Concours Fesic mai

Description

Niveau: Supérieur
[ Concours Fesic mai 2010 \ Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse, ?1 si mauvaise réponse, 0 si pas de ré- ponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste. EXERCICE 1 On considère la fonction f définie par f (x)= 1 2 ln ( 1+ x 1? x ) . On appelle D l'ensemble de définition de f . a. D =]?1 ; +1[. b. f est paire. c. f est décroissante sur D. d. Quel que soit le réelb, l'équation f (x)= b possède l'unique solution x = e2b ?1 e2b +1 . EXERCICE 2 On considère la fonction f définie sur R par : { f (x)= x+1 x e? 1 x si x 6= 0 f (0)= 0 On appelle C la courbe représentant f dans un repère du plan. a. f est continue en 0. b. f est dérivable sur R?? et sur R+? et, pour x 6= 0, f ?(x) est du signe de x. c. C possède la même droite pour asymptote en +∞ et en ?∞.

• origine du repère


• repère du plan


• x2 cos2x


• tangente


• équation polynômiale de degré


• urne


• point d'abscisse

Sujets

• Tangente

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 mai 2010
• Nombre de lectures: 85
• Langue: Français

Extrait

[ConcoursFesicmai2010\
Calculatrice interdite; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30; répondre par Vrai ou
Faux sans justification.?1 si bonne réponse,?1 si mauvaiseréponse, 0 si pas de ré-
ponse,bonusd’unpointpourunexerciceentièrementjuste.
EXERCICE1
Onconsidèrelafonction f définiepar
? ?
1 1?x
f(x)? ln .
2 1?x
OnappelleD l’ensemble dedéfinitionde f.
a. D?]?1; ?1[.
b. f estpaire.
c. f estdécroissantesurD.
2be ?1
d. Quelquesoitleréelb,l’équation f (x)?bpossèdel’uniquesolutionx ? .
2be ?1
EXERCICE2
Onconsidèrelafonction f définiesurRpar:
( x?1 1?
xf(x)? e si x6?0
x
f(0)?0
OnappelleC lacourbereprésentant f dansunrepèreduplan.
a. f estcontinueen0.
?? ?? 0b. f estdérivablesurR etsurR et,pour x6?0, f (x)estdusignedex.
c. C possèdelamêmedroitepourasymptoteen?1eten?1.
d. Quelquesoitleréel x,ona f(x)?1.
EXERCICE3
Onconsidèrelafonction f définiesur[1; ?1[par:
f(t)?sin(lnt).
OnappelleC lacourbereprésentant f dansunrepèreorthonormalduplan.Zx
SoitF lafonctiondéfiniesur[1;?1[parF(x)? f(t)dt.
1
?
a. Ona f(e)? .
2
?b. Si t2[1; e ],alorsona f(t)>0.
?c. F(e ) représente l’aire de la surface limitée par la courbe C et les droites
?d’équations x?1, x?e et y?0.
0d. Quelquesoit x?1,onaF (x)61.
EXERCICE4
Onconsidèreunefonction f définieetdeuxfoisdérivablesurR.
On appelleΓ la courbe représentant f etC la courbe représentant la fonction dé-
0 0rivée f de f. On a représenté ci-dessous la courbeC de f :C est symétrique par
rapportàl’originedurepère.LadroiteΔestlatangenteàC aupointd’abscisse0.ConcoursFesicmai2010 A.P.M.E.P.
1
?4 ?3 ?2 ?1 1 2 3
?1
a. LacourbeΓde f estsymétriqueparrapportàl’axedesordonnées.
f(x)
b. lim ?1.
x!0 x
c. LacourbeΓpossèdeuneetuneseuletangenteparallèleàl’axedesabscisses.
00d. Ona f (0)?1.
EXERCICE5
Z7
a. jxjdx?12.
?5
Z1
xb. (2x?5)e dx?5e?3.
0
x(x?1)(e ?1)
c. lim ?2.
x!0 x
2 2d. Soit f la fonction définie surR par f(x)? x sin x. f est dérivable surR et,
0 2 2pour x2R,ona f (x)?2xsin x?x cos2x.
EXERCICE6
a. On considère un tétraèdre ABCD. On appelle I le milieu de [AD], J celui de
[BC], K le barycentre de {(A,2),(B,1)}, L le barycentre de {(C,1),(D,2)} et G le
barycentrede{(A,2),(B,1),(C,1),(A,2)}.
OnveutmontrerquelespointsI,J,KetLsontcoplanaires.Ontientpourcela
leraisonnement suivant:
«Gestlebarycentrede(I,4),(J,2)etde(K,3),(L,3).DoncG,IetJsontalignés,
ainsiqueG,KetZsontalignés.OnendéduitqueI,J,KetLsontcoplanaires.»
Ceraisonnement estexact.
Z Zln8 x ln8e ?3 1
b. OnconsidèrelesdeuxintégralesI? dx etJ? dx.
x xe ?4 e ?4ln2 ln2
OnveutcalculerIetJ.Ontientpourcelaleraisonnement suivant:
Z xln8 e ?4
«OnaI+J? dx?ln8?ln2?2ln2.
xe ?4ln2
Zln8 x ? ? ??e ln8xDeplus,I?3J? dx? ln e ?4 ?ln12?ln6?ln2.
x ln2e ?4ln2
7ln2 ln2
OnendéduitI? etJ? ».
4 4
Ceraisonnement estexact.
??c. Onconsidèrelafonction f définiesurR par: f(x)?xlnxsix?0et f(0)?0.
OnappelleC lacourbereprésentant f dansunrepèreduplan.
On cherche à savoir siC possède ou non une demi-tangente au point d’abs-
cisse0.Ontientpourcelaleraisonnement suivant:
TerminaleS 2ConcoursFesicmai2010 A.P.M.E.P.
«On sait que lim f(x)? 0 (limite de référence). Comme f(0)? 0, c’est que
x!0
f(x)?f(0)
f est continue en 0. De plus on a lim ??1. On en déduit que
x!0 x
x?0
C possède au point d’abscisse 0 une demi-tangente d’équation x ? 0.» Ce
raisonnement estexact.
? ?
12d. Onconsidèrelafonction f définiesurRpar: f(x)?x sin six?0et
x
f(0)?0.OnappelleC lacourbereprésentant f dansunrepère.Onchercheà
savoirsiC possède ounonune tangenteaupoint d’abscisse0.Ontientpour
celaleraisonnementsuivant: ? ?
? ?1 2 2 2«Pourtoutx6?0,ona:?1?sin ?1,donc?x ? f(x)?x .Or lim ?x ?
x x!0? ?
2lim x ?0 donc, d’après le théorème des gendarmes, lim f(x)?0. Comme
x!0 x!0
??f(0)?0, c’est que f est continue en 0. De plus f est dérivable surR et sur? ? ? ? ? ? ? ?
1 1 1 1?? 0 2R et, pour x6?0, on a f (x)?2xsin ?x cos ?2xsin ?cos .
x x x x? ? ? ?
1 1
Or on a ?x6 2xsin 6 x si x ? 0 et x6 2xsin 6?x si x ? 0. Donc
x x? ? ? ?
1 1
lim2xsin ?0. Mais comme limcos n’existe pas, alors f(x)n’apas de
x!0 x!0x x
limite quand x tendvers0.Donc f n’estpasdérivableen0.Onendéduitque
C ne possède pas de tangente au point d’abscisse 0». Ce raisonnement est
exact.
EXERCICE7
? ?!? !?
Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v .
0 0 0 2Àchaquepoint M d’affixez,onassocielepoint M d’affixez telque z ?z ?z?1.
OnappelleAlepointd’affixe1etonnoteE l’ensembledespointsdontl’affixez est0
0solutiondel’équation z ?0.
31?z0a. Pourtout z différentde1,onaz ? .
1?z
b. L’ensemble E est réduit à deux points B et C symétriques l’un de l’autre par0 ? ?!?
rapportàl’axe O; u .
c. Quel que soit le point M d’affixe z appartenant à E et quel que soit l’entier0
n, z estsoitl’affixedupointA,soitcelled’unélément deE .n 0
0d. L’ensembledespointsM d’affixeztelsquez 2Restlaréuniondedeuxdroites
perpendiculaires.
EXERCICE8
? ?!? !?
Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormal O, u , v .
Onconsidère,dansC,l’équation
2(E): z ?2z?1?0.
a. Lescomplexes?1?2ietsonconjuguésontsolutions de(E).
b. Cetteéquationestuneéquationpolynômialededegré2quipossèdedeuxso-
lutions.
2 2c. Onpose z?x?iy, x et y étantréels.Siz estsolutionde(E),alors y ?(x?1) .
d. Lasommedessolutionsde(E)estégaleà?1.
TerminaleS 3ConcoursFesicmai2010 A.P.M.E.P.
EXERCICE9
OnconsidèreuntriangleABCetlepointMmilieude[BC].
?0 0OnappelleB l’imagedeBparlarotationdecentreAetd’angle etC l’imagedeC
2
?
parlarotationdecentreAetd’angle? .
2
0 0Onmunitleplancomplexe d’unrepèredecentreAdanslequelB,C,B ,C etMont
0 0lesaffixesrespectivesb, c, b , c etm.
0B
B
A M
C
0C
0 0a. c ?ic?0etb ?ib?0.
0 0c ?b
b. ??2i.
m
0 0c. (AM)et(B C )sontperpendiculaires.
0d. B C=2AM.
EXERCICE10
Soient a 2R et ' une fonction définie et continue surR. On considère l’équation
différentielle[E]:
0y ?ay?'(x).
3a. Si'estdéfiniepar'(x)?x ?1,alorsquelquesoitleréel a,ilexisteunpoly-
nômededegré2,solutionde[E].
2xb. Si ' est définie par '(x)? e , alors quel que soit le réel a, il existe b2R tel
2xquelafonction f,définiepar f(x)?be soitsolutionde[E].
c. Si ' est la fonction constante nulle et si f est une solution de [E], alors la
courbereprésentant f possèdeaupointd’abscisse0unetangented’équation
y?(1?ax)f(0).
d. Si a?0, alors quelle que soit la fonction' définie et continue surR, [E] pos-
sèdeunesolution.
EXERCICE11
? ?
1 1
Onconsidèrelasuiteu définieparu ?1et,pourtoutn2N?, u ? ? u .1 n?1 n2n n
? ?
1 1
a. Lasuiteu estgéométriquederaison ? .
2n n
n
b. Quelquesoitn2N?,u ? .n
(n?1)!
TerminaleS 4
bbbbbConcoursFesicmai2010 A.P.M.E.P.
c. Lasuiteu estdécroissanteàpartirden?2.
d. Lasuiteu estconvergente.
EXERCICE12
2
Onconsidèrelafonction f définiesurI=]?1; 3[par f(x)? .
3?x
Soitu lasuitedéfinieparu ?1,5et,pourtoutn2N, u ? f (u ).0 n?1 n
a. f estcroissante.
b. u estcroissante.
c. Quelquesoitn2N,ona:1?u ?2.n
d. Si u est convergente et si ` est sa limite, alors ` est solution de l’équation
f(x)?x.
EXERCICE13
p1 2On considère la suite u définie par u ? et, pour n2N, u ? 2(u ) . On ad-0 n?1 n
2
mettraquequelquesoitn2N,onau ?0.Onconsidèrealorslasuite v définieparn?p ?
v ?ln 2 u .n n
a. Lasuite v estgéométrique.
b. v ??512?ln2.10
nX ? ?n
c. Quelquesoitn2N, v ?(ln2) 1?2 .k
k?0
1
d. Pourtoutn2N,onau ?u ?u ?????u ? .0 1 2 n n22
EXERCICE14
Ondisposedequatreurnesnumérotéesde1à4.Lesurnessontcomposéesainsi:
– UrneU :1boulebleueet3boulesrouges;1
– UrneU :2boulesbleueset4boulesrouges;2
– UrneU :3boulesbleueset5boulesrouges;3
– UrneU :6boulesrouges.4
Un joueur choisit une urne au hasard, puis prélève une boule au hasard de cette
urne.Lejoueurestgagnants’iltireuneboulebleue;ilestperdantsinon.Ondésigne
par:
? Ωl’universdespossibilités etP laprobabilitéassociée;
? P laprobabilitéconditionnéeparunévènement A deΩ;A
? G l’évènement :«lejoueurgagne»;
? U l’évènement :«lejoueurchoisitl’urneU ».n n
2
a. P (G)? P (G).U U1 3
3
9
b. P(G)? .
8
1
c. P(U )? .1
6
d. P (G)?P (U ).U G 22
EXERCICE15
? ?!? !? !?
L’espaceestrapportéàunrepèreorthonormal O, ı , | , k .
OnconsidèrelespointsA(1;2;3),B(?1;