CAPES EXTERNE DE MATHÉMATIQUES

Description

Niveau: Supérieur, Bac+5
CAPES EXTERNE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2005 Deuxième épreuve écrite

• cercle ?


• unique π


• π0 par ?


• sphere


• position dans le plan


• centre ?


• couples differents de points diametralement

Sujets

• Sphère

Informations

• Publié par: profil-meshug-2012
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• Langue: Français

Extrait

CAPES EXTERNE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2005 Deuxième épreuve écrite

Notations. Pest un plan euclidien. ´ Etantdonne´sdeuxpointsdistinctsAetBdu planP, on note ]AB[ le segment [ABede´virp] sesextr´emite´s. Si Γ est un cercle de centre Ω, de rayonRno,epparateudeccrel”Γtenoonllera“int´erieur I(Γ) le disque ouvert, de centre Ω, de rayonRe´apmitiΓr.estlqui On a doncI(Γ) ={M∈P|ΩRM <} Demˆeme,l’ext´erieurducercleΓ,not´eE(Γ) est l’ensemble : E(Γ) ={M∈P|ΩM >R} Recommandations importantes. Lesseptpartiesdeceprobl`emesonttr`eslargementde´pendantes.Ilestrecommande´deles traiterdansl’ordre,maisonpourratoujoursadmettreunre´sultatpourcontinuerleprobl`eme. Dansceprobl`eme,ondemandeplusieursfoisdeproposerunetsurtcoicnotriqueng´eom´ed’une figureoud’une´le´mentd’unefigure.Cecisignifiequel’ondemandeunesuited’instructions permettantdere´aliserdefa¸conthe´oriquecettefigureoucet´el´ementa`l’aidedelar`egleetdu compas.efigunsunondauctisnrtetoccttemeneivctffeaeerisal´ernO.er Cependant,onsupposeraconnues,onned´etaillerapasetonpourrautilisersansexplicationles constructionsg´eom´etriquese´le´mentairesclassiquessuivantes: —trace´delam´ediatriceoudumilieud’unbipoint; —trace´ducerclepassantpartroispointsnonalign´es; —trac´edelaparalle`lea`unedroitepassantparunpointdonne´; —trace´delaperpendiculairea`unedroitepassantparunpointdonn´e. PartieI:Puissanced’unpointparrapport`auncercle. Soit Γ un cercle deP, de centre Ω, de rayonR >0. 1 SoitMun point deP, et soitDune droite passant parMet coupant Γ en deux pointsT 1 etT 2 . On pose p [D,Γ] (M) =M T 1 . MT 2 2 2 Montrer quep [D,Γ] (M) = ΩM−Rdonc quep [D,Γ] (Mepasdpended´e)nactnsee´ortiledaD. (On pourra, introduire le pointHorthogonprojet´e,laedsΩruD). Dans cette situation, on posep Γ (M) =p [D,Γ] (M) (quelle que soit la droiteDpassant parM etcoupantΓendeuxpoints)etonappellecettequantit´ep Γ (M) lapuissance du pointMpar rapport au cercleΓ. 2 Quel rapport y a-t-il entre le signe de la puissance d’un pointMpproraarpeΓcletaut`ernc sa position dans le plan ? 3Quelleestlapuissanceducentred’uncercleparrapport`acecercle? 4 Soit Γ un cercle et soitD 0 une droite passant parMet tangente au cercle Γ en un pointT. Que peut-on dire du pointMsi une telle droiteD 0 existe ?D 0 est-elle unique ? 2 Montrer quep Γ (M) =M T.

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5 Soient Γ 1 et Γ 2 sse´crelxuecedointeuxpsendcantsAetB. Montrer que la droite (AB) est exactement l’ensemble de tous les pointsMletaoinfiineltranquiv´erdupla

p Γ 1 (M) =p Γ 2 (M)

6D´eterminerlanaturedel’ensembledespointsquiontlameˆmepuissanceparrapporta`deux cercleslorsqueceux-cinesontpasforc´ementse´cants.Quepeut-onendiresilesdeuxcercles sont tangents ? 7Pstraeonthorrelmaor`e´troppe`pernuaR= (~ıO,,~oi.SuntΓation)’ltnuqe´crecodel 2 2 cart´esiennedanslerepe`reRestx+y+ax+by+c= 0. De´terminerlapuissancedupointOap)eparrtropeca`rcce.le`preuderigeno(ir Partie II : Construction d’une Π -droite. Dans cette partie,Cest un cercle de centreOet de rayonR, et Π ldeeouvisqurimit´eerptal CetAetBsont deux points distincts de Π . Lebutdecettepartieestdemontrerqu’eng´en´eral,pourtoutepaire{A, B}de points du disque ouvert Π i,nassapΓerapt´e,dicitercl’uncixtsyleatenuneecAetB, et coupantCen deux pointslementoppos´esdai´mtearonecrustioct´engetuoorpnasopnutncecedeueiqtr´eo,mt.Γelcr 1 On suppose queAetBitu´ontssidmaeˆemurmnseuscleretr`eucedC. Montrer qu’aucun cercle passant parAetBne rencontreCpnuo.sO(rraneniopxuede´maidstenemaltr´eosppto calculerdedeuxmani`ereslapuissancedeOcrelqΓiuapssreiatparrrpapoap`artceunAetB et qui couperaitCpotn´sop.)seednuepxiontsdiam´etraleme 2 On suppose queAetBeuqteesnsaisnoptssruute´emedunmˆetreiam`OA=OB. Montrer danscecasl’existenceetl’unicite´d’uncercleΓquipasseparAetBet qui rencontreCen deuxpointsdiame´tralementoppose´s.Proposeruneconstructionge´ome´triquedececercle. 3 On suppose queOA6=OBet queAetBpassurunmˆemediaenostnO.erte`mesoppusn qu’il existe un cercle Γ, de centre Ω, qui rencontreCsoppse´meenldaeotneamditr´epouxtsin T 1 etT 2 . a) Montrer que (AB) rencontre (T 1 T 2 ) en un point uniqueS. b) Comparerp C (S) etp Γ (S). 0 c) Soit Γun cercle quelconque passant parAetBet rencontrantCen deux pointsU 1 etU 2 0 distincts. Comparer la puissance deSpar rapport aux cerclesCΓ,Γteenetedd´reuiequ S∈(U 1 U 2 ). d)Lorsqu’onneconnaıˆtpaslecercleΓ,de´duiredecequipre´ce`deuneconstructionge´ome´trique du pointS, puis du cercle Γ. e)Justifierl’existenceetl’unicit´edeΓ. 4Autred´emonstrationdel’existenceetl’unicite´deΓ: Dans cette question, le plan euclidienPrapport´e`aunreplmaoronthorree`tesR= (~,ı~,O) et Cest le cercle de centreO, de rayonR= 1. a) Montrer qu’un cercle Γ (distinct deC) rencontreC´´smsteeareleiomttnnpdosoapiendeuxp si et seulement sip Γ (O) =−1.

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b)End´eduireunem´ethodeanalytiquepourmontrerl’existenceetl’unicite´deΓenen de´terminantune´equationcarte´siennepuissoncentre.Comment,danscettem´ethode,reconnaˆıt- onquelescoordonne´esdeAetBsoeslltentesquonti´edila`ailree´utpsraitucdanslecaqu’onest 1? PartieIII:Unproble`medelieug´eome´trique. Dans cette partie,Cest un cercle de centreO, de rayonR, etAest un point distinct deO, situ´edansledisqueouvert Π rape´tlimiCmrnie´etiluereel.cedtubeLrtpateetedtdesieL des centres des cercles qui passent parAet qui coupentCxpointsdselondeuelemtnai´mtear oppose´s,puisd’ende´duireuneautreconstructionducercleΓdelapartieII. 0 ndiculairea`(OAle cercle circonscrit au triangle). Soit Γ 1 Soit [T 0 T 0 etreiam`l]dedeCperpe 0 0 Ason centre. Soit Ω un point de la perpend, et Ω T 0 T 0 0 Δ`a(aireiculOA) qui passe par Ω 0 . Soit [T 1 T 2 etm`iaed]lederCepreptseiuqre`a(ΩndiculaiO). a) Montrer que ΩT i = ΩApouri= 1,2. b)Ende´duirequeΔ⊂L. 2Montrerl’inclusionr´eciproque. 3D´eduiredecette´etudeunenouvelleconstructionge´ome´triqueducercleΓquipassepardeux pointsAetBmeˆenmrusuesu´itqsidud)erte`maidue(nons Π , et qui coupeCen deux points diame´tralementoppos´es. PartieIV:Un“plan”´etonnant. On se place toujours dans un plan euclidienPnsid`ere.Oncoelne’lbmes Π =I(C), qui est 2 2 ledisqueouvertlimite´parlecercleCquatd’´enoix+yrmnohorteoerp`reelsnad1=al R= (O,~ı, ~). On appelle Π -droite un sous-ensemble de Π qui est d’un des deux types suivants : — soit c’est l’intersection de Π avec un cercle Γ (distinct deC) qui passe par deux points diam´etralementoppose´sdeC. — soit c’est l’intersection de Π eedtr`eamdiunecavC. Le cercle [respectivement la droite] qui contient tous les points d’une Π -droite est le support de la Π -droite. 1 Justifier que par deux points distincts de Π passe une unique Π -droite. L’unique Π -droite passant par les deux points distinctsAetBde Π ((eet´noraseAB)). 2 Deux Π -droites seront dites Π -tconfoonelu’sslelselqsroarape`llceitetsrnosouqndueurinuele est vide. a) Montrer que si les supports de deux Π neetdnuepxiotnds-droitessecoupm´iaraetmelent oppos´esdeC, alors ces Π -droites sont Π .esell`alar-p 0 b) SoitU=]T 0 T 0 [ une Π aidnte`mtroputsedereesupontlited-droCet soitVune Π -droite dont le support est un cercle Γ qui rencontreCndetniopxuete´maidsmentrales´esoppoT 1 et 0 T(non confon 2 dus avecT 0 ouT 0 ). Enconside´rantlapuissancedeOuerqparrpaoptra`,ΓomtnerOstet´inieeruarucrecpΓelsiu 0 que la Π -droite ]T 0 T 0 [ rencontre la Π -droite dont le support est Γ en un point unique. 0 c) Montrer que si Γ et Γsont deux cercles coupantCpeiotnse´ertndsleupiffsdndecoes 0 00 0 diam´etralementop,(TT ,se coupentalors Γ et Γpo , pose´srespectivement(T 1 , T 2 ) pour Γ 1 2 Γ) ur 4