereel.cedtubeLrtpateetedtdesieL des centres des cercles qui passent parAet qui coupentCxpointsdselondeuelemtnai´mtear oppose´s,puisdende´duireuneautreconstructionducercleΓdelapartieII. 0 ndiculairea`(OAle cercle circonscrit au triangle). Soit Γ 1 Soit [T0T0etreiam`l]dedeCperpe0 0 Ason centre. Soit Ω un point de la perpend, et Ω T0T0 0Δ`a(aireiculOA) qui passe par Ω0. Soit [T1T2etm`iaed]lederCepreptseiuqre`a(ΩndiculaiO). a) Montrer que ΩTi= ΩApouri= 1,2. b)Ende´duirequeΔL. 2Montrerlinclusionr´eciproque. 3D´eduiredecette´etudeunenouvelleconstructionge´ome´triqueducercleΓquipassepardeux pointsAetBmeˆenmrusuesu´itqsidud)erte`maidue(nonsΠ, et qui coupeCen deux points diame´tralementoppos´es. PartieIV:Unplan´etonnant. On se place toujours dans un plan euclidienPnsid`ere.OncoelnelbmesΠ=I(C), qui est 2 2 ledisqueouvertlimite´parlecercleCquatd´enoix+yrmnohorteoerp`reelsnad1=al R= (O,~ı, ~). On appelleΠ-droite un sous-ensemble deΠqui est d’un des deux types suivants : — soit c’est l’intersection deΠavec un cercle Γ (distinct deC) qui passe par deux points diam´etralementoppose´sdeC. — soit c’est l’intersection deΠeedtr`eamdiunecavC. Le cercle [respectivement la droite] qui contient tous les points d’uneΠ-droite est le support de laΠ-droite. 1 Justifier que par deux points distincts deΠpasse une uniqueΠ-droite. L’uniqueΠ-droite passant par les deux points distinctsAetBdeΠ((eet´noraseAB)). 2 DeuxΠ-droites seront ditesΠ-tconfoonelusslelselqsroarape`llceitetsrnosouqndueurinuele est vide. a) Montrer que si les supports de deuxΠneetdnuepxiotnds-droitessecoupm´iaraetmelent oppos´esdeC, alors cesΠ-droites sontΠ.esell`alar-p 0 b) SoitU=]T0T0[ uneΠaidnte`mtroputsedereesupontlited-droCet soitVuneΠ-droite dont le support est un cercle Γ qui rencontreCndetniopxuete´maidsmentrales´esoppoT1et 0 T(non confon 2dus avecT0ouT0). Enconside´rantlapuissancedeOuerqparrpaoptra`,ΓomtnerOstet´inieeruarucrecpΓelsiu 0 que laΠ-droite ]T0T0[ rencontre laΠ-droite dont le support est Γ en un point unique. 0 c) Montrer que si Γ et Γsont deux cercles coupantCpeiotnse´ertndsleupisdndecoes 0 00 0 diam´etralementop,(TT ,se coupentalors Γ et Γpo , pose´srespectivement(T1, T2) pour Γ1 2Γ) ur 4