CCP 2005 mathematiques 2 classe prepa mp

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RACINES CARREES DE MATRICESNotations.Danscesujet,n estunentier naturelnonnuletonnote :M (R) la R-algµebredes matricescarr¶eesre¶ellesdetaillen.nM (R) le R-espace vectoriel desmatricesµan ligneset unecolonne.n;1GL (R) legroupedes matrices inversiblesdeM (R).n nI lamatriceunit¶e deM (R).n nnId l'application identit¶ede R .tPourunematriceA 2M (R), Aestsamatricetranspos¶ee.nS (R) lesous-espace vectoriel des matricessym¶etriquesdeM (R).n n+S (R) le sous-espace vectoriel des matrices sym¶etriques positives de M (R), c'est aµ dire des matrices AnntdeS (R) v¶eri¯ant : pourtoute matriceX 2M (R); XAX ¸0.n n;1Si x ;:::;x sont des re¶els, on note diag(x ;:::;x ) la matrice diagonale de M (R) qui admet pour1 n 1 n ncoe±cientsdiagonaux lesre¶els x ;:::;x danscetordre.1 npSi pestunentiernaturelnonnul,onnotera k:k lanorme in¯niesur R1Si x=(x ;:::;x ), kxk =max jx j.1 p 1 1·i·p ipSi a 2 R et r>0,onnoteB (a;r) labouleouvertedecentre aderayonrpour lanorme k:k .1 1Objectifs.2SoitAunematricedeM (R), ondit qu'une matriceRdeM (R)est uneracinecarr¶eesdeAsi R =A.n n2OnnoteRac(A) l'ensembledesracinecarre¶esdeA,c'estµadireRac(A)= fR 2M (R)=R =AgnLe probleµme propose de de¶terminer les racines carr¶ee de A dans di®¶erents exemples, (on pourraconstater qu'une matrice peut parfois admettre une in¯nite¶ de racines) et e¶tudier quelques propri¶ete¶stopologiques deRac(A).Lestroispartiesduproblµemesontind¶ependantes.Lestroispremiersexemplesde lapartieI sonttous ind¶ependants.I. ...

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RACINES CARREES DE MATRICES Notations. Dans ce sujet,nest un entier naturel non nul et on note : M n ialle)al(`gbelaatsmderearsccerie´rsee´rtedsellen. R R M()elvectorieespacesecia`sedlrtamnlignes et une colonne. R R n,1 GL( )le groupe des matrices inversibles deM( ). R R n n I n edet´nieuictrmalaM n ( ). R n I ditacdinoitnede´te.’allipp R t Pour une matriceA M( ),A.ee´sestceriatamosspantr R n ∈ S( )le sousespace vectoriel des matrices sym´etriques deM( ). R R n n + Sle sousespace vectoriel des matrices sym´etriques positives de( )M n esediradt`esc’),(ciseamrtA n R R t deS n uartrtiotu:tpeomiancve´er()X M n,1 ( ), XAX0. R R ∈ ≥ Si. . . , xx ,so´esrdentonno,sleetdiag(. . . , xx ,) la matrice diagonale deMqui admet pour( ) R 1n1n n coefficientsdiagonauxlesr´eels. . . , xx ,dans cet ordre. 1n p Sipest un entier naturel non nul, on notera.nie surla norme in R k k ∞ Six= (x 1 , . . . , x p ),x= max 1i p x i . p k k ∞ | | Siaetr >0, on noteB(a, r) la boule ouverte de centreade rayonrp ourla norme.. R ∈ ∞ k k ∞ Objectifs. 2 SoitAune matrice deM n on dit qu’une matrice( ),RdeM n esd(eee)´rracenicarenutsAsiR=A. R R 2 On noteRac(Acarrcineesrabledsnmel)e’see´edAse’cda`teir,Rac(A) =R M n ( )/ R=A R { ∈} Leproble`meproposeded´eterminerlesracinescarr´eedeAdnadsxeselemp´eiffntrearro(,suopn constaterqu’unematricepeutparfoisadmettreuneinnite´deracines)ete´tudierquelquespropri´et´es topologiques deRac(A). Lestroispartiesduproble`mesontind´ependantes. Les trois premiers exemples de la partieIsont tousenepntdasd´in. I.De´terminationdeRac(A)dans quelques exemples. Exemple1:caso`uApede`ssonvaleurs propres distinctes. On suppose que la matriceA M( )admetnveualprrsreoprse´leels< λλ <. . .λ <. R n1 2n ∈ 1 1. Justi erl’existence d’une matriceP M n ( )inversible telle queA=P DP − o`uD=diag(λ 1 , λ 2 , . . . , R ∈ 1 puis montrer queReed´errcanecirautenseA, si et seulement si la matriceS=P − RPest une racine carr´eedeD. 2.Racinescarre´esdeD. SoitSaricuenrre´enacesdeD. a. MontrerqueDS=S D. b.Ende´duirequelamatriceSest diagonale. 2 c. Onnote alorsS=diag(s ,. . . , svaut). Queslorsquei1, . . . , n? ∈ {} 1n i d. Quepeuton dire deRac(A) siAcietsertorrpueprevaletunadmivate?ntmeegn´ e. Sion suppose toutes lesvaleurs propres deAtiviseuopsoe´seacsrleerrrcaesind,sellunnimrete´ de la matriceDposer. On pourraε1,+1 pouri1, . . . , n. i ∈ {−} ∈{ } 3.Ecriretouteslesracinescarr´eesdeA`al’aidedelamatricePoCbmeidnrecaniserrcaes´e.Aadmet elle ?(On discutera selon le signe des valeurs propres deA). 11 55 −  − −  Application:Ecriretouteslesracinescarre´esdeAOn donnera explicitement= 53 3 5 33 lescoefficientsdessolutionstrouv´ees.   − Exemple 2 :cas ou`Aest la matrice nulle deM n ( ). R Danscetexemple,oncherchea`d´eterminerlesracinescarr´eesdelamatricenulle. SoitR M,)(nicarenur´eeecarmatrdelaluelcine. R n ∈