Corrigé Bac S Antilles

Apmep

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• Publié par: E-Orientations
• Publié le: 26 avril 2019
• Nombre de lectures: 240
• Langue: Français

Extrait

[Correction du Baccalauréat S Antilles-Guyane 19 juin 2018

EX E R C IC E1
CC A N D ID ATSU SL E SO M M U NÀ TO

\

5 points

L’exploitant d’une forêt communale décide d’abattre des arbres afin de les vendre, soit aux habitants,
soit à des entreprises. On admet que :
•pins et les autres sont desparmi les arbres abattus, 30 % sont des chênes, 50 % sont des sa
arbres d’essence secondaire (ce qui signifie qu’ils sont de moindre valeur) ;
•45,9 % des chênes et 80 % des sapins abattus sont vendus aux habitants de la commune;
•les trois quarts des arbres d’essence secondaire abattus sont vendus à des entreprises.

Partie A
Parmi les arbres abattus, on en choisit un au hasard.
On considère les événements suivants :
•;C : « l’arbre abattu est un chêne »
•;S : « l’arbre abattu est un sapin »
•E : « l’arbre abattu est un arbre d’essence secondaire »;
•H : « l’arbre abattu est vendu à un habitant de la commune ».
1.Arbre :
0, 459
C
b

b

0, 3

0, 5

0, 2

S
b

E
b

0, 541

0, 8

0, 2

0, 25

b
H

b
H

b
H

b
H

b
H

b
0, 75H
2.m(C∩H)=pC(H)×p(C)=0, 459×0, 3=0,137 7.
La probabilité que l’arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune est 0,137 7.
3.On applique la formule de sprobabilités totales :
p(H)=pC(H)×p(C)+pS(H)×p(S)+pE(H)×p(E)=0,137 7+0, 8×0, 5+0, 25×0, 2=0,587 7
p(S∩H) 0,4
−3
4.pH(S)= =≈0, 681à 10près.
p(H) 0,5877

Partie B
Le nombre d’arbres sur un hectare de cette forêt peut être modélisé par une variable aléatoire X
suivant une loi normale d’espéranceµ=4 000et d’écart-typeσ=300.
1.p(34006X64600)=p(µ−2σ6X6µ+2σ)≈0, 954.

Baccalauréat S

2.p(X>4 500)=1−p(X<4 500)≈0, 048

−3
arrondi à 10

A. P. M. E. P.

Partie C
L’exploitant affirme que la densité de sapins dans cette forêt communale est de 1 sapin pour 2 arbres.
La proportion théorique de sapins estp=0, 5.
•La taille de l’échantillon estn=200>25.
•n p=0, 5×200=100>25
•n(1−p)=100>25
Les conditions sont réunies pour qu’on puisse utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au
seuil 0,95.
" pp #
· ¸
p(1−p)p(1−p5 0,5) 0,
Cet intervalle est I0,95=p−1, 96p;p+1, 96p=0, 5−1, 96p5; 0,+1, 96p
n n200 200
≈[0, 430; 0,570].
106
La fréquence observée dans cet échantillon estf= =0, 53 ;f∈I0,95.
200
Ce résultat ne remet pas en cause l’affirmation de l’exploitant.

EX E R C IC E2
CL E SC A N D ID ATSO M M U NU SÀ TO

5 points

Un artiste souhaite réaliser une sculpture composée d’un tétraèdre posé sur un cube de 6 mètres
d’arête.
Ces deux solides sont représentés par le cube ABCDEFGH et par le tétraèdre SELM ci-dessous.
S
b

F
b

L
b

E
b

K
b
A
bb
b
J
I

M
b

b
G

H
b

b
D

b b
B³C´
−→−→−→
On munit l’espace du repère orthonorméA; AI, AJ, AKtel que : I∈[AB], J∈[AD], K∈[AE] et
AI=AJ=AK=1, l’unité graphique représentant 1 mètre.
Les points L, M et S sont définis de la façon suivante :
−→2−→
•FLL est le point tel que=FE ;
3
•) ;M est le point d’intersection du plan (BDL) et de la droite (EH
•S est le point d’intersection des droites (BL) et (AK).
1.Les droites (LM) et (BD) sontcoplanaires(dans le plan (BDS)) et contenues respectivement
dans les plans (ABD) et (EFH) qui sontparallèles, donc elles sontparallèles.

Page 2/8

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

−→−→−→−→1−→−−→→−→−→−→
2.AL=AE+EL=6 AK+AB=6 AK+2 AI=2 AI+0 AJ+6 AKdonc les coordonnées de L sont
3
L(2 ;0 ; 6).
 
−4
−→
 
3. a.B(6 ; 0 ; 0).BL 0 et
6

x=6−4t

Un représentation paramétrique de (BL) est alors :(BL)y=0 ,t∈R.


z=6t

b.S appartient au plan (BDL) et à la droite (AE) donc :

x=6−4t


y=0 3
. On en déduitt=d’oùS(0 ; 0 ; 9).
z=6t2


x=y=0
 
3
−→
 
4.Soitnle vecteur de coordonnées3 .
2
 
−6
−→→−−→→−−→
 
a.•BD 6 doncn∙BD=3×(−6)+3×6+2×0=0 doncn⊥BD .
0
 
−4
−→−→−→−→−→
 
•BL 0 doncn∙BL=3×(−4)+3×0+2×6=0 doncn⊥BL .
6
−→
•nest orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan BDL donc est normal à ce
plan.
¡ ¢
b.Une équation du plan BDL est alors : 3 (x−xB)+3y−yB+2 (z−zB)=0
⇔3(x−6)+3y+2z=0⇔3x+3y+2z−18=0.
c.On admet que la droite (EH) a pour représentation paramétrique :

x=0

y=s(s∈R)

z=6

M est l’intersection du plan (BDL) et de la droite EH donc ses coordonnées vérifient
l’équation du plan et la représentation paramétrique de la droite.
 
x=0x=0s=2
 
 
y=s y=s x=0
On doit avoir :⇔ ⇔.
z=6z=6y=z

 
3x+3y+2z−18=0 3x+12−18=0z=6
M a donc pour coordonnée6)2 ;M(0 ;.

EL×EM 2×2
5.L’aire du triangle ELM estA(ELM)== =2.
2 2
La hauteur SE vaut SE=AS−AE=9−6=3.
1
3
Le volume du tétraèdre SELM est alors :V= ×2×3=2 m.
3

Page 3/8

Baccalauréat S

d
o o
6..L’artiste souhaite que la mesure de l’angle SLE soit comprise entre 55et 60
¡ ¢LE
d
Le triangle SLE est rectangle en E : cosSLE=.
LS
q
pp
¡ ¢
2
2 22 2
Or LS=(xS−xE)+yS−yL+(zS−zL)=2+(−3)=13.
¡ ¢2
d d
Donc cosSLE=p; on en déduit que SLE≈la contrainte est respectée.56, 3˚ ;
13

EX E R C IC E3
CO M M U NÀ TOU SL E SC A N D ID ATS

Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt :

Il dessine ce logo à l’aide des courbes de deux fonctionsfetgdéfinies surRpar :
−x x
f(x)=e (−cosx+sinx+1) etg(x)= −e cosx.

On admet que les fonctionsfetgsont dérivables surR.
Partie A — Étude de la fonctionf

−16−cosx61

1.Pour toutx∈R:−16sinx6par somme :1 donc−16−cosx+sinx63.


16161
−x
Comme e>0, on en déduit :
−x−x
−e6f(x)63e
.
−x
2.lim e=0 donc, d’après le théorème des gendarmes,
x→+∞

limf(x)= +∞
x→+∞
.
3.fest le produit de deux fonctions :
′ −x−x−x
∀x∈R:f(x)= −e (−cosx+sinx+1)+e (sinx+cosx)=e (2cosx−1) donc

.

′ −x
f(x)=e (2cosx−1)

Page 4/8

A. P. M. E. P.

5P O IN TS

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

4.Dans cette question, on étudie la fonctionfsur l’intervalle [−π;π].
1π
−x′
a.Comme e>0f(x) est du signe deu(x)=2 cosx−1.u(x)=0⇔cosx= ⇔x= −ou
2 3
π
x=.
3
i h
1π π
2 cosx−1>0⇔cosx> ⇔x∈ −; .
2 33
′
Signe def(x) :
π π
x−π−π
3 3
′
f(x)−0+0−

b.On en déduit les variations defsur [−π;π] :
π π
x−π−π
3 3
p
1+3
π
−
π
3
e
2e
2
❅ ✒❅
f(x)
❅ ❅
p
❅❘1−3❘❅
π
−π
e 2e
3
2

Partie B — Aire du logo
On noteCfetCgles repré