CND 2004 mathematiques specifique

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SESSION 2004 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique MATHEMATIQUES PARTIE II Durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. +∞2−xUn calcul de l’intégrale de Gauss, I = ed x ∫0 +∞2− xLe but du problème est de calculer l’intégrale de Gauss, I = ed x en utilisant une suite de ∫02− xfonctions qui converge vers x a e . Les deux premiers paragraphes sont indépendants, le troisième paragraphe utilise les résultats démontrés dans les deux paragraphes précédents. Questions préliminaires 1. Montrer que l’intégrale I est bien définie. 2. On définit sur 0,1 la fonction Ψ par Ψ()tt=+ln(1−t). [[a. Etudier les variations et le signe de Ψ . b. Donner le développement limité à l’ordre 2 en 0 de Ψ . I. Un équivalent des intégrales de Wallis et une application Pour tout entier naturel n, on définit la suite des intégrales de Wallis (I ) par : nπ2n I = sin xxd . n ∫0Tournez la page S.V.P. 2 3. Une relation de récurrence a. Calculer I et I . 0 1b. Justifier que (I ) est une suite de réels strictement positifs. nnc. ...

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  SESSION 2004 

CONCOURS NATIONAL DEUG _______________  Epreuve spécifique concours Physique   MATHEMATIQUES  PARTIE II   Durée : 2 heures

 Les calculatrices sontautorisées.  NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a été amené à prendre.    +∞ Un calcul de lintégrale de Gauss, I= ∫ e −x 2 dx 0 

Le but du problème est de calculer lintégrale de Gauss,

+∞ 2 = ∫ e −x dx en utilisant une suite de 0

2 fonctions qui converge versxae −x .  Les deux premiers paragraphes sontindépendants, le troisième paragraphe utilise les résultats démontrés dans les deux paragraphes précédents.   Questions préliminaires  1.Montrer que lintégraleIest bien définie.  2.On définit sur [ 0,1 [ la fonctionΨparΨ(t)=t+ln(1−t) . a.Etudier les variations et le signe deΨ. b.Donner le développement limité à lordre 2 en 0 deΨ.   I. Un équivalent des intégrales de Wallis et une application  Pour tout entier naturelndéfinit la suite des intégrales de Wallis, on  ( n  :) par π

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2 . n = ∫ sin n xdx 0

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