Composition de Mathématiques 2003 Classe Prepa PC Ecole de l

Composition de Mathématiques 2003 Classe Prepa PC Ecole de l'Air

Français
5 pages
Lire
Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement

Description

Examen du Supérieur Ecole de l'Air. Sujet de Composition de Mathématiques 2003. Retrouvez le corrigé Composition de Mathématiques 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

Informations

Publié par
Publié le 28 février 2007
Nombre de lectures 124
Langue Français
Signaler un problème
ANNEE 2003
CONCOURS D’ADMISSION
A
L’ECOLE DE L’AIR
CONCOURS PC/PSI
COMPOSITION
DE
MATHEMATIQUES
Durée : 4 heures
Coefficient : 13
L’attention des candidats est attirée sur le fait
que la notation tiendra compte du soin et de la
rigueur apportés dans le travail.
Nota :Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler
une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu’il a été amené à prendre.
T.S.V.P.
2/5
Le sujet est constitué de deux problèmes indépendants que le candidat pourra traiter dans
un ordre indifférent.
PROBLÈME 1
1.
On considère dans cette question la suite (
u
n
)
n
IN*
définie pour tout entier
n
1 par :
u
n
=
1.3….(2
n
– 1)
2.4…(2
n
)
=
=
-
n
k
k
k
1
2
1
2
(a)
On pose, pour tout entier naturel
n
1,
v
n
=
n
u
n
.
Montrer que la suite (
v
n
)
n
IN*
est croissante.
(b)
Étudier la nature de la série de terme général
w
n
= ln
v
n
+1
v
n
pour
n
IN*.
(c)
Démontrer que la suite (
v
n
)
n
IN*
est convergente. On note
L
sa limite.
Comparer, pour tout entier
n
IN*, les réels
u
n
et
L
n
.
2.
On considère dans cette question la fonction
ϕ
:
x
ϕ
(
x
) = 1 –
x
pour
x
[
]
0, 1 .
(a)
Déterminer la dérivée d’ordre
n
de
ϕ
:
x
ϕ
(
n
)
(
x
) pour
x
[0, 1[.
(b)
Soit
x
[0, 1[. La formule de Taylor avec reste intégrale appliquée à
ϕ
sur [0,
x
]
s’exprime sous la forme
ϕ
(
x
) =
P
n
(
x
) +
R
n
(
x
) où
P
n
est une fonction polynomiale
de degré
n
et
R
n
(
x
) =
1
n
!
0
x
(
x
t
)
n
ϕ
(
n
+1)
dt
Exprimer les coefficients de
P
n
en fonction de
n
. Donner la valeur de
P
4
.
(b)
Démontrer la majoration
2200
x
[0, 1[,
R
n
(
x
)
1
2
u
n
0
x
(1 –
t
)
–1/2
dt
On pourra remarquer que
x – t
1 –
t
.
En déduire que
2200
x
[0, 1[,
R
n
(
x
)
u
n
(c)
Démontrer que la suite de fonctions polynomiales (
P
n
)
n
IN*
converge
uniformément sur [0, 1] vers la fonction
ϕ
.
Dans la question suivante, on note
Q
n
le polynôme tel que
Q
n
(
x
) =
P
n
(1 –
x
2
)
(d)
Soit
ε
un réel strictement positif et
M
une constante strictement positive.
Démontrer que si l’entier naturel
N
vérifie :
N
L
2
M
2
ε
2
, alors
2200
x
[–1, 1],
x
Q
N
(
x
)
ε
M
3/5
3.
On considère dans toute la suite du problème 1 une fonction
f
continue sur
[0, 1]
et
ε
un réel strictement positif.
On admet qu’ il existe un entier naturel
n
2 tel que
2200
(
x
,
y
)
[0, 1],
x
y
<
1
n
f
(
x
) –
f
(
x
)
<
ε
Dans la suite du problème 1,
n
désigne l’entier ainsi défini.
(a)
Soit
g
la fonction telle que
2200
k
IN, 0
k
n
,
g
k
n
=
f
k
n
et
g
est affine sur chacun des intervalles [
k
n
,
k
+ 1
n
], 0
k
n
– 1
Déterminer l’expression de
g
(
x
) lorsque
k
n
x
k
+ 1
n
.
(b)
Démontrer que
2200
x
[0, 1],
g
(
x
) –
f
(
x
)
<
ε
. On pourra remarquer que l’on peut
écrire
g
(
x
) sous la forme
g
(
x
) =
α
f
k
n
+ (1 –
α
)
f
k
+ 1
n
3.
Dans cette question, on considère pour
n
IN*, les matrices
A
n
+1
M
n
+1
(IR) :
A
n
+1
=
0 1
2 … …
n
1 0
1
2 1
0
1 2
1
0 1
n
… …
2
1 0
de terme général
(
)
a
i, j
=
i
j
1
i, j
n+
1
et
B
n
+1
M
n
+1
(IR) de terme général :
b
i, i
= –1 si
i
1 et
i
n
+1
b
1, 1
=
b
n
+1,
n
+1
=
1 –
n
2
n
si
i
j
=1 alors
b
i, j
=
1
2
b
1,
n
+1
=
b
n
+1, 1
=
1
2
n
b
i, j
= 0 dans tous les autres cas
On admettra que
A
n
+1
est inversible et que
A
n
1
1
-
+
=
B
n
+1
: ce résultat est démontré en partie
à la question 6.
(a)
Soit
E
n
+1
l’espace vectoriel des fonctions
g
définies sur [0, 1] à valeurs dans IR
telles que
g
soit affine sur chacun des intervalles [
k
n
,
k
+1
n
], 0
k
n
– 1.
Soit d’autre part
Φ
l’application de
E
n
+1
dans IR
n
+1
telle que
2200
g
E
n
+1
,
Φ
(
g
) =
g
k
n
0
k
n
Démontrer que
Φ
est un isomorphisme de
E
dans IR
n
+1
et expliciter l’ unique
fonction
g
α
E
n
+1
telle que
Φ
(
g
) = (
a
0
,
a
1
, … ,
a
n
) où
α
= (
a
0
,
a
1
, … ,
a
n
)
IR
n
+1
.
4/5
(b)
Pour tout entier
j
, 0
j
n
, on note
f
i
E
n
+1
l’application
t
f
j
(
t
) =
t –
j
n
Montrer que la famille (
f
j
)
0
j
n
est une base de
E
n
+1
: on pourra par exemple
expliciter la matrice de la famille des vecteurs (
Φ
(
f
j
))
0
j
n
, dans la base
canonique de IR
n+
1
.
(c)
Soit
α
= (
a
0
,
a
1
,… ,
a
n
)
IR
n
+1
et
g
α
E
n
+1
la fonction définie à la question 4°a),
telle que
2200
k
{0, 1, … ,
n
},
g
α
k
n
=
a
k
.
Démontrer qu’ il existe
n
+1 réels
λ
0
,
λ
1
, … ,
λ
n
tels que
2200
x
[0, 1],
g
α
(
x
) =
k
= 0
n
λ
k
f
k
(
x
)
Déterminer la valeur des coefficients
λ
k
, 0
k
n
en fonction de (
a
0
,
a
1
, … ,
a
n
).
4.
La lettre
g
désigne dans cette question la fonction étudiée à la question 3°a) et
Q
N
le
polynôme obtenu à la question 2°e) pour la valeur
ε
0 et la valeur
M
=
k = 0
n
λ
k
.
(a)
Déterminer
α
IR
n
+1
tel que
g
=
g
α
.
En déduire à l’aide de
f
la valeur des coefficients
λ
k
, 1
k
n
– 1, obtenus à la
question 4°c).
(b)
On pose
2200
x
[0, 1],
R
(
x
) =
k =
0
n
λ
k
Q
N
x
k
n
Démontrer que
[
]
sup
1
0,
x
f
(
x
) –
R
(
x
)
2
ε
(c)
Quel théorème vient-on ainsi de démontrer ?
5.
On revient sur la matrice
A
n
+1
étudiée à la question 4.
Calculer det(
A
n
+1
) en fonction de
n
: on effectuera les opérations suivantes :
pour
i
allant de
n
+1 à 2 remplacer la ligne
L
i
par la ligne
L
i
L
i–1
pour
j
allant de 2 à
n
+1 remplacer la colonne
C
j
par la colonne
C
j
+
C
1
.
En déduire que
A
n
+1
est inversible.
5/5
PROBLÈME 2
Dans ce problème on se propose d’étudier la fonction
f
qui au réel
x
0 associe
f
(
x
) =
[0, 2
π
[
sin
t
4
x
2
t
2
dt
1.
Soit
x
0 fixé. Démontrer que la fonction
t
h
(
t
) =
sin
t
4
x
2
t
2
est intégrable sue [0, 2
π
[.
2.
Montrer que
2200
x
0,
f
(
x
) =
0
π
/2
sin(2
x
.sin(
v
))
dv
.
3.
Montrer que la fonction
f
admet un prolongement continu sur [0, +
[, que l’on notera
toujours
f
, et que cette fonction est de classe
C
sur [0, +
[.
Préciser
f
(
n
)
(
x
) en fonction de
n
et de
x
sous forme d’une intégrale que l’on ne calculera
pas.
4.
On admet que
f
(2
n
)
(0) = 0 et
f
(2
n
+1)
(0) = (–1)
n
2
4
n
+1
(n !)
2
(2
n
+1) !
(a)
Déterminer la série de Taylor de
f
au point
x
= 0 sous la forme
n
=0
+
a
2
n
+1
x
2
n
+1
et
calculer son rayon de convergence.
(b)
Démontrer que pour
x
fixé, la série
k
= 0
+
a
2
k
+1
x
2
k
+1
est alternée, et que la suite
a
2
k
+1
x
2
k
+1
est décroissante dès que
k
x
3
2
.
(c)
Les réels
x
0,
ε
0 étant fixés, écrire dans le langage informatique de votre
choix, une suite d’ instructions qui fournit une valeur approchée à
ε
près de
f
(
x
) à
l’ aide de la suite
s
n
(
x
) =
k
=0
n
a
2
k+
1
x
2
k
+1
.
On commencera par déterminer la valeur de
n
en fonction
ε
.
5.
Montrer que pour tout entier naturel
p
et tout entier naturel
k
tel que 0
k
p
– 1, on a :
[2
k
π
,
2
k
π
+2
π
]
sin
t
4
p
2
π
2
t
2
dt
<
0
En déduire le signe de
f
(
p
π
).
6.
Déterminer pour tout entier naturel
p
le signe de
f
(
p
π
+
π
2
) et en déduire que
f
s’annule
une infinité de fois sur [0, +
[.