CND 2006 mathematiques specifique

Description

SESSION 2006 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique MATHEMATIQUES PARTIE II Durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. * * * Autour des fonctions Γ et ψ d’Euler Si l’on rentre sur un logiciel de calcul formel l’instruction : sum(1/(n^2- α^2), n=1..infinity); on obtient le résultat suivant : ψ11−α ψ +α( ) ( )−+. 22α α Un des objectifs du problème qui comporte trois paragraphes est de démontrer la formule correspondante suivante : +∞ ψ11+α −ψ −α( ) ( )1 = ∑22 2 αn −αn =1où α∈ 0,1 et ψ est une fonction « d’Euler » que l’on définira ultérieurement. ] [ Dans le paragraphe I, on définit la fonction Gamma d’Euler et on en montre quelques propriétés que l’on utilisera dans le paragraphe II pour définir la fonction ψ d’Euler et démontrer la formule ci-dessus. Enfin, dans le paragraphe III, on étudie plus en détail la fonction Gamma, dans le but de la représenter graphiquement. Les paragraphes II et III sont indépendants mais utilisent des résultats du paragraphe I. 1/3 1. Questions préliminaires 1a. Soit α∈ 0,1 , ...

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SESSION 2006 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique MATHEMATIQUES PARTIE II Durée : 2 heures Les calculatrices sontautorisées. NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. * * * Autour des fonctionsΓet d’Euler Si l’on rentre sur un logiciel de calcul formel l’instruction : sum(1/(n^2-α^2), n=1..infinity); on obtient le résultat suivant : 1− α ) ψ ( 1+ α ) 1 1 − +. 2α2α Un des objectifs du problème qui comporte trois paragraphes est de démontrer la formule correspondante suivante : +∞ ψ ( 1+ α ) − ψ1− α ) 1 ∑ 2 2 = 2α n − α n=1 oùα ∈0,1 [ etψest une fonction « d’Euler » que l’on définira ultérieurement. Dans le paragraphe I, on définit la fonction Gamma d’Euler et on en montre quelques propriétés que l’on utilisera dans le paragraphe II pour définir la fonctionψet démontrer la formule ci- d’Euler dessus. Enfin, dans le paragraphe III, on étudie plus en détail la fonction Gamma, dans le but de la représenter graphiquement. Les paragraphes II et III sont indépendants mais utilisent des résultats du paragraphe I.

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