Concours Sciences-Po Paris - Sujet Mathematiques - 2018

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Concours entrée Sciences-Po Paris - Sujet épreuve de Mathematiques - 2018

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• Publié par: LeParisienEtudiant
• Publié le: 14 février 2019
• Nombre de lectures: 4 035
• Langue: Français

Extrait

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE
6DPHGLIpYULHU
MATHEMATIQUES
GXUpH GH O¶pSUHXYH K ± FRHIILFLHQW

/H VXMHW HVW SDJLQp GH j 9HXLOOH] YpULILHU TXH YRXV DYH] ELHQ WRXWHV OHV SDJHV

(Q FDV G¶DQRPDOLH DYHUWLVVH] OH VXUYHLOODQW

/H SUREOqPH HVW QRWp VXU O¶H[HUFLFH 9UDL)DX[ HVW QRWp VXU

9RXV GHYH] WUDLWHU OHV GHX[ H[HUFLFHV

/HV FDOFXODWULFHV VRQW DXWRULVpHV

'DQV OH FDV R XQ FDQGLGDW UHSqUH FH TXL OXL VHPEOH rWUH XQH HUUHXU W\SRJUDSKLTXH LO OH VLJQDOH WUqV
OLVLEOHPHQW VXU VD FRSLH SURSRVH OD FRUUHFWLRQ HW SRXUVXLW O¶pSUHXYH HQ FRQVpTXHQFH 6L FHOD OH FRQGXLW
j IRUPXOHU XQH RX SOXVLHXUV K\SRWKqVHV LO OH PHQWLRQQH H[SOLFLWHPHQW

Probl`me

Partie A
La fonctionf+est d´finie sur ]0;∞[ par :

b
2 2
f(x) =ax+−(ln(x))
2
x
o`aetbd´signent deux r´els.
′
1.fd´signant la d´riv´e de la fonctionf, montrer que pour toutxstrictement positif :
2bln(x)
′
f(x) = 2ax− −2 .
3
x x
On noteCfla courbe repr´sentative defdans un rep`re orthonorm´ :

La courbeCfpasse par le pointA(1; 0,5) et admet une tangente horizontale en ce point.
2. D´terminerles r´elsaetb.

Partie B
2 42
1. Factoriserl’expression 2X−4X+2 et en d´duire une factorisation de l’expression 2x−4x+2.
4 2
2. Al’aide de la question pr´c´dente, d´terminer le signe de l’expression 2x−4x+ 2en fonction
dex, o`xd´signe un nombre r´el .
Partie C
On consid`re la fonctiong+d´finie sur ]0;∞[ par
1
2
g(x) =x− −4 lnx
2
x
1. D´terminerle sens de variation deg+sur ]0;∞[ (on pourra utiliser la partie B).
2. Calculerg(1). En d´duire le signe de la fonctiongsur l’intervalle ]0;+∞[.

2

Partie D
Dans la suite du probl`me,fd´signe la fonction d´finie sur ]0;+∞[ par

1 12
2
f(x) =x+−(ln(x))
2
4 4x
On noteCfla courbe repr´sentative de la fonctionf.

1
1. Montrerque pour tout r´elxstrictement positif,f(x) =f.
x
2. (a)D´terminer la limite defen +∞.
(b) D´terminerla limite defen z´ro.
1
′
3. Montrerque pour tout r´elxstrictement positif,f(x) =g(x).
2x
En d´duire le sens de variation de la fonctionf+sur ]0;∞[.
Partie E
1. Montrerque l’´quationf(x) =xadmet une unique solutionα1]. On pourra consid´rersur ]0;
la fonctionh1] pard´finie sur ]0;h(x) =f(x)−x.
1
2. Montrerque l’´quationf(x) =admet une unique solutionβ+sur ]1;∞[.
x
3. Montrerqueα×β= 1.
−2
4.(a)´crireunalgorithmepermettantd’afficherunencadrementdeαpr`s.` 10
−2
(b) Donnerun encadrement deα.d’amplitude 10

3

Exercice : Vrai ou Faux
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant
soigneusement la r´ponse.
1. Uncapital est plac´ au taux annuel de 3% pendant 20 ans, ` int´rˆts compos´s.
Affirmation: la somme totale disponible au bout de 20 ans est sup´rieure ou ´gale au double
du capital plac´.
2. Uneurne contient trois boules indiscernables au toucher portant respectivement les num´ros
1, 2 et 3.
On tire successivement trois fois une boule avec remise.
On noteNla variable al´atoire donnant le nombre de num´ros diff´rents obtenus.
3
Affirmation: l’esp´rance deN.est strictement sup´rieure `
2
3. Uneentreprise produit en grande s´rie des v´hicules ´lectriques.
On admet que la probabilit´ qu’un v´hicule ne soit pas conforme vaut 0,03.
On pr´l`ve au hasard un lot de 100 v´hicules en vue de les proposer ` la location dans une
grande agglom´ration (on admet que la production est suffisamment importante pour assimiler
la constitution de ce lot ` 100 tirages successifs avec remise).
100
Affirmation: la probabilit´ qu’aucun v´hicule de ce lot ne soit d´fectueux est ´gal ` 1−0,03 .
n
X
2n k
4. Soit(un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites r´elles d´finies parun++ (2 + 2= 2...+ 2) = 2+ 2
∗ ∗
k=1
etvn=un−1.
Affirmation: une seule des deux suites est g´om´trique.
5. Soit(un)n∈Nune suite r´elle telle qu’il existe un r´elℓlimtel quenun=ℓ.
n→+∞
Affirmation: limun= 0
n→+∞
6. Lasuite (un) est d´finie paru0= 1 et pour tout entier natureln,un+1= 10un−9n−8.
Affirmation: pour tout entier natureln,un=n+ 1.
7. Soientfetgdeux fonctions d´finies surRtelles que :
•limf(x) = +∞
x→+∞
•limg(x) = +∞
x→+∞
•Pour tout r´elx,f(x)> g(x)
Affirmation: lim(f(x)−g(x)) = +∞
x→+∞
2x
e−1
8. Soitfla fonction d´finie surRparf(x) =
2x
e +1
Affirmation: pour tout r´elx,
2f(x)
f(2x) =
2
1 + (f(x))
√ √
7π62 +
9. Ondonne sin=
12 4
√ √
7π2−6
Affirmation=: cos
12 4

−→−→
2
10. Dansun rep`re orthonorm´O, i, j, on notePla parabole d’´quationy=x.
Soitaun r´el strictement positif et soitAle point de la parabolePd’abscissea.
On noteBle second point d’intersection entre la parabole et la perpendiculaire ` la droite
(OA) passant parO.
Affirmation: quelle que soit la valeur dea >0,K(0; 1)appartient ` la droite (AB).
*****FIN*****

4