Composition d'analyse et probabilités 2006 Agrégation de mathématiques Agrégation (Externe)

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Concours de la Fonction Publique Agrégation (Externe). Sujet de Composition d'analyse et probabilités 2006. Retrouvez le corrigé Composition d'analyse et probabilités 2006 sur Bankexam.fr.

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• 2006

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 31 mars 2008
• Nombre de lectures: 97
• Langue: Français

Extrait

´ Epreuve´ecrited’analyseetprobabilite´s

Notationsetde´finitions

Leprobl`emetraitedecertainespropri´ete´sconcernantlesracinesdepolynˆomesdontlescoeffi- cientssontal´eatoires. n •naDuotsepscame`e’e,leptlblroRnudiremasairescalduitupro´dleusueuqinonaci,sniefi n X x= (x 1 , . . . , x n ) ety= (y 1 , . . . , y n ), parhx, yi=x k y k raseeelcdieinnaessco´i.Lanormeeu k=1 p note´e||x||=hx, xi. n n−1n−1n •`hpsaLnit´ereuedeRe´enatoserSitinnor’aCpstefie´.dS={x∈R,||x||= 1}. La n n n bouleunit´eferm´eedeRseranoee´tB={x∈R,||x||61}. n •La mesure de Lebesgue surRest´eeranoλ n , voireλreuln’ys’id’amapastie´ibugvalauslr den.   n n! •fficoescLenibstneiesxuaimorontnot´es=∙On pourra aussi utiliser la nota- k k! (n−k)! k tionC. n •Si (u n ) n>0 et (v n ) n>0 o,slee´rserbmonee(quitndtesdxsuitdeusonu n (rim´neeapdost)ev n ), et on noteu n ∈O(v n ) ou bienu n =O(v n ), s’il existe une constanteCtelle que|u n |6C|v n | a`partird’uncertainrang.

Partie I Asymptotiquedunombredez´eros

∗ Onde´finitdanscettepartiepourt >0 etn∈Nles trois fonctions   n t 2 (n1 ++ 1) p n n 2 2 A n (t) =, B n (t() = t)−B(t). 2   2n etδ n (t) =A n +2 n t t+ 2nt 1 +−1 n On admettra provisoirement queA n (t)>B n (t) pour toutt >itla0d,´ceefiquigarantinitno deδ n (t). Z +∞ 1. CalculerA n (t) dt. 1 2.Lesin´egalit´esdesquestions(a),(b)et(c)suivantessontdemande´espourtoutt >0. 2 B(t) n (a) Justifier que|δ n (t)−A n (t)|6∙ A n (t) 1 1 (b) On poseϕ n (t) =   2n ∙Montrer queϕ n (t)6∙ +2 2 t 2t+ 2t 1 +−1 n

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 ! 2   2n+2   2n   2 2 t t2t t 2 N n (t) = 1 +−1−(n+ 1) 1 + + 2 n n n n  ! 2   2   2n+2 2 2t t t D n (t + 1 ) = +−1 2 n n n

3. On pose

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2 N n (t) de sorte queδ n (t) = pour toutt >0. D n (t) 0 00 ` (a)Al’aided’unde´veloppementlimit´e,d´eterminerlesvaleursdeN n (0), N(0), N(0). n n Ende´duirel’int´egrabilit´edeδ n (t) en 0.   2n t 2 (b)V´erifierque1+6toute pour t∈[0,1]. n 3 On noteBl’ensemble des suites de fonctions (g n ) n>1 de classeCde [0,1] dansR, pour 0 00 000 les (t)|,|g(t)|(t)|soie quelles il existeMtel que|g n (t)|,|g n n et|g n s`asunitnoteiru´fre Mpour touttdans [0,1] et pour toutn>1. Montrer queBbr`epue,uenstlgeauqsi(eN n ) n>1 est dansB. Z 1 (c)D´eduiredesquestionspre´ce´dentesqueδ n (t) dt∈O(n). 0 n 1 (n+ 1)t (a)V´erifierque−>0 pour toutt >1. 2 2n+2 t−1t−1 1 Onpourrautilisersansd´emonstrationl’in´egalit´ex+>2 valable pour toutx >0. x (b)Ond´emontrerault´erieurementque s Z +∞ 2 2n 4 1 (n+ 1)t E n =−dt 2 2 2n+2 2 π 1 (t−1) (t−1)

0 (c)Ve´rifierque|δ n (t)−A n (t)|6−(n+ 1)tϕ(t). n Z +∞ (d)Ende´duirequelasuite|δ n (t)−A n (t)|dt∈O(n) lorsquentend vers +∞. 1 Z +∞ (e)D´eterminerune´quivalentsimpledeδ n (t) dtlorsquentend vers +∞. 1

Agre´gationexternedemathe´matiques

Rapport du jury pour la session 2006

Analyseetprobabilit´es

estlenombremoyenderacinesre´ellesd’unpolynˆomededegre´ndont les coefficients sontal´eatoires. x ` A l’aide du changement de variabletetdenalrenimretviuqe´nu=,d´e1+E n lorsque n ntend vers +∞.

4.

Agre´gationexternedemath´ematiques

Analyseetprobabilit´es

Rapport du jury pour la session 2006

Partie II Balayagesorthogonauxsurlasphe`re

II.A-Unemesureinvariantesurlasphe`re

Dans cette partie,nenunertistexfie´(n>3).

n−1 Onconstruitunemesuresurlasphe`reSsumeladeeet´ri´eh,gseueLeberedλ n . Pour toute n−1 partieA⊂Snoˆcgneerdneape´rnd,ofin´eleitAcomme l’ensemble    C=t.x t∈[0,1], x∈A .

λ n (C) n−1 LorsqueCest mesurable, on pose alorsλ S (A) =∙On a en particulierλ S (S) = 1. n λ n (B) n−1 Onadmetquelesimagesre´ciproquesdebore´liensdeRsertciitpraedrsons`aSde fonctions n mesurables surRsont mesurables.

Lapr´esencededessinsclairsseravivementappr´ecie´e.

1.V´erifierquepourtouth >0 on a   n 2h n−1n−1 λ S S∩([−h, h]×[−1,1] )6∙ n λ n (B)

n 2. Montrer queλ S est invariante par rotation, i.e. pour toute rotation vectoriellerdeRet n−1 pour toute partie mesurableA⊂Son aλ S (r(A)) =λ S (A). 3.Ond´efinit,lorsque06α6β62π, lequartier de disqueΩ α,β comme l’ensemble    Ω α,β = (rcosθ, rsinθ)r∈[0,1], θ∈[α, β], n−1 puis leequartierdesph`erQ α,β comme l’ensemble des points (x 1 , . . . , x n )∈Stels que (x 1 , x 2 )∈Ω α,β . 0 0 V´erifierquelorsqueθetθsont positifs et queθ+θ62π, alors

λ S (Q 0,θ+θ ) =λ S (Q 0,θ ) +λ S (Q 0,θ ). 0 0

β−α End´eduirequeλ S (Q α,β ) =∙ 2π

n−1 Danstoutelasuiteduproble`me,lorsqueaetbsont deux points deS, on appelle longueur d’arc entreaetbiutqnaale´tL(abArc cos () = ha, bi).

n−1 4. Soitaetbdeux points deS. Montrer l’existence d’une constanteKednaetindpe´end aetbtelle que

2 2 ||b−a|| −K||b−a||6L(ab)6||b−a||+K||b−a||.

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Agre´gationexternedemath´ematiques

Analyseetprobabilite´s

Rapport du jury pour la session 2006

n−1 5.Onconside`reθ∈[0, π] et les deux points deSniefid´arspa b= (cosθ,sinθ,0, . . . ,tincdeon0)etmrD.e´neofnireθe´tiaqlntua     n−1  λ S x∈Shx, aihx, bi60.

= (1,0, . . . ,0) et

n−1 Defa¸conge´n´erale,aetb´enttattceiofeic-sleuqqnocuesdansSfiireuqe,v´er     L(ab) n−1  λ S x∈Shx, aihx, bi60 =∙ π

II.B - Balayages orthogonaux

n−1 Soitt7→γ(tge´r`ilucnofnoitsuienrueud)eernfin´esegmentI⊂Re`tvalaeursdansS. Pour n−1 tout pointa∈Smbnoleitfin´end,orohtgaseapsserednauxeogonapendant l’intervalle J⊂Ipar    N J (a) = Cardt∈J a⊥γ(t), lecardinale´tant`avaleurdansN∪ {+∞}rohtiaerlabegonoep´eayal.L’arγest alors Z +∞ X −1 a) dλ(a) =k A I =N I ( S .λ S (N I (k)). n−1 a∈S k=0

Onadmetlamesurabilite´desfonctionsN J .

2 Onseplaceicidanslecaso`uγest de classeCsurIet qu’il existeM∈Rtel que pour presque n−10 0 00 00 touta∈S,N I (a)6M. Par ailleurs, on note||γ|| ∞ = sup||γ(t)||et||γ|| ∞ = sup||γ(t)||. t∈I t∈I

n−1 1. Soita∈Seth >0. (a) Montrer que siha, γ(t)iha, γ(t+h)i60, alorsN [t,t+h] (a)>1. (b)V´erifierquesiN [t,t+h] (a)>2, alors on peut trouvercdans [t, t+h] tel queasoit 0 orthogonal`aγ(c).Eqeeuduirnd´e

2.

200 |ha, γ(t)i|6h||γ|| ∞ .

(c)Montrerlamˆemeine´galit´elorsquel’onaha, γ(t)iha, γ(t+h)i>0 etN [t,t+h] (a)>1. (a)De´duiredesre´sultatspr´ec´edentsquelesquantite´ssuivantespeuventˆetremajore´es 2 paruntermeproportionnela`htpandease´dednepntet:   L(γ(t)γ(t+h))||γ(t)−γ(t+h)|| −1 i)λ S N(1)−ii)A [t,t+h] −   [t,t+h] π π Z 1 0 (b)V´erifieralorsqueA I =||γ(t)||dt. π I

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