CCP 2000 epreuve specifique classe prepa tpc

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TPC005 SESSION 2000 CONCOURS CONNUHS ?OLYTECHNIQUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE TPC MATHÉMATIQUES DUR& : 4 heures L'utilisation des ca lculatrices n'est D~S auto ris&. Soit E = w 1x3 le w-espace vectoriel des polynômes B une ind6termink x coefficients r&ls. Dans ce problème, si k est un nombre entier naturel quelconque, on note Ek le sous-espace vectoriel de E forné des polynômes de degré inférieur ou @al B k et 9, la base canonique (1, x, ..., xk) de Ek. I On considère l'application u de Ek dans E qui à tout polynôme P E Ek associe le polynôme Q = u(P) défini par Q(x) = P"(x) - 2xP'(x) . 1 ") Montrer que u(Ek) c Ek et que u dbfinit un endomorphisme de Ek , 27 Calculer l'image par u du monôme x" , pour O 5 n i k . En déduire que la mmœ représentative de u dans la base 3, est triangulaire supérieure. 3O) Déterminer les valeurs propres de u , et en déduire que u est diagonalisable. 4") On consid5re la fonction f de la variable réelle x définie par f(x) = eqX2 . a) Montrer que la dérivée d'ordre n 2 O de f est le produit de f par un polynôme à coefficients entiers Hn de degré n . Calculer Ho, H, , H2 et H3 . b) Montrer que Hn+l(x) = H,'(x) - 2xZ-ZR(x) pour tout n 2 O . c) que pour tout n 2 1 on a H,,+,(x) = -2xH,,(x) - 2nN,-,(x) (on pourra utiliser la relation -[e-x2] = -[-2xe-'.] d" ) . &n+1 dx" En déduire que pour tout n 2 1 on a H:(x) = -2nH,,-,(x) . d) Montrer que pour tout n , O I n I k , Hn est un vecteur propre de u . Determiner la valeur ...

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• Publié par: aiolos
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• Langue: Français

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