Composition de physique - option physique 2003 Agrégation de sciences physiques Agrégation (Externe)

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Concours de la Fonction Publique Agrégation (Externe). Sujet de Composition de physique - option physique 2003. Retrouvez le corrigé Composition de physique - option physique 2003 sur Bankexam.fr.

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• 2003

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 30 octobre 2009
• Nombre de lectures: 179
• Langue: Français

Extrait

1

CHAMPS ELECTROMAGNETIQUES ET TELECOMMUNICATIONS

Ce sujet comporte trois parties indépendantes : -PARTIE A : Electromagnétisme et relativité, - PARTIE B : Rayonnement dipolaire et applications,  -PARTIE C : Propagation guidée, fibres optiques.

Chaque partie comporte de nombreuses questions indépendantes. Le candidat peut utiliser un résultat donné par le texte, même sil na pas été démontré.

Les vecteurs sont notés en gras.

Des données utiles à la résolution de certaines questions sont regroupées au début du problème.

La plus grande importance sera donnée à la qualité de la rédaction et de la présentation.

Si au cours de lépreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur dénoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives quil est amené à prendre. 

•  •  • 

•  •  • •

rot(fG)=frotG+gradf∧G rot(rotG)= −∆G+grad(divG) div(fG)=f divG+gradf .G

Données générales

Données relatives à la PARTIE B

masse de lélectron : m e = 9,1.10 -31 kg charge de lélectron : -e = -1,6.10 -19 C vitesse de la lumière dans le vide : c = 3,0.10 8 m.s -1 perméabilité magnétique du vide :µ o = 4π.10 -7 H.m -1

2

•

• 

• 

• 

• 

Données relatives à la PARTIE C

a∧(b∧c)=(a.c)b−(a.b)c

coordonnées cylindriques :

x

z

ϕ

r

figure 1

M

e z

z

e ϕ

e r

y

f (r, )= ∂ 2  1 f 1  f ∂f Laplacien en coordonnées cylindriques : ∆ϕ ∂r 2 + r ∂ ∂r + r 2 ∂ϕ 2 2

fonction de Bessel de première espèce dordre m : J m (x) pour m entier naturel. ƒelle vérifie léquation différentielle suivante : d 2 dx J 2 m (x) + d 1 x Jd m (x) x +    1− m x 2 2    J m (x)=0 ƒcomportement au voisinage de 0 : J o (0)=1 et J m (0)=0 pour m≥1. o ) ƒ d Jd(x = −J 1 (x) . x ƒtableau des premières solutions de léquation J o (x)=0 sur ] 0; +∞ [ :

2,405

5,520

8,654

11,792

14,931

fonction de Bessel modifiée de seconde espèce dordre m : K m (x) pour m entier naturel. elle vérifie léquation différentielle suivante : ƒ d 2  (x)  1  dKK (x) d m 2 + d m−    1+ x m 2 2    K m (x)=0 . x x x ƒcomportement au voisinage de linfini : K m (x) x  →+  ∞ →0 . ƒ K m (x) ne sannule pas sur ] 0; +∞ [ . dK o (x − ƒ dx ) =K 1 (x) .

3

PARTIE A : Electromagnétisme et relativité.

Cette partie traite des difficultés liées à lutilisation simultanée des lois de lélectromagnétisme et de la mécanique classique de Newton. Elle étudie ensuite comment la transformation de Lorentz-Poincaré et lutilisation de la mécanique relativiste dEinstein permettent de lever ces difficultés.

On considère un référentielgaliléen R , il est rapporté à trois axes orthogonaux Ox, Oy, Oz. ( e x , e y , e z  désigne par t le temps dans On) est la base orthonormée directe associée. R , ainsi un événement est repéré dans R est la vitesse de la lumière dans le vide.par (x,y,z,ct) où c

1. Les équations de Maxwell.

Létude est conduite dans R , on note E et B les champs électrique et magnétique, ρ la densité de charge volumique et j le vecteur densité de courant volumique.

1.1.Rappeler la définition dun référentiel galiléen.

On rappelle les quatre équations de Maxwell reliant E , B , j et ρ : divB=0  ( flux magnétique ) rotE=− ∂ t B ( Maxwell-Faraday ) ∂ E ρ = ( Maxwell-Ga ) rotB j ∂E ( Maxwell-Ampère ) div ε o uss = µ o + ε o µ o ∂t

1.2.Potentiels.

1.2.1.Rappeler les expressions des champs E , B en fonction des potentiels vecteur A et scalaire V et justifier lexistence de ces potentiels.

1.2.2.En déduire le système de deux équations aux dérivées partielles liant A ,V, j et ρ .

∂ 1.2.3.imposer la condition de jauge de Lorentz :On admet que lon peut divA+ 1 2 V =0 . c ∂t Ecrire, dans ce cas, les deux équations de la questionA.1.2.2.

On considère désormais un second référentielgaliléen R en translation rectiligne uniforme à la vitesse v e =v e e x par rapport à R . Son origine O est située sur laxe Ox, ses trois axes Ox,Oy,Oz sont respectivement parallèles aux axes Ox, Oy, Oz. On désigne par t le temps dans R , ainsi un événement est repéré dans R  Enfinpar (x,y,z,ct).0, les origines O et O de si t = t =  R et R coïncident.

2. Les lois de lélectromagnétisme en mécanique newtonienne.

Dans cette partie A.2., létude est conduite dans le cadre de la mécanique newtonienne.

2.1. Transformation « classique » des champs.

2.1.1.

Dans le référentiel R ,rappeler lexpression de la force de Lorentz F exprimant laction du champ électromagnétique E , B chargée test de charge q animée dunesur une particule vitesse v dans R.

4

2.1.2.

2.1.3.

2.2.

2.2.1.

Expliciter la formule de transformation des vitesses reliant la vitesse v'  particulede la chargée test dans R , à v et v e .

Dans le référentiel R électromagnétique précédent est caractérisé par les champs, le champ électrique et magnétique E' , B'  utilisant les questions précédentes, exprimer les vecteurs. En E , B en fonction des vecteurs E' , B' et v e .

Expliciter la transformation de Galilée reliant (x,y,z,ct) à (x,y,z,ct).

On établit alors les 4 équations formelles, que lon admettra, reliant les différentes dérivées partielles : ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ v e ∂ = = = = −  . ∂x∂x'∂y∂y'∂z∂z'c∂t c∂t'c∂x'

2.2.2.place dans un domaine de lespace où la densité de charge volumique et le vecteurOn se densité de courant volumique sont nuls.

2.3.

2.2.2.α.Montrer que léquation de Maxwell relative au flux magnétique est invariante par changement de référentiel galiléen.

2.2.2.β.Etudier de même linvariance de léquation de Maxwell-Gauss.

2.2.2.γ.Que peut-on conclure ?

On considère un fil rectiligne uniformément chargé de grande dimension, coïncidant avec les axes Ox et Ox. Il est fixe dans le référentiel R donc animé dans le référentiel R dun mouvement de translation rectiligne uniforme à la vitesse v e =v e e x . On noteλ o la densité linéique de charge mesurée dans R .

2.3.1.

2.3.2.

2.3.3.

Déterminer, en un point quelconque situé en dehors de laxe, les champs électrique et magnétique E' , B' créés par le fil dans le référentiel R .

En utilisant la loi de la transformation classique des champs établie à la questionA.2.1.3. , exprimer, en un point quelconque situé en dehors de laxe, les champs E , B créés par le fil dans le référentiel R .

En se plaçant toujours dans le cadre de la mécanique newtonienne,évaluerdirectementla valeur du champ magnétique B dans le référentiel R .

2.3.4.Que peut-on conclure ?

3. Les lois de lélectromagnétisme en mécanique relativiste.

Dans cette partie A.3., létude est conduite dans le cadre de la mécanique relativiste.

Un champ électromagnétique est caractérisé par ( E , B ) les champs électrique et magnétique mesurés dans le référentiel R , et ( E' , B' ) les champs électrique et magnétique mesurés dans le référentiel R .

5

v On pose β e =e et γ e = c

champs :

1 1−β 2 e

, on rappelle lexpression de la transformation einsteinienne des

E // =E' // , E ⊥ =γ e ( E' ⊥ −v e ∧B' ⊥ ) , B // =B' // , B ⊥ =γ e    B' ⊥ + v 2 e ∧E' ⊥     .  c Lindice // représente les champs parallèles à la direction définie parv e , lindice⊥représente les champs perpendiculaires àv e . On a ainsi E=E // +E ⊥ et B=B // +B ⊥ .

3.1.

3.1.1.Enoncer le principe de relativité dEinstein.

3.1.2.transformation de Lorentz-Poincaré reliant (x,y,z,ct) à (x,y,z,ct).Expliciter la

On établit alors les 4 équations formelles, que lon admettra, reliant les différentes dérivées partielles : = γ − + ∂ ∂ x = γ e    ∂ ∂ x' − β e c∂ ∂ t'     ∂ ∂y = ∂ ∂y'∂ ∂ z = ∂ ∂z'  ∂∂ β  ∂    c∂t e e ∂x'c∂t' .

3.1.3.place dans un domaine de lespace où la densité de charge volumique et le vecteurOn se densité de courant volumique sont nuls. Onadmetque les équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère sont invariantes par changement de référentiel galiléen.

3.2.

3.1.3.α.précédentes, montrer que léquation de Maxwell relative auEn utilisant les questions flux magnétique est invariante par changement de référentiel galiléen.

3.1.3.β.Etudier de même linvariance de léquation de Maxwell-Gauss.

3.1.3.γ.Comparer cette situation avec celle de la questionA.2.2.2.β.

On étudie à nouveau le fil rectiligne chargé de la questionA.2.3.

3.2.1.Déterminer, en un point quelconque situé en dehors de laxe, les champs électrique et magnétique E' , B' créés par le fil dans le référentiel R .

3.2.2.

3.2.3.

En utilisant la loi de la transformation einsteinienne des champs, déterminer, en un point quelconque situé en dehors de laxe, les champs E , B créés par le fil dans le référentiel R .

3.2.3.α.Déterminer, à laide du théorème de Gauss appliqué dans R , la charge portée par une longueur h du fil, mesurée dans le référentiel R .

3.2.3.β.à partir des résultats de la cinématique relativiste.Retrouver la valeur de cette charge

3.2.3.γ.Evaluer alors directement la valeur du champ magnétique B dans le référentiel R.

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PARTIE B : Rayonnement dipolaire et applications.

La partie B aborde la production dune onde électromagnétique par un dipôle électrique oscillant. Une première application concerne létude dune antenne émettrice en liaison avec la téléphonie mobile, une seconde aborde la diffusion dun rayonnement par un atome.

On nomme R un référentielgaliléenrapporté à trois axes orthogonaux Ox, Oy, Oz. ( e x , e y , e z ) est la base orthonormée directe associée. On note j le complexe tel que j 2 = −1 .

1. Etude du rayonnement du dipôle électrique.

On considère un doublet constitué de deux charges ponctuelles de charges opposées +q et -q. La charge -q est fixe et placée en O ; la charge +q est mobile sur laxe des z suivant la loi z(t)=a sin(ωt) ; a etωreprésentent respectivement lamplitude et la pulsation des oscillations. Lensemble constitue un dipôle variable qui crée dans le vide une onde électromagnétique de pulsation ωen un point M repéré par les coordonnées sphériques ( r,θ,ϕ) ; ( e r ,e θ ,e ϕ ) désignent les vecteurs unitaires associés. La figure 2 précise le repérage du point M. z

x

+ q -q

On se place dans les conditions où électromagnétique émise.

1.1.Potentiels

1.1.1.

1.1.2.

O

ϕ

θ

>>a

r

figure 2

M

e r

e ϕ

e θ

y

et λ>>a ;λest la longueur donde associée à londe

1.1.1.α.Commenter qualitativement les deux inégalités : >>a et λ>>a .

1.1.1.β.Exprimer le moment dipolaire électrique p=p(t)e z associé au doublet (-q,+q). & )( r pt − On admet lexpression du potentiel vecteur t= µ o où  A(M, t) en M : A  4 (M, ) π c e z & p(t)= dp  la présence du terme en. Interpréter t− r dans lexpression de A(M, t) . dt c

7

1.1.3.

Déterminer lexpression du potentiel scalaire en utilisant la condition de jauge de Lorentz : divA+ 1 c 2 ∂ ∂ V t =0  et en ne conservant que les termes qui contiennent t− r c .

1.2. Champs.

On conduit létude dans la zone de rayonnement : r>> λ .

1.2.1.Etablir que le champ magnétique B(M, t) sécrit dans ce domaine : µ B(M, t)= c4 1 π o & p & (t−) c r ( e z ∧e r )  pourra par exemple utiliser la formule :. On rot(fG)=frotG+gradf∧G .

1.2.2.

1.2.3.

Etablir de même que le champ électrique E(M, t) vaut : & p & (t− r ) o c E(M, t)= 4 µ π (e z ∧e r )∧e r .

Décrire qualitativement la structure locale de cette onde électromagnétique.

1.3. Aspect énergétique.

1.3.1.que lexpression de la puissance rayonnée au voisinage du point M, par unité dangleMontrer solide dans la direction définie par les angles (θ,ϕ) sécrit : d d Ω P = 61 µ π o 2 c    & p & (t−) r c    2 sin 2 θ , avec d sin dθdϕ .

1.3.2.

1.3.3.

Donner lallure du diagramme de rayonnement.

Déterminer lexpression de la puissance totale rayonnée par ce dipôle à travers la sphère de centre O et de rayon r>> λ . On rappelle que π ∫ 0 sin 3 θdθ = 4 3 .

2. Rayonnement par une antenne.

2.1. Antenne élémentaire.

2.1.1.Justifier que le dipôle variable est équivalent, pour létude du champ dans la zone de rayonnement, à un élément de courant de hauteur h = 2a parcouru par un courant dintensité . I(t)= dp h 1 dt

2.1.2.

2.1.3.

On suppose que I=I 0 cos(ωt)  la puissance. Déterminermoyennetotale P r rayonnée par ce dipôle à travers la sphère de centre O et de rayon r>> λ . I 2 On définit la résistance de rayonnement R r par la relation P r =R r 2 0  lexpression. Donner de R r en fonction deµ o , c , h etλ lintérêt de cette notion.. Expliquer

8

9

y

r

z

2.2.2.Structure des champs.

2.2.2.α.Soit P un point de lantenne repéré par sa coordonnée z, exprimer PM fonction de r, z etθ.

en

figure 3

l

ϕ

x

2.2.1.Commenter la structure du courant I qui parcourt cette antenne.

M

θ

O

l

e r

On considère une antenne de longueur 2l, orientée suivant laxe des z, et schématisée sur la figure 3. Cette antenne est une antenne demi-onde, cest-à-dire que lon a l= 4 λ . On admet quelle est parcourue par un courant dintensité I=I 1 cos    2π z λ    cos(ωt) . On étudie le champ électromagnétique rayonné en un point M repéré par les coordonnées sphériques ( r,θ,ϕ). On se place en un point M tel que r >>l.

e θ

e ϕ

2.1.4.γ.Déterminer la résistance de rayonnement.

2.1.4.β.Estimer ladistance à partir de laquelle on se situe dans la zone de rayonnement.

2.2. Antenne demi-onde.

2.1.4.δ.Estimer lordre de grandeur de lamplitude maximale du vecteur champ électrique à une distance de 3 m.

Applications numériques. On étudie le champ électromagnétique rayonné par un téléphone portable de type GSM 900. La fréquence démission est de 900 MHz, il est muni dune antenne de hauteur h = 2 cm et sa puissance moyenne totale rayonnée est P r = 2 W.

2.1.4.

2.1.4.α.Comparer h et la longueur dondeλ. Conclure.

P

2.2.2.β.En utilisant les résultats des questionsB.1.2.2.etB.2.1.1., établir que le champ électrique rayonné en M peut sécrire en notation complexe : +l E(M, t)=j µ 4 o ω π sinθ e j(ωt-kr) ∫ I 1 cos    2π z    e jkzcosθ dze θ avec k ω = c et l= 4 λ . rλ −l Après calcul, onadmetque E(M, t) sécrit E(M, t)=j µ 2 o π c I 1 cos    s π 2 c niθ os    θ e j(ωt−kr ) e θ .

2.2.2.γ.En supposant que londe est localement plane, déterminer de même lexpression du champ magnétique en notation complexe : B(M, t) .

2.2.3. Etude énergétique.

2.2.3.α.Déterminer la puissance moyenne totale rayonnée P r  On donnepar cette antenne. π cos 2 π cosθ 2 ∫ s    iθ    dθ ≈1,22 . n 0

2.2.3.β.Par analogie avec la questionB.2.1.3.déterminer la résistance de rayonnement de cette antenne. Evaluer numériquement cette résistance.

2.2.3.γ.Lantenne dune station de base dune cellule de radiotéléphonie mobile est assimilée, pour simplifier, à une antenne demi-onde. La fréquence de londe émise est 900 MHz, la puissance rayonnée est égale à 20 W. En déduire les valeurs numériques de lamplitude du courant électrique I 1 et de lordre de grandeur de lamplitude maximale du champ électrique à une distance de 500m de la station de base.

2.3. Réception dun signal en téléphonie mobile.

On désire étudier de manière simple les difficultés de la réception dun signal en téléphonie mobile. Pour simplifier létude, londe émise par la station de base sera considérée comme plane et polarisée rectilignement suivant laxe des z. π − Son champ électrique sécrit en notation complexe : E i (M, t)=E o e j(ω t 2 λ x ) e z ,ωreprésente la pulsation,λlongueur donde et f la fréquence.la  On prendra f = 900 MHz. Un immeuble situé en x = L réfléchit londe sans latténuer et sans modifier sa polarisation. La figure 4 schématise la situation étudiée.

O

z

sol

réce pteur

x figure 4

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onde incidente

onde réfléchie

immeuble

L

x

2.3.1. Champ électrique résultant.

2.3.1.α.On admet que le champ électrique de londe réfléchie sécrit : E r (M, t)=E o e j(ωt+ 2π(x− λ 2L) +φ) e z où φ est une constante. Commenter cette expression.

2.3.1.β.Ecrire le champ électrique de londe résultante : E(M, t) .

2.3.1.γ.Caractériser londe résultante.

2.3.2. Etude énergétique.

2.3.3.

On admet que la puissance P reçue par le récepteur ( téléphone mobile ) est proportionnelle à la valeur moyenne dans le temps du carré du champ électrique. On suppose de plus quil existe une puissance P s en dessous de laquelle la réception dun signal est impossible. On suppose également que la moyenne suivant x de P est égale à 10P s .

2.3.2.α.Le téléphone mobile, porté par un piéton, se déplace à la vitesse de 4 km/h suivant laxe des x. Déterminer la durée moyenne des coupures.

2.3.2.β.Déterminer la durée moyenne des coupures dans le cas dun téléphone mobile utilisé par un passager dune automobile qui se déplace à la vitesse de 40 km/h.

2.3.2.γ.Commenter ces deux déterminations.

En milieu urbain, les retards des trajets réfléchis par rapport aux trajets directs sont de lordre de 1µmoyenne suivant x de P est égale à 10Ps. On suppose toujours que la s .

2.3.3.α.Quelle est la valeur typique de L−x associée à ce retard ?

2.3.3.β.On suppose que pour cette valeur typique de L−x et pour la fréquence f, le signal reçu par le mobile de la part de la station de base a une puissance nulle. On augmente alors la fréquence de f à f +δ numériquement la valeur minimale à donner àf. Déterminerδf pour obtenir une puissance supérieure à P s .

2.3.4.En vous appuyant sur les questions précédentes, proposer quelques méthodes permettant de lutter contre « lévanouissement » des signaux dans les communications avec les téléphones mobiles.

3. Diffusion dune onde électromagnétique par un atome.

Une onde électromagnétique plane incidente est caractérisée par son champ électrique qui sécrit en notation complexe : E in =E o e j(ωt−kx ) e z , avec k= et E o une constante réelle. c Elle interagit avec lélectron dun atome placé en O. On utilisera un modèle classique de latome dans lequel le noyau est supposé immobile en O et lélectron est repéré depuis O par le vecteur r e , r e est supposée petite devant la longueur dondeλde londe électromagnétique incidente. Dans le cadre de ce modèle, lélectron est soumis aux actions suivantes : -une force de rappel élastique : −m e ω 2 o r e , vis m dr e - :une action damortissement queux − τ e dt . On note m e lélectron et -e sa charge électrique ;la masse de o et τ sont deux constantes.

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