Capesint composition de mathematiques 2006 capes maths capes de mathematiques

Description

CAPES interne 2006Probl`eme 1NotationsDans le probl`eme, pour toute fonction h d´efinie et d´erivable sur un intervalle I `a valeurs dansR,′on note h sa fonction d´eriv´ee.On note E l’ensemble des fonctions f d´efinies et continues sur l’intervalle [0; 1], d´erivables surl’intervalle [0; 1[, `a valeurs dansR et v´erifiant les propri´et´es suivantes :• f(0) = 0• f(1) = 1′ ′′• f est d´erivable sur [0; 1[ et on note f sa fonction d´eriv´ee′• ∀x∈ [0 ; l[, f (x)> 0′′• ∀x∈ [0 ; l[, f (x)> 0.Pour toute fonction f de E, on note :˜ ˜• f la fonction associ´ee `a f, d´efinie sur l’intervalle [0; 1] par f(x) =x−f(x);Z Z1 1˜• I(f) le r´eel d´efini par I(f) = 2 f(x)dx = 2 [x−f(x)]dx.0 0I(f) est appel´e indice de Gini de f.On admettra que si une fonction continue sur l’intervalle [0; 1] est monotone ou strictement mo-notone sur l’intervalle ]0; l[, il en est de mˆeme sur l’intervalle [0; 1].´Partie I Etude de quelques ´el´ements de E1. Soit f la fonction num´erique de variable r´eelle x d´efinie sur l’intervalle [0; 1] par : 3 2xxf(x) =λ + +x ou` λ est le nombre r´eel tel que f(1) = 1.3 21.1. Pr´eciser la valeur de λ.1.2. D´emontrer que f est un ´el´ement de E.1.3. D´emontrer que pour tout x appartenant a` [0; 1] : x−f(x)> 0.′1.4. Dresser le tableau de variation de f. On pr´ecisera les valeurs exactes prises par f en 0et 1.1.5. Tracer la courbe repr´esentative de f dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal d’unit´egraphique 10 cm.1.6. Application ...

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Extrait

Proble`me1

CAPES interne 2006

Notations Dansleprobl`eme,pourtoutefonctionhd´eetdefiniavlbe´irnuniserulealrvteeualavI`snadsrR, ′ on notehno´dreviasofcnit´ee. On note E l’ensemble des fonctionsfetvr’lnissrunieueriv],d´[0;1allerusselbaetesntcod´niefi l’intervalle[0;1[,`avaleursdansRltnarpseirpo´te´v´etifieressuivantes: •f(0) = 0 •f(1) = 1 ′ ′′ •fonnote[1etabiverd´0;r[suleetsffasiondonctv´ee´eri ′ • ∀x∈[0 ;l[, f(x)>0 ′′ • ∀x∈[0 ;l[, f(x)>0. Pour toute fonctionfde E, on note : ˜ ˜ •fnctionaslafoa`ee´icosfllvaernt’irlsuienfie´d,r]1ap[e;0f(x) =x−f(x) ; Z Z 1 1 ˜ •I(feerfin´ieel)dl´parI(f) = 2f(x) dx= 2[x−f(x)] dx. 0 0 I(feGinide)e´leppatsdecidnief. On admettra que si une fonction continue sur l’intervalle [0; 1] est monotone ou strictement mo notonesurl’intervalle]0;l[,ilenestdemˆemesurl’intervalle[0;1].

´ Partie I qleu´seudutEqedeeEsd´eelntme

1. Soitfelleer´edeuqire´lbairaveonaflumnnioctxi’tnuslrll[ereav1]0;r:pafinied´e   3 2 x x f(x) =λ+ +xu`oλuqetselenombrer´eeltelf(1) = 1. 3 2 1.1.Pre´ciserlavaleurdeλ. 1.2.D´emontrerquefeE.entd´lmenue´ets 1.3.D´emontrerquepourtoutxntna[0`appatear1;:]x−f(x)>0. ′ 1.4. Dresserle tableau de variation def.esarelvsnOrpe´icteacrispeualexrspsesrafen 0 et 1. 1.5.Tracerlacourberepr´esentativedefnoroamdlu’in´teunnmlaepslandhtroere`pernu’di graphique 10 cm. 1.6.ppAacilnoitoce´minoequ Onpeutconside´rerquelafonctionfrend compte de la concentration des richesses des habitantsd’unpaysdonne´.Parexemple,f(0,3)≈0,19signifie que30% des habitants (lespluspauvres)posse`dentenviron19% des richesses du pays. Dans ces conditions, l’indice de Gini donne une indication sur la concentration des richesses dans ce pays. Calculerl’indicedeGinipourlepaysconsid´er´e.Endonneruneinterpre´tationgraphique. 2. Soitnun entier naturel strictement positif etf n eledarav´eumquriellelbaie´renotcoinnlfa n xuslrnfieireavi’tn0;1]lel´ed[par:f n (x) =x. 2.1.De´montrerquef n e´emtned.Eeln´tues 2.2. CalculerI(f n ). 2.3.De´montrerquelasuite(I(f n )).eetimilasresice´rtpeentgeernvcost n∈N∗ 3. Soitnetemrtcierslanuttierunenturie1e`asunterp´g n lbeelavaria´eriquedoitcmunnlnofa re´ellexde´nfipa1]0;e[r:i’lruseillavretn 1 n g n (x) = 1−(1−x).