Concours Commun post bac S 2002 Concours FESIC

Description

Concours du Supérieur Concours FESIC. Sujet de Concours Commun post bac S 2002. Retrouvez le corrigé Concours Commun post bac S 2002 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2002
• post bac
• bac
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• Publié par: bankexam
• Publié le: 07 mars 2007
• Nombre de lectures: 90
• Langue: Français

Extrait

Concours FESIC 2002 Danstoutequestiono`uilintervientleplan(respectivementl’espace) −→−→ estrapporte´a`unrepe`reorthonormal(O, , ı) = (Oxy) (respectivement   −→ −→−→ O, ı, , k= (Oxyz) ).

Exercice 1 Soitfla fonction d?finie par x1 f(x) =−, 2 ln (x) Dtinfie´dedelbmesnsonetneioC´reebpernutrsceoisvaate. a)On a :D=]0,+∞[. b)La courbeCadmet une droite asymptote en +∞. x c)Pour toutx∈ D, on a :f(x)<. 2 1 2  d)Pour toutx∈ D, on a :f(x+ .) = 2 2x(lnx) Exercice 2 Soitfd´onniefifolatincseruRparf(x) =x+ sin(πx) etCsa courbe repre´sentative.  a)Pour toutxeer´:a,lnof (x) = 1 + cos(πx).   f(x) b)On a : lim= 1 +π. x x→0 c)La courbeCeri`emprctseisebhcneecirniopeuqatd’abscisseepalcuo 1 x=k,`ou+k∈Z. 2 d)La courbeCmeadaptlmireere`ssibrtcececimytpetsardiomoemote en +∞. Exercice 3 Soitfetgcnofsel:arspiefin´esdonti   −2x−x f(x) = lnx+ 1−1 etg(x+ 2e) = e. On noteCocalebruatntedivprrese´eefet Γ celle dege`disnocOn.aler  rotationRde centre O et d’angleπ/2. On noteMnnodsee´loiepdentorco   (x;y) et d’affixez, image parRdu pointM(see´dnncoedorox;y) et d’affixez. a)seenL’deitnofieined´dbmelfest I = ]−1 ;+∞[.  b)On a :z= iz.   x=−y c)On a :  y=x

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 d)Tout pointMde la courbeCa une imageMparRiuqappaeitrnt`a la courbe Γ. Exercice 4 On rappelle que 2<e<3. Soitfoitcnofaeinfie´dnuslrRpar : |x| e f(x) =. x e +1 a)La fonctionfest paire. b)On a :limf(xet lim) = 0f(x) = 1. x→−∞x→+∞ 3 1 c)On a :limf(x) =−et limf(x.) = −+ 4 4 x→+0x→+0 d)On a :    2 2 e +1 f(x) dx= ln. 2 0 Exercice 5 On rappelle que 2<e<3. Soitfuresnialofcnitno´dfieRpar 2x f(x) = (x+ 1)e. a)La fonctionfv´el’´erifieoinuqta 2x (∀x∈R)y(x)−2y(x) = e. 1 b)onLeq’´tiuaf(x) =−deux solutions distinctes. 16  −1 Pourαesopno,lee´rI(α) =f(x) dx. α c)Poeeltu´rruotα, on a 1 2α+ 1 2α I(α) =− −e. 2 4e 4 (Onpourrautiliseruneinte´grationparparties.) d)lim =+On a :∞. α→−∞ Exercice 6 Onconside`relesfonctionsd´efiniespar sinx 1−x f(x) = [2 + cosx]e etg(x) =−1−. 2 + cosx On noteGla primitive degvalant 13 en 0 et I son intervalle de+ ln d´efinition.

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a)On a : I =R. b)Pour toutx∈I, on a :G(x) = ln[f(x)]. c)La fonctionGest strictement monotone sur I. d)On a :    1 f(1) g(x) dx= ln. f(0) 0

Exercice 7 Soitffonctionlara´dfieinpe

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2x+ 3 f(x) =. x+ 2 etDonet.nnOsnenosededblemioitfin´e   2 2 x ∗ n I=f(x) dxet, pourn∈N, u n =f(x)e dx. 0 0 a)lesleIstxieued´exraetbtels que, pour toutx∈ D, on ait b f(x) =a+. x+ 2 b)La suite (u n ) ∗ est croissante. n∈N 2 ∗ c)Pour toutn∈N, on a :Iu n eI. n d)La suite (u n ) ∗ a pour limite 4−ln 2. n∈N Exercice 8 Onconside`rel’´equationdiff´erentielle  y(x)−2y(x(E) = 0 1 ). x a)Les solutions de (E 1 ) sont les fonctionsy(x) =K`oue,K∈R. 2 b)(Eontiuaeq’´L 1 )oseuqinuenutemdaonactidionitul´vnofiireltnay(0) = 2x 2 et c’est la fonctiony(x+ 1.) = e Onconside`rel’e´quation  −3x (∀x∈R)u(x) +u(x) = 2e(E 2 ) c)Une fonctionfioatEn(l´’efireiqu´ev 2 ) si et seulement si la fonctiong 3x d´efinie,pourtoutx∈R, parg(x) = ef(x’lednoitulostse,+1)natio´equ (E 1 ). d)La fonction

−x−3x f(x) = 2e−e

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est l’unique fonctionuve´E(n´equatiorifiantl’ 2 ) et la conditionu(0) = 1.

Exercice 9 Pour tout entier naturelnelerd`siioctonafncnno2o,fnfie´d,ruseiR par

3 f(x) =x−2nx+ 1. a)Pour toutn2, la fonctionf n -ni’lrusetnasteristmetcdtnerce´ssio tervalle [0; 1]. b)Pour toutnuqta’le´,2ionf n (x) = 0 admet une unique solution dans R. On noteu n l’’´el]d;1ontiuaeqrvalle[0nsl’inteulitnoadnuqieuosf n (x) = 0. 1 c)Pour toutn2, on a : 0u n . n d)limOn a :u n = 0. n→+∞ Exercice 10 Onconside`relasuite(u n ra)d´efiniep n∈N

1 2 u 0 = 0, u 1 et, pour tout= 1n∈N, u n+2 =u n+1 +u n . 3 3 Ond´efinitlessuites(v n () etw n ) par n∈Nn∈N 2 v n =u n+1 −u n etw n =u n+1 +u n . 3 a)La suite (v n quti´ehme.)tiratse n∈N b)La suite (w n constante.) est n∈N 3 c)Pour toutn∈N, on a :u n = (w n −v n ). 5 d)La suite (u n pas de limite finie.) n’a n∈N Exercice 11 Soitαleeer´un(tE α nnio’idtnanuoqceo´c’elu)elpmxez 2 2 z+ (1 +α)z+α= 0.  , les points du plan dont les affixes sont les Ond´esigneparM α etM α solutions de (E α ). a)Le nombre complexez=−2 + i5 est une solution de (E α ). b)l’´equatutionsdeeLlossoi(nE α .nostiorts)mpcoitsos,leel´esee´ugujnocsexel  e triangle (OMsicoe)ts.e`el c)Pour toutα >1, l α M α  d)Pour toutα >1, on a :M α M= (3α+ 1)(α−1). α

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Exercice 12 Dansleplancomplexe,onconside`relepointAd’affixe4etl’application  Fqnt`,iuouatoitpMdistinct de A, d’affixez, associe le pointM=F(M),  d’affixezrapee´nond

z−4  z= (1) 4−z  a)Le point B d’affixe 1 + 3i a pour image parFd’affixe i.le point B b)suoTpselointsdeladroited´’qeauitnoxeev´podutAintlona=p4ir meˆmeimageparF.   c)Pour tout pointMdistinct de A, d’imageMparF, on a : OM= 1.  z−1  d)Pour tout nombre complexezu`o=4(morbl,neeznodtee´nse z−4 par(1))estr´eel.

Exercice 13 Soit : •ˆcedlare´taliuqe3;´eotriangle´(ABC)unt •rentceleGrtaie´udvatiedrg);(ABCngle •paoptra`.Glme´seytriquHedeAparr Onpourra´egalementconside´rerIlemilieudusegment[BC]. a)niHteLopberaselte´stniopedere´dnopsedtrenycemt`ysus {; (B,(A, 1)−2) ;(C,−2)}. −→−→ b)On a : HA∙HC = 3. SoitP(HC)oiteladrre`aluiadncireepeAptanssartppllepaan. −−→−→ c)Pour tout pointMdeP, on a : HM∙HC = 3. d)Le planPest l’ensemble des pointsMdepacel’esfiina´vre:t   −−→−→−→−→ MA−2MB−2MC∙HC =−9.

Exercice 14 Soit(SMN)untriangleisoc`eledesommetprincipalS,decercleinscritde centre Ω et de rayon 1. On note Q, P, O respectivement, les points de contact du cercle inscrit avec les segments [SM], [SN] et [MN]. Enfin, on pose OS =x. x1 a)On a := . OM QS 2 b)On a : QS=x(x−2). x 2 c)On a : OM= . x−2 Onrappellequelevolumed’unesectiondecoˆneeste´galautiersduvolume delasectiondecylindrecorrespondante(c’est-`a-diredemˆemebaseetde mˆemehauteur).