Corrige BTS CPI Mathematiques 2005

Description

0,12 3 4BTS CPI 2005, corrigé   x x x 0,01 0,001 0,0001J = − + − =− + −  2 3 8 2 3 8  0EXERCICE 10,12 0,008 0,0003 −0,1203+0,008 0,1123A) 1) L’équation E est l’équation homogène de E et a pour J =− + − = =( ) ( )0 124 24 24 24 24−xsolution u x = λe ,λ ∈ R.( ) Comparons à présent I et J:−x ...

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• Publié par: shin
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Extrait

0,1 2 3 4 BTS CPI 2005, corrigé  x x x0,01 0,001 0,0001 J=−+−=−+−   2 38  82 3 0 EXERCICE 1 0,12 0,008 0,0003−0,1203+0,008 0,1123 A)1) Léquation ( E ) est léquation homogène de ( E ) et a pourJ=−+−= = 0 1 24 2424 24 24 −x solutionu ( x ) =λe,λ∈R. Comparons à présent I et J:  −x−x 2) jaig ( x ) =−xedoncg ′  (  x ) = ( x−1 ) edonc 0,1123 −0,1−6−6 −x−x−x J−I=− −1,1e+1≈0,00000033=0, 33.10inférieur à10. g ′   ( x ) +g ( x ) = ( x−1 ) e−xe=−edoncgest bien une solution  24  E particulière de ( 1 ) .  −x 3) Les solutions de ( E ) sont donc lesf ( x ) = ( λ−x ) e,λ∈RC)Même chose que dans le A); la fonctiong, qui était solution  1 −x  E particulière de ( E 1 ) , va aussi être solution particulière de ( 2 ) . 4) Nous voulonsf ′ (  0 ) =0. Calculonsf ′ (  x ) = ( −λ+x−1 ) eet   2 −x Alors, équation homogène ( E ) : équation caractéristiquer−r=0, elle ( λ−1 ) doùλ=−1doùf x=− ( 1+x ) e. f ′ (  0 ) =− 1 ( )  Solution particulière, cela veut dire une solution parmi toutes. Ici nous avons vu deux a pour solutions les deux réels±1donc les solutions de ( E ) sont les  solutions particulières:g, qui est particulière par sa simplicité, et aussi par le fait quelle est x−x v ( x ) =λe+µe,λ,µ∈R.  donnée par l  énoncé, et f 1 , qui est particu  lière parce quelle vérifie les conditions initiales. −x −x E ′    Solution particulière de ( 2 ) : jaig ( x ) = ( x−1 ) edonc    −x  u ( x ) =x v ( x ) =−e 0,1 −x−x−x−x ∫  −x g ( x ) = ( 2−x ) eet je détermineg ( x ) −g ( x ) = ( 2−x ) e+xe=2e B)−xe dx. Je prendset jai donc  ′′′′ 0  u ′   ( x ) =1v ′ ( x ) =e , ceci prouve quegsolution particulière de ( E ) . 0,1 0,10,1  2 −x−x−0,1−x−0,1 I=xe−e dx=0,1e−0+e=1,1e−1 −x x [ ] 0 ∫ 0 0 3) Les solutions de ( E 2 ) sont donc lesf ( x ) = ( µ−x ) e+λe,λ,µ∈R [ ]  Développement limité: Maintenant je veuxf ( 0 ) =0⇔µ+λ=0et je calcule aussif ′ (  x ) :  2  −x x x f ′ (  x ) = ( x−µ−1 ) e+λedoùf ′ ( 0 ) =0⇔λ−µ=1; le système −x2  e=1−x+ +xε ( x ) donc 2   µ+λ=0  1 11 1  −x x λ=;µ=−f x=−+x e+e 2 3  doù donne 2 ( )  . x x 2 23   λ−µ=1 2 2 22 g x=−x1−x+ +xεx−x  ( )  ( )  = +x−+xε ( x )  2  2   3) Intégration du développement limité:dans cette question on compare I, lintégrale de la EXERCICE 2 fonction, et J, lintégrale de son DL ordre 3. Le développement limité dune fonction est un Probabilités, je ne le corrige pas, les probas nétant plus au programme polynôme censé coller localement à la fonction. La différence entre les deux est exprimée par    3 3 ce petit, qui est le produit dun, très très petit sixpetit, et dun ε ( x ) , qui “tend vers 0 si de BTS CPI depuis 2006. xε ( x ) x  x tend vers 0” donc qui est petit aussi, localement. On intègre dans un intervalle très proche de EXERCICE 3 0, ici [ 0;0,1 ] donc on peut sattendre à ce que J soit proche de I. Idem, les courbes paramétrées autres que Bézier ou BSplines ne sont    plus au programme de BTS CPI 