CCENS 2000 mathematiques paris et lyon classe prepa mp

J. 1025 UL O11 SESSION 2000 Filière MP MATHÉMATIQUES (Épreuve commune aux ENS : Ulm et Lyon) DURÉE : 6 heures La calculatrice n 'est pas autorisée Tournez la page S.V.P. 1 l -2- ~ Soit f une fonction dans C””(Rd,Rd) (définie sur Rd et à valeurs dans Rd). L’objet de ce problème est l’étude de propriétés qualitatives du système d’équations différentielles -= dx(t) j(x(t)) dt où x est une fonction définie sur un intervalle de R à valeurs dans Rd. La norme euclidienne usuelle de ad sera notée JI.JI et B(x,r) désignera la boule ouverte de centre x et de rayon r. On notera %z la partie réelle du nombre complexe z. La différentielle de f en un point xo E Rd sera notée df(xo). Soit xo E R~ et trois réels tl O et r > O et une jonction $(t, y) de classe C”, définie sur ]to - T, to + T[ xB(z0, r), Ci valeurs dans &td, telle que pour tout (t, y) €]to - T’t0 + .[xB(xo,r). On rappelle d’autre part qu’il existe une unique solution maximale z(t) de (E) passant par zo en to. Cette solution est définie sur un intervalle ouvert ]u,b[ avec a < to < b et si b < $00 ...