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Conception de régulateurs 2008 Energie systèmes électriques et automatisés Hautes Etudes d'Ingénieur (Lille)

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2 pages
Examen du Supérieur Hautes Etudes d'Ingénieur (Lille). Sujet de Conception de régulateurs 2008. Retrouvez le corrigé Conception de régulateurs 2008 sur Bankexam.fr.
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1
Hautes Etudes d’Ingénieur
Mercredi 6 Février 2008
Département : EEA
Enseignant : Abdel AÏTOUCHE
Durée de l'épreuve : 2h30
,
Documents et calculatrice autorisés
ÉPREUVE DE SYNTHÈSE
DE CONCEPTION DE REGULATEURS
Ce document contient 2 pages.
L’épreuve se compose de deux exercices indépendants. Les élèves sont invités à lire entièrement
les énoncés avant de composer
Il est rappelé aux élèves qu’ils doivent impérativement :
Numéroter
les copies,
Rédiger de manière
claire et lisible,
Indiquer
avec soin le numéro
de la question,
Utiliser les
notations indiquées
dans le texte,
Présenter les
calculs clairement
,
Justifier
les réponses
Dégager et
encadrer
les résultats relatifs à chaque question..
Il sera tenu compte de la
présentation des copies
.
EXERCICE 1 (12,5 points)
I.
La fonction de transfert d’un système continu du premier ordre retardé est :
)
1
(
)
(
Tp
e
K
p
H
Lp
s
+
=
Où K
s
représente le gain statique, T la constante de temps et L le retard fractionnaire. La Fonction de
transfert bloquée échantillonnée est donnée par :
)
1
(
)
(
1
1
2
2
1
1
+
=
=
z
a
z
b
z
b
K
z
G
s
Avec
)
1
(
/
)
(
1
T
Te
L
s
e
K
b
=
T
T
T
L
T
Te
s
e
e
a
e
e
K
b
/
1
/
/
2
)
1
(
=
=
avec L<T
e
I.1°
Donner l’expression numérique de G(z) sachant que L=2 sec;T=10 sec Te=1sec et K=1.
I.2°
Donner le pôle et le zéro de G(z). Conclure sur la stabilité du pôle et du zéro.
I.3°
Par la suite on travaillera en valeurs littérales et on fera l’application numérique après.
On introduit dans la boucle de régulation numérique, un régulateur C(z) comme le montre la figure
suivante :
I.3
.
a
Calculer la transmittance en boucle fermée H
BF
(z) sachant que C(z)=K
p.(
correcteur
proportionnel).
I.3.b
Pour quelles valeurs de K
p
le système est stable (Critère de Jury).
I.3.c
En déduire l'équation aux différences donnant la commande u(k) un instant k.
Y
c
(z)
U(z)
+
Y(z)
C(z)
G(z)
-
)
(
z
ε
2
I.3.d
Quelle est l'erreur permanente pour une variation de consigne en échelon unitaire de la consigne
Y
c
(z). Conclure ? Comment peut-on annuler cette erreur ?
Pour réguler ce système, on utilise une régulation numérique plus performante que précédemment. Ce
régulateur est de type de ZDAN.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
2
1
z
C
z
C
z
C
z
S
z
R
K
z
C
p
=
=
On veut annuler l’erreur statique de position vis-à-vis d’une variation de consigne en échelon unitaire.
Pour cela, la fonction de transfert bloquée échantillonnée s’écrit :
)
1
(
)
1
(
)
(
1
1
1
1
2
1
+
+
=
z
a
z
b
b
b
K
z
G
s
III.1
Pourquoi ne peut-on pas compenser le zéro ?
III.2
Donner le correcteur C
1
(z).
III.3
Donner le correcteur C
2
(z) qui compense le pôle en littéral.
III.4°
On veut que le système se comporte en boucle fermée comme un système du deuxième ordre dont
le dénominateur de la fonction de transfert est :
P = 1 + p
1
z
-1
+ p
2
z
-2
.
Calculer dans ce cas le correcteur C
3
(z) en fonction de K
p
, K
s
, p
1
, p
2
, b
1
, b
2.
III.5
Donner le correcteur C(z) en littéral.
III.6
Application numérique : p
1
=
-
0.751 p
2
=0.247. Que peut-on dire de la stabilité du pôle du correcteur
C
3
(z) ?
III.7
Comparer le régulateur proportionnel et celui de ZDAN .
EXERCICE 2: Asservissement par un retour d’état (7,5 points)
On considère un système monovariable générique défini par :
{
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
Cx
t
y
t
Bu
t
Ax
t
x
=
+
=
&
[
]
2
1
)
(
x
x
t
x
=
. x
1
peut représenter une distance et x
2
sa vitesse.
avec
=
2
1
a
1
0
a
A
=
b
B
0
[
]
0
1
=
C
Dans quelles conditions ce système est-il commandable ?
2°.
Dans quelles conditions ce système est-il
observable?
Dans quelles conditions ce système est stable?
On prend a
1
=-1, a
2
=-0.5 et b
1
=1. Donner les valeurs propres de la matrice A.
5° Calculer le gain K d’une commande par retour d’état sachant que la dynamique est donnée par
25
7
2
+
+
=
λ
λ
P
.
Calculer le gain L d’un observateur d’état d’ordre complet sachant que la dynamique est donnée
par
36
6
2
+
+
=
λ
λ
P
et que les variables x
1
et x
2
sont mesurées.
Conclure sur les valeurs de K et L ?
Supposons que maintenant qu’on ne mesure pas la composante x
2
de l’état. Déterminer
l’observateur d’ordre réduit permettant de reconstruire l’état x
2
et ayant pour pôle –1. Conclure ?