Concours de recrutement interne PLP interne

Description

Niveau: Supérieur
[ Concours de recrutement interne \ PLP interne 2010 DURÉE : 4 heures Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants. Le premier exercice, de nature pédagogique porte sur les fluctuations d'une fré- quence selon les échaniillons. Le deuxième exercice est constitué de questions indépendantes. Le troisième exercice a pour objet la recherche de l'image de deux cercles par une application définie dans le plan complexe. Le quatrième exercice expose deux méthodes permettant d'obtenir une valeur ap- prochée du nombre ln2.

• points d'affixes respectives


• courbe e2


• nature pédagogique


• capacités du programme


• élèves de seconde professionnelle


• récipient cylinddque de rayon intérieur


• a2 d'affixes respectives

Sujets

• Briggs

Informations

• Publié par: apmep
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• Langue: Français

Extrait

[Concours de recrutement interne\ PLP interne 2010

DURÉE : 4 heures

Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants.

Le premier exercice, de nature pédagogique porte sur les fluc tuations d’une fré quence selon les échaniillons. Le deuxième exercice est constitué de questions indépendantes. Le troisième exercice a pour objet la recherche de l’image de deux cercles par une application définie dans le plan complexe. Le quatrième exercice expose deux méthodes permettant d’obtenir une valeur ap prochée du nombre ln 2.

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PREMIER EXERCICE

A. P. M. E. P.

Cet exercice, de nature pédagogique, porte sur les fluctuations d’une fréquence se lon des échantillons. Enannexe 1figure une situation d’étude qui permet de construire une activité de formation pour des élèves de seconde professionnelle. Enannexe 2se trouvent des extraits des programmes de mathématiques de seconde et de première professionnelles.

1.er l’énoncé d’uneEn utilisant la situation d’étude figurant en annexe 1, rédig évaluation, destinée à des élèves de seconde professionnelle qui ont suivi une formation sur les fluctuations d’une fréquence selon les échantillons. Cette évaluation devra respecter les contraintes suivantes : •se dérouler en salle informatique, •avoir une durée comprise entre 30 et 40 minutes. 2.Indiquer les connaissances et et capacités du programme que l’énoncé rédigé à la question précédente permet d’évaluer.

DEUXIÈME EXERCICE

Les questions de cet exercice sont indépendantes

1.Résoudre dans l’intervalle ]−π;π[ l’équation

2 2 cosx−cosx−1=0.

2. a.Préciser si l’affirmation suivante est vraie ou si elle est fa usse. Justifier ensuite la réponse donnée. « Sinetpsont deux nombres entiers tels que le nombren pest impair, 2 2 alors le nombren+p−n pest impair. » b.usse. JustifierPréciser si l’affirmation suivante est vraie ou si elle est fa ensuite la réponse donnée. « Sinetpsont deux nombres entiers tels que le nombren pest pair, alors 2 2 le nombren+p−n pest pair. » 3.On dispose dans un sac de deux dés cubiques dont les faces sont nunérotées de 1 à 6. L’un de ces deux dés est bien équilibré et l’autre est un dé pip é pour lequel, lors d’un lancer la probabilité d’obtenir un 6 sur la face supérieure est égale à la probabilité de ne pas obtenir de 6. On prend un dé au hasard dans le sac, on le lance et on note le num éro ob ten sur la face supérieure. Quelle est, dans ces conditions, la probabilité de l’évènement « obtenir un 6 » ? 4.Étudier la continuité et la dérivabilité en 0 de la fonctionfdéfinie sur l’inter valle [0 ;+∞[ par : µ ¶ x+2 f(x)=xln pourx>0 etf(0)=0. x 5.On considère un récipient cylinddque de rayon intérieur 10 cm et de hauteur intérieure 22 cm. On place une boule de rayon 5 cm au fond du réc ipient puis on verse de l’eau jusqu’à recouvrir exactement la boule (cette boule, étant de densité plus grande que celle de l’eau, ne flotte pas).

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A. P. M. E. P.

On enlève cette boule et on la remplace par une seconde boule d e même den sité et de rayon différent. L’eau recouvre à nouveau exactem ent la seconde boule. Déterminer, en exposant la démarche suivie, une valeur approchée à un mil limètre près, du rayonRde la seconde boule.

TROISIÈME EXERCICE

³ ´ −→−→ Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct O,u,v. L’unité graphique est 4 cm. On considère l’applicationfdu plan P privé du point O dans le plan P qui à tout ′ ′ pointMd’affixe non nullezassocie le pointM=f(M) d’affixeztelle que µ ¶ 1 1 ′ z=z+. 2z On désigne par A et B les points d’affixes respectivesz A =1 etz B = −1. Pour tout nombre réelrstrictement positif on noteC r le cercle de centre O et de rayonr.

I. Détermination d’images et d’antécédents

3 i Soit E, F et G les points d’affixes respectivesz E =i,z F = −1+i,z G = −. 2 2 ′ ′ 1.Déterminer les images E des points E et F par l’applicationet F f. ′ ′ Placer les points A, B, E, F, E et F dans le plan P. 2. a.Déterminer le. module et un argument dez G . Interpréter géométrique ment ces deux résultats∙. ′ b.du point G par l’applicationDéterminer l’image G fet compléter la fi ′ gure de la première question en construisant les points G et G (on lais sera apparents les traits de construction). 3.Déterminer les points invariants par l’applicationf. 4. a.Déterminer les antécédents par l’applicationfdu point H d’affixe 1 z H =. 2 b.SoientM 1 etM 2 deux points distincts du plan P privé du point O. Déter miner une condition nécessaire et suffisante sur leurs affixes respectives z 1 etz 2 pour que les pointsM 1 etM 2 aient la même image par l’applica tionf.

Image par l’applicationfdu cercleC 1 de centre O et de rayon 1

′ 1.Montrer que si le pointMappartient au cercleC 1 , l’affixe du pointM=f(M) est un nombre réel à préciser. 2.En déduire l’image du cercleC 1 par l’applicationf.

Image par l’applicationfdu cercleC 2 de centre O et de rayon 2

1.Montrer que si le pointMd’affixezappartient au cercleC 2 , l’affixe du point 5 3 ′ ′ M=f(M) est le nombre complexez=cosθ+i sinθoùθdésigne un ar 4 4 gument du nombre complexez. 2.SoitMun point du cercleC 2 ,zl’affixe deMetθun argument dez.

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A. P. M. E. P.

a.On rappelle que pour tout nombrerstrictement positif, on noteC r le cercle de centre O et de rayonr. Déterminer en fonction deθles coor ′ données des points d’intersection N et N de la demidroite [OM) res pectivement avec les cerclesC 5 etC 3 . 4 4 b.En déduire un procédé permettant de construire l’image par l’applica tionfd’un point quelconque du cercleC 2 . Utiliser ce procédé pour re présenter dans le plan P les images par l’applicationfdes points A 1 et π π −i i A d’affixes respe 2e etz=2e . 4 3 2 ctivesz A 1 = A 2 ¡ ¢ ′ ′ 3.On note (a;b) les coordonnées d’un pointMeta;bles coordonnées du ′ pointM=f(M). ′ a.Montrer que si le pointMappartient au cercleC 2 son imageMpar l’ap plicationf, appartient à la courbeE 2 d’équation

2 2 x y + =1. µ ¶ µ ¶ 2 2 5 3 4 4 b.Préciser la nature de la courbeE 2 et tracerE 2 dans le plan P. c.Justifier que la courbeE 2 est l’image par l’applicationfdu cercleC 2 . 4.Déterminer un nombre réelrdifférent de 2 tel que les cerclesC 2 etC r aient la même image par l’applicationf.

QUATRIÈME EXERCICE

L’objectif de cet exercice est d’étudier deux méthodes permettant d’obtenir un encadre ment du nombre réelln 2. Les partiesI.etII.sont indépendantes.

Partie I. Une approximation graphique ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormé O,ı,. L’unité graphique est 5 cm. 1 On considère la fonctionϕdéfinie sur l’intervalle [1 ; 2] parϕ(x)=. On noteΓla x ³ ´ −→−→ courbe représentative de la fonctionϕO,dans le repère ı,et on noteKl’inté Z 2 1 grale K=dt. 1 t On note : 3 •A, B et C les points de la courbeΓet 2 ;d’abscisses respectives 1, 2 µ ¶ 3 •et V le point; 0 I le point de coordonnées (1 ; 0), U le point de coordonnées 2 de coordonnées (2 ; 0). 1. a.Tracer la courbeΓ; 2] et interpréter graphiquement lesur l’intervalle [1 nombre réel K à l’aide de la courbeΓ. b.Calculer le nombre réel K. 2.ité d’aire. OnDéterminer la mesure exacte de l’aire du polygone IVCBA en un admet que ce nombre est un majorant du nombre réel K. 3. a.Déterminer une équation de la tangenteTà la courbeΓau point B. b.Étudier la position de la courbeΓpar rapport à la droiteTsur l’intervalle [1 ; 2] puis tracer la tangenteT. c.En déduire graphiquement un minorant du nombre réel K. 4.05.Donner un encadrement de K, d’amplitude inférieure ou égale à 0,

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e Partie II. Une méthode utilisée au XVII siècle

1.Un programme de calcul

A. P. M. E. P.

−5 a.Donner une valeur arrondie à 10 près du nombre affiché par la calcu latrice à l’issue du programme de calcul suivant : •Entrer le nombre 2 sur la calculatrice. •Répéter 9 fois de suite l’instruction suivante : calculer la racine car rée du dernier nombre affiché par la calculatrice. •Soustraire 1. •Répéter 9 fois de suite, l’instruction suivante : multiplier par 2 le dernier nombre affiché par la calculatrice. b.ique apComparer le nombre qui vient d’être obtenu à une valeur numér prochée du nombre ln 2 donnée par la calculatrice.

e Cette méthode de calcul fut utilisée par Henri Briggs au débu t du XVII siècle pour obtenir des valeurs approchées de logarithmes. La suite de l’exercice pré sente une étude de cette méthode. Henri Briggs inventa ensuite de nombreuses autres méthodes ingénieuses pour établir des tables de loga rithmes qu’il pu bliera en 1624 dans un traité intitulé Arithmetica Logarithmica. 2.Un résultat théorique On noteNl’ensemble des nombres entiers naturels.

a.Soit (a n suite réelle. Donner une définition de) une n∈N « la suite (a n ) converge versL» oùLest un nombre réel. n∈N b.Démontrer le théorème suivant : « Soient trois suites réelles (a) , ( b) et ( c) telles que pour n n ∈N n n ∈N n n ∈N tout nombre entier natureln,

a n 6 b n 6 c n

Si les suites (a ( ) et cvers une même limite) convergent Lalors n n ∈N n n ∈N la suite (bvers) converge L». n n ∈N

3. Étude de deux suites Soit un nombre réelα, strictement supérieur à 1. On considère les suites (u n ) n∈N etvpar : ( n ) n∈ définies N ½ u 0 =αet pour toutndeN,u n+1 =u n n v n =2 (u n −1) pour toutndeN

a.lcul d’unLe calcul efféctué dans la question II. 1. a. correspond au ca terme de l’une de ces deux suites avec pour valeur deαle nombre 2. Quel est ce terme ? b.par récurrence que pour touti. Démontrer ndeN,u n >1. ii. Démontrer que pour toutndeN,

1 u n+1 −1 6 ( u n −1) . 2

iii. En déduire, que pour tout n deN,

1 0 6 u n −1 6 (α−1). n 2 iv. Justifier que la suite (u n ) n converge et préciser sa limite. ∈N

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c.

i. Démontrer que pour tout nombre réelx > 0, on a

2 x x− 6 ln(1+x) 6 x. 2

ii. En déduire que pourndeN, on a

2 ( u n −1) − 6 ln (u n ) −u n +1 6 0. 2

A. P. M. E. P.

1 1 n iii. Montrer que pour toutndeN, on au n =α, puis que−(α− 2 n+1 2 2 1) 6 lnα−v n 6 0. iv. Déterminer la limite de la suite (v n ) . n∈N d.Quelle valeur du nombre entiernsuffitil alors de choisir pour obtenir −3−6 une valeur approchée du nombre ln 2 à 10 près ? À 10 près ?

ANNEXE 1 SITUATION D’ÉTUDE : TAUX ANORMAL DE CAS DE LEUCÉMIE INFANTILE (d’après un document de travail sur Eduscol)

Niveau : seconde professionnelle. Module : fluctuations d’une fréquence selon les échantillons, probabilités. Thématique : protéger la planète (développement durable) prévenir un risque lié à l’environnement (prévention, santé et sécurité). Énoncé Une petite ville des États–Unis a connu 9 cas de leucémie chez des jeunes garçons en l’espace de 10 années. Doiton, comme l’ont affirmé les autorités, en accuser le hasard ?

Cet exemple montre les enjeux de la méthode statistique. Woburn est une petite ville industrielle du Massachusetts a u Nord Est des États Unis. Du milieu à la fin des années 1970, la communauté locale s’émeut d’un grand nombre de cas de leucémie infantile survenant en particulier chez les garçons dans certains quartiers de la ville. Les familles se lancent alor s dans l’exploration des causes et constatent la présence de décharges et de friches i ndustrielles ainsi que l’existence de polluants. Dans un premier temps, les experts gouvernementaux concluent qu’il n’y a rien d’étrange, mais les familles s’obstinent et saisissent leurs propres ex perts. Une étude statistique montre qu’il se passe sans doute quelque chose « d’étrange ». Le tableau suivant résume les données statistiques concernant les garçons de moins de 15 ans, pour la période 1969–1979 (Source :Massachusetts Department of Public Health).

Population des garçons de moins de 15 ans à Woburn selon le recen sement de 1970 :n 5969

Nombre de cas de leu cémie infantile observés chez les garçons à Wo burn entre 1969 et 1979 98

Fréquence des cas de leucémie infa ntile aux ÉtatsUnis (garçons) :p

0,60052

La question statistique qui se pose est de savoir si le hasard seul peut raisonnable ment expliquer le nombre de cas de leucémie infantile observés chez les garçons de Woburn, considérés comme résultant d’un échantillon prfélevé dans la population américaine.

La population des ÉtatsUnis étant très grande par rapport à celle de Woburn, on peut considérer que l’échantillon résulte d’un tirage avec remise et simuler des ti rages de taillenavec un tableur.

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A. P. M. E. P.

Il est aisé de simuler sur un tableur 100 échantillons de tail len=prélevés5 969 au hasard dans une population de garçons où la probabilité de leucémie estp= 0,000 52 : (cas « normal ») en utilisant l’instruction : =ENT(ALEA()+0,000 52. L’instruction =ALEA() génère un nombre aléatoire dans l’intervalle [O; 1[. L’instruction =ALEA()+0,000 52 génère donc un nombre aléatoire dans l’intervalle [0,000 52 ; 1,000 52[. Ainsi =ENT(ALEA()+0,000 52, où ENT désigne la partie entière, vaut la plupart du temps 0 (non malade) et vaut 1 (malade) avec la probabilité 0,000 52. Sur chaque échantillon, en faisant la somme, on obtient le nombre de cas observés, sous l’hypothèse d’une probabilité « normale ». Il est possible de représenter sur un graphique les 100 résul tats observés sur les échantillons ainsi simulés.

ANNEXE 2 EXTRAITS DES PROGRAMMES DE BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL

Seconde professionnelle 1.2 Fluctuations d’une fréquence selon les échantillons, probabilités

La notion de fluctuation d’échantillonnage, essentielle en statistique, est abordée dans cette partie du programme en étudiant la variabilité d’observation d’une fré quence. Elle favorise une expérimentation de l’aléatoire. L’objectif de ce module est de faire comprendre que le hasard suit des lois et de préciser l’approche par les fré quences de la notion de probabilité initiée en classe de troisième. Après une expéri mentation physique pour une taille fixée des échantillons, la simulation à l’aide du générateur de nombres aléatoires d’une calculatrice ou d’un tableur permet d’aug menter la taille des échantillons et d’observer des résultats associés à la réalisation d’un très grand nombre d’expériences.

Capacités Connaissances Commentaires Expérimenter, d’abord Tirage au hasard et avec Toutes les informations à l’aide de pièces, de remise denéléments concernant l’outil de si dés ou d’urnes, puis dans une population où mulation sont fournies. à l’aide d’une simu la fréquenceprelative à lation informatique un caractère est connue. prête à l’emploi, la prise Fluctuation d’une fré d’échantillons aléatoires quence relative à un de taillenfixée, extraits caractère, sur des échan d’une population où la tillons de taillenfixée. fréquenceprelative à un caractère est connue. Évaluer la probabilité Stabilisation relative des La propriété de stabili d’un évènement à partir fréquences vers la pro sation relative des fré des fréquences. babilité de l’évènement quences vers la probabi quand n augmente. lité est mise en évidence graphiquement à l’aide d’un outil de simulation. Évaluer la probabilité d’un évènement dans le cas d’une situation aléatoire simple. Faire preuve d’esprit cri tique face à une situa tion aléatoire simple. Première professionnelle 1. 2 Fluctuations d’une fréquence selon les échantillons, probabilités(groupements A, BetC)

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A. P. M. E. P.

L’objectif de ce module est de consolider et d’approfondir l’étude, initiée en seconde professionnelle, de la vartiabilité lors d’une prise d’échantillon, pour favoriser la prise de décision dans un contexte aléatoire. La consolidation des notions déjà ac quise en seconde professionnelle se traite en prenant appui sur des exemples de situations concrètes, issues de la vie courante, du domaine professionnel ou de la liste des thématiques. L’utilisation des TIC est nécessaire.

Capacités Expérimenter, à l’aide d’une simulation in formatique, la prise d’échantillons aléatoires de taillenfixée, extraits d’une population où la fréquenceprelative à un caractère est connue. Calculer la moyenne de la série des fréquences f i des échantillons aléa toires de même taillen prélevés. Comparer la fréquence pde la population et la moyenne de la série des fréquencesf i des échantillons aléatoires de même taillenpré levés, lorsquepest connu.

Calculer le pourcentage des échantillons de taille nsimulés, pour lesquels la fréquence relative au caractère étudié ap partient à l’intervalle h i 1 1 donnép−;p+ n n et comparer à une probabilité de 0, 95. Exercer un regard cri tique sur les données statistiques en s’ap puyant sur la probabilité précédente.

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Connaissances Distribution d’échan tillonnage d’une fré quence.

Moyenne de la distribu tion d’échantillonnage d’une fréquence.

Intervalle de fluctuation.

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Commentaires

La population est suf fisamment importante pour pouvoir assimiler les prélèvements à des tirages avec remise. La stabilisation versp, lorsque la taillendes échantillons augmente, de la moyenne des fré quences est mise en évi dence graphiquement à l’aide d’un outil de simu lation. Distinguer, par leurs no tations, la fréquencep de la population et les fréquencesf i des échan tillons aléatoires. Se restreindre au cas oùn > 30,n p > 5 et n(1−p) > 5 : la connais sance de ces conditions n’est pas exigible. La formule de l’intervalle est donnée. La connaissance de la « variabilité natu relle » des fréquences d’échantillon (la pro babilité qu’un échan tillon aléatoire de taille nfournisse une fré quence dans l’intervalle h i 1 1 p−;p+est su n n périeure à 0,95) permet de juger de la pertinence de certaines observa tions.

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