Corrige BTS CPI Mathematiques 2004

Description

paramètres, il y a deux conditions initiales pour fixer ces deux paramètres. Elles peuvent se BTS CPI 2004, corrigé   f (α) =β  f (α) =βprésenter sous la forme  ou  cela dépend des énoncés. On obtient ensuite un   ′ f (γ) =δ f (γ) =δ  EXERCICE 1 système de deux équations à deux inconnues. Si l’équation est d’ordre 1, il n’y a qu’un paramètre qui apparaît dans la solution, donc il n’y aura qu’une seule condition initiale. Sous-Probabilités, hors programme depuis 2006 en CPi, donc je ne corrige jacent à ces remarques il y a le concept d’espace vectoriel de dimension 1 ou 2, qui n’est pas € € pas. au programme de BTS CPI.B) Comme souvent, la fonction étudiée ici est la fonction solution de EXERCICE 2l’équation différentielle précédente. Attention, ce n’est pas une règle 2 systématique dans les sujets de BTS.A) 1) l’équation caractéristique est r +2r +1=0, de discriminant nul avec r =−1 donc d’après le formulaire les solutions de E sont les 0 0−x 2−x 1) Limite en −∞: lime = +∞ et lim4− x =−∞ donc par produit u x = e ax + b,a,b∈ R. ( )( ) ( )−∞ −∞Paramètres: dans cette écriture, a et b sont des paramètres, c’est-à-dire que quelle que soit leur lim f =−∞€ valeur, la fonction f est solution de E . On dispose donc de deux choix, a et b, logique puisque −∞0l’équation différentielle est d’ordre 2. Pour les équations d’ordre 1, il n’apparaît qu’un seul −x 2 −x 2 −x −x€ € 2) Limite en +∞: f x = e 4− x =4e − x e , or, en +∞, e et ( ) ( )paramètre dans la ...

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Extrait

BTS CPI 2004, corrigé

EXERCICE 1 Probabilités, hors programme depuis 2006 en CPi, donc je ne corrige pas.

paramètres, il y a deux conditions initiales pour fixer ces deux paramètres. Elles peuvent se    f ( α ) =β  f ( α ) =β  présenter sous la formeou celadépend des énoncés. On obtient ensuite un  f f ′ γ=δ  γ=δ  ( )  ( ) système de deux équations à deux inconnues. Si léquation est dordre 1, il ny a quun paramètre qui apparaît dans la solution, donc il ny aura quune seule condition initiale. Sous- jacent à ces rema  rques il y a l  e concept despace vectoriel de dimension 1 ou 2, qui nest pas au programme de BTS CPI.

B)Comme souvent, la fonction étudiée ici est la fonction solution de EXERCICE 2 léquation différentielle précédente. Attention, ce nest pas une règle 2 systématiquedans les sujets de BTS. A)1) léquation caractéristique estr+2r+1=0, de discriminant nul avecr=−1donc daprès le formulaire les solutions deE sont les 0 0 −x2 −x 1) Limite en−∞:lime= +∞etlim 4−x=−∞donc par produit u ( x ) =e ( ax+b ) ,a,b∈R.( ) −∞ −∞ Paramètres: dans cette écriture,aetbsont des paramètres, cest-à-dire que quelle que soit leur  limf=−∞ E valeur, la fonctionfest solution de 0 . On dispose donc de deux choix,aetb, logique puisque −∞ −x2−x2−x−x léquation différentielle est dordre 2. Pour les équations dordre 1, il napparaît quun seul  x=4e−x e, or, en+∞,eet 2) Limite en+∞:f ( x ) =e ( 4− ) paramètre dans la solution (voir sujet CPI 2005).     2−x 2) solution particulière. x etendent vers 0. Solution particulière: il y a trois possibilités: 2  x 2−x - soit elle est donnée par lénoncé comme ici, et il faut juste vérifier Ce dernier point peut se justifier en écrivant quex e=. Vu que x - soit sa forme est donnée (exemple trouvez une solution particulière de la forme  e 2−x  ( x+β ) » et il faut identifier pour trouver les trois coefficients) x2 αx+γe e x  - soit il faut connaître sa forme, cest le cas des équations dont le second membre est du type: →+∞(énoncé), on a bien par inverse→0. 2 x→+∞ x x →+∞ kx+lx+eαx+βx+γe x e 2−x2−x ( m ) , alors la forme est ( )  Conclusion:limf=0doù asymptote horizontaley=0en+∞. 22 , alors la forme est kx+lx+mαx+βx+γ +∞  2−x2−x−x2 e fx=e4−x=u x v x  Ici donc on vérifie:  h ( x ) =−x e,h ′ (  x ) = ( −2x+x ) , 3)Dérivée: ( ) ( ) ( ) ( ) donc    2−x−x2−x2−x e f ′ x=u ′   x vx+u x v ′ x=−e4−x−2xe=x−2x−4e h ′  ′ ( x ) = ( −2+4x−x ) donc ( )( )( ) ( )( ) ( )( )   Lénon  cé donne la réponse pour ne pas quune erreur dans le calcul de la dérivée vous pénalise 2−x2−x2−x h ′  ′ ( x ) +2h ′   ( x ) +h ( x ) =−2+3x−x e+2−2x+x e−x e ( )( ) ensuite pour réaliser le tableau de variations.  −x h ′′ ( x ) +2h ′ ( x ) +h ( x ) =−2ecqfd. 2 Les variations sont données par le signe dex−2x−4qui a deux −x2  3) Les solutions deEsont donc lesf ( x ) =e ax+b−x,a,b∈R ( ) racines1±5soitx≈3,23etx≈ −1,23doùfcroissante de−∞en 1 2 5−1 2) jécris quef ( 0 ) =4⇔b=4puis f ( x ) =2 5−1e −∞jusquà un max local 2 ( ) , puis décroissante jusquà −2−x2   −5−1 f ( 2 ) =0⇔e ( 2a+b−4 ) =0⇔a=0doùf ( x ) =e ( 4−x )un min local ( 1 ) ( ) e , puis croissante vers 0 en+∞. f x=−2 5+1 conditions initiales: Pour une équation dordre 2, donc dont la solution comporte 2           