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Composition d'analyse et probabilités 2006 Agrégation de mathématiques Agrégation (Externe)

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Concours de la Fonction Publique Agrégation (Externe). Sujet de Composition d'analyse et probabilités 2006. Retrouvez le corrigé Composition d'analyse et probabilités 2006 sur Bankexam.fr.
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´ Epreuve´ecritedanalyseetprobabilite´s
Notationsetde´nitions
Leprobl`emetraitedecertainespropri´ete´sconcernantlesracinesdepolynˆomesdontlescoe-cientssontal´eatoires. n naDuotsepscame`ee,leptlblroRnudiremasairescalduitupro´dleusueuqinonaci,snien X x= (x1, . . . , xn) ety= (y1, . . . , yn), parhx, yi=xkykraseeelcdieinnaessco´i.Lanormeeu k=1 p note´e||x||=hx, xi. n n1n1n `hpsaLnit´ereuedeRe´enatoserSitinnoraCpstee´.dS={xR,||x||= 1}. La n n n bouleunit´eferm´eedeRseranoee´tB={xR,||x||61}. n La mesure de Lebesgue surRest´eeranoλn, voireλreulnysidamapastie´ibugvalauslr den.   n n! coescLenibstneiesxuaimorontnot´es=On pourra aussi utiliser la nota-k k! (nk)! k tionC. n Si (un)n>0et (vn)n>0o,slee´rserbmonee(quitndtesdxsuitdeusonun(rim´neeapdost)evn), et on noteunO(vn) ou bienun=O(vn), s’il existe une constanteCtelle que|un|6C|vn| a`partirduncertainrang.
Partie I Asymptotiquedunombredez´eros
Onde´nitdanscettepartiepourt >0 etnNles trois fonctions   n t 2(n1 ++ 1) p n n2 2 An(t) =, Bn(t() = t)B(t). 2 2netδn(t) =An +2n t t+ 2nt 1 +1 n On admettra provisoirement queAn(t)>Bn(t) pour toutt >itla0d,´ceequigarantinitno deδn(t). Z +1. CalculerAn(t) dt. 1 2.Lesin´egalit´esdesquestions(a),(b)et(c)suivantessontdemande´espourtoutt >0. 2 B(t) n (a) Justifier que|δn(t)An(t)|6An(t) 1 1 (b) On poseϕn(t) = 2nMontrer queϕn(t)6+2 2 t 2t+ 2t 1 +1 n
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 !2  2n+2 2n 2 2 t t2t t 2 Nn(t) = 1 +1(n+ 1) 1 + + 2 n n n n  !2  2 2n+2 2 2t t t Dn(t+ 1 ) = +1 2 n n n
3. On pose
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2Nn(t) de sorte queδn(t) = pour toutt >0. Dn(t) 0 00 ` (a)Alaidedunde´veloppementlimit´e,d´eterminerlesvaleursdeNn(0), N(0), N(0). n n Ende´duirelint´egrabilit´edeδn(t) en 0.  2n t 2 (b)V´erierque1+6toute pour t[0,1]. n 3 On noteBl’ensemble des suites de fonctions (gn)n>1de classeCde [0,1] dansR, pour 0 00 000 les (t)|,|g(t)|(t)|soie quelles il existeMtel que|gn(t)|,|gn net|gns`asunitnoteiru´fre Mpour touttdans [0,1] et pour toutn>1. Montrer queBbr`epue,uenstlgeauqsi(eNn)n>1est dansB. Z 1 (c)D´eduiredesquestionspre´ce´dentesqueδn(t) dtO(n). 0 n 1 (n+ 1)t (a)V´erierque>0 pour toutt >1. 2 2n+2 t1t1 1 Onpourrautilisersansd´emonstrationlin´egalit´ex+>2 valable pour toutx >0. x (b)Ond´emontrerault´erieurementque s Z +2 2n 4 1 (n+ 1)t En=dt 2 2 2n+2 2 π1(t1) (t1)
0 (c)Ve´rierque|δn(t)An(t)|6(n+ 1)(t). n Z +(d)Ende´duirequelasuite|δn(t)An(t)|dtO(n) lorsquentend vers +. 1 Z +(e)D´eterminerune´quivalentsimpledeδn(t) dtlorsquentend vers +. 1
Agre´gationexternedemathe´matiques
Rapport du jury pour la session 2006
Analyseetprobabilit´es
estlenombremoyenderacinesre´ellesdunpolynˆomededegre´ndont les coefficients sontal´eatoires. x ` A l’aide du changement de variabletetdenalrenimretviuqe´nu=,d´e1+Enlorsque n ntend vers +.
4.
Agre´gationexternedemath´ematiques
Analyseetprobabilit´es
Rapport du jury pour la session 2006
Partie II Balayagesorthogonauxsurlasphe`re
II.A-Unemesureinvariantesurlasphe`re
Dans cette partie,nenunertistexe´(n>3).
n1 Onconstruitunemesuresurlasphe`reSsumeladeeet´ri´eh,gseueLeberedλn. Pour toute n1 partieASnoˆcgneerdneape´rnd,on´eleitAcomme l’ensemble   C=t.x t[0,1], xA .
λn(C) n1 LorsqueCest mesurable, on pose alorsλS(A) =On a en particulierλS(S) = 1. n λn(B) n1 Onadmetquelesimagesre´ciproquesdebore´liensdeRsertciitpraedrsons`aSde fonctions n mesurables surRsont mesurables.
Lapr´esencededessinsclairsseravivementappr´ecie´e.
1.V´erierquepourtouth >0 on a  n 2h n1n1 λSS([h, h]×[1,1] )6n λn(B)
n 2. Montrer queλSest invariante par rotation, i.e. pour toute rotation vectoriellerdeRet n1 pour toute partie mesurableASon aλS(r(A)) =λS(A). 3.Ond´enit,lorsque06α6β62π, lequartier de disqueΩα,βcomme l’ensemble   Ωα,β= (rcosθ, rsinθ)r[0,1], θ[α, β], n1 puis leequartierdesph`erQα,βcomme l’ensemble des points (x1, . . . , xn)Stels que (x1, x2)Ωα,β. 0 0 V´erierquelorsqueθetθsont positifs et queθ+θ62π, alors
λS(Q0+θ) =λS(Q0) +λS(Q0). 0 0
βα End´eduirequeλS(Qα,β) =2π
n1 Danstoutelasuiteduproble`me,lorsqueaetbsont deux points deS, on appelle longueur d’arc entreaetbiutqnaale´tL(abArc cos () = ha, bi).
n1 4. Soitaetbdeux points deS. Montrer l’existence d’une constanteKednaetindpe´end aetbtelle que
2 2 ||ba|| −K||ba||6L(ab)6||ba||+K||ba||.
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Agre´gationexternedemath´ematiques
Analyseetprobabilite´s
Rapport du jury pour la session 2006
n1 5.Onconside`reθ[0, π] et les deux points deSnied´arspa b= (cosθ,sinθ,0, . . . ,tincdeon0)etmrD.e´neofnireθe´tiaqlntua     n1 λSxShx, aihx, bi60.
= (1,0, . . . ,0) et
n1 Defa¸conge´n´erale,aetb´enttattceiofeic-sleuqqnocuesdansSireuqe,v´er     L(ab) n1 λSxShx, aihx, bi60 =π
II.B - Balayages orthogonaux
n1 Soitt7→γ(tge´r`ilucnofnoitsuienrueud)eernn´esegmentIRe`tvalaeursdansS. Pour n1 tout pointaSmbnoleitn´end,orohtgaseapsserednauxeogonapendant l’intervalle JIpar   NJ(a) = CardtJ aγ(t), lecardinale´tant`avaleurdansN∪ {+∞}rohtiaerlabegonoep´eayal.Larγest alors Z+X 1 a) dλ(a) =k AI=NI(SS(NI(k)). n1 aS k=0
Onadmetlamesurabilite´desfonctionsNJ.
2 Onseplaceicidanslecaso`uγest de classeCsurIet qu’il existeMRtel que pour presque n10 0 00 00 toutaS,NI(a)6M. Par ailleurs, on note||γ||= sup||γ(t)||et||γ||= sup||γ(t)||. tI tI
n1 1. SoitaSeth >0. (a) Montrer que siha, γ(t)iha, γ(t+h)i60, alorsN[t,t+h](a)>1. (b)V´erierquesiN[t,t+h](a)>2, alors on peut trouvercdans [t, t+h] tel queasoit 0 orthogonal`aγ(c).Eqeeuduirnd´e
2.
200 |ha, γ(t)i|6h||γ||.
(c)Montrerlamˆemeine´galit´elorsquelonaha, γ(t)iha, γ(t+h)i>0 etN[t,t+h](a)>1. (a)De´duiredesre´sultatspr´ec´edentsquelesquantite´ssuivantespeuventˆetremajore´es 2 paruntermeproportionnela`htpandease´dednepntet:   L(γ(t)γ(t+h))||γ(t)γ(t+h)|| 1 i)λSN(1)ii)A[t,t+h] [t,t+h] π π Z 1 0 (b)V´erieralorsqueAI=||γ(t)||dt. πI
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