CCSE 2004 mathematiques 1 classe prepa mp

MATHÉMATIQUES I Filière MPMATHÉMATIQUES IAvertissementLes trois parties sont indépendantes. Le résultat final de la Partie I fournit unevaleur particulière de la fonction F étudiée dans les parties II et III.Partie I - Calcul de la somme d’une sérieI.A - I.A.1) Calculer, sous forme trigonométrique réelle, les coefficients de Fourierde la fonction 2 π -périodique impaire f : IR → IR , nulle en 0 et π , et égale à 1sur ]0, π[ . Pour tout entier n ≥ 0 , expliciter la somme partielle de Fourier S f denf .I.A.2) Que peut-on dire de la suite de fonctions ()S f ? En déduire la valeurnde∞ n()–1S = ---------------- .∑ 2n + 1n = 0I.A.3) Calculer ∞1S = ----------------------- .∑1 2()2n + 1n = 0I.B - I.B.1) Préciser le domaine d’existence dans IR de∞ 2nxLx()= ------------- . ∑ n + 1n = 0Exprimer Lx() à l’aide de fonctions usuelles.I.B.2) Calculer l’intégrale21 ln()1 – xI = ------------------------- dx .∫ 20 xI.B.3) En déduire la valeur de∞1S = --------------------------------------- .2 ∑()2n + 1()n + 1n = 0Concours Centrale-Supélec 2004 1/5MATHÉMATIQUES I Filière MPFilière MPI.B.4) Exprimer∞1S = ------------------------3 ∑ 21⎛⎞n = 1 nn – ---⎝⎠2en fonction de S et S . En déduire la valeur de S .1 2 3* * *Dans toute la suite, on utilise les notations qui suivent :• Pour tout réel t > 0 , lntt désigne le logarithme népérien de . 2• Si tz est un réel strictement positif et si =x+iy, où ()xy, ∈ IR , est un com-zplexe, on note t = exp()z ...