Corrige BTS DOMOTIQUE Mathematiques 2000

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BTS - groupement B - 2000Correction de l’´epreuve de Math´ematiquesEXERCICEI1. D suit une loi normale.D−25Si D suit la loi normaleN(25,50;0,1) alors la variable T d´efinie par T = suit la loi normale centr´ee0,1r´eduiteN(0,1).Il en r´esulte que: 25,3−25,5 D−25,5 25,7−25,5p(25,3≤D≤ 25,7) =p ≤ ≤0,1 0,1 0,1=p(−2≤T≤ 2)=π(2)−π(−2)= 2π(2)−1= 2×0,9772−1d’ou` p(25,3≤D≤ 25,7) = 0,9544≈ 0,962. a. X suit une loi binomiale.Soit l’´epreuve: on pr´el`eve un boulon et on v´erifie le diam`etre de la tˆete  ⋆on r´ep`ete 10 fois cette ´epreuve.  ⋆les ´epreuves sont ind´ependantes. donc X suit la loi binomialeB(10;0,96). ⋆chaque ´epreuve a 2 issues : conforme avec p=0,96  ou non conforme avec q=0,04b. Probabilit´e d’avoir au plus un boulon non conforme.On demande donc: p(X≥ 9). soit:p(X≥ 9) =p(X = 9)+p(X = 10)9 9 1 10 10=C (0,96) ×(0,04) +C (0,96)10 10d’ou` p(X≥ 9) = 0,943. Test d’hypoth`esea. Loi suivie par Y σ√D’apr`es le cours, on sait que si Y suit la loi normaleN(,σ), alors Y suit la loi normaleN ,nIci, on a = 10, σ = 0,1 avec n = 100. Donc Y suit la loi normaleN(10;0,01).b. Calcul de h tel que p 10−h≤Y ≤ 10+h = 0,95Y −10Y suit la loi normaleN(10;0,01) donc la variable T d´efinie par T = suit la loi normaleN(0,1).0,01 h hp 10−h≤Y ≤ 10+h =p − ≤T ≤0,01 0,01 h= 2π −10,01 h h hOn en d´eduit que:2π −1 = 0,95 soit π = 0,975 d’ou` = 1,96.0,01 0,01 0,01Donc h = 0,0196≈ 0,02Il en r´esulteque siH est vraie, il y a 95% ...

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BTS  groupement B  2000 Correctiondel´epreuvedeMathe´matiques
EXERCICE I 1.Dsuit une loi normale. D25 SiDsuit la loi normaleN(25,50; 0,1) alors la variableT´deinpearTcelartneiolamronsuitle´e= 0,1 r´eduiteN(0,1). Ilenre´sulteque:   25,325,5D25,5 25,725,5 p(25,3D25,7) =p≤ ≤ 0,1 0,1 0,1 =p(2T2) =π(2)π(2) = 2π(2)1 = 2×0,977 21 dou`p(25,3D25,7) = 0,954 40,96 2. a.Xsuit une loi binomiale. Soitl´epreuve:onpre´l`eveunboulonetonve´rielediam`etredelateˆte ete10foionr´ep`.evuerpe´ettecs ntsoesuvreeps´lese.adtnpeneni´d doncXsuit la loi binomialeB(10; 0,96). veesa:2cpirsesuurumee´aeocnhfaoq0=9,evpc6 ou non conforme avec q=0,04 b.libiedt´voaauirsulpobnunolucnonmr.enoofPorab On demande donc:p(X9). soit: p(X9) =p(X= 9) +p(X= 10) 9 91 1010 =C(0,96)×(0,04) +C(0,96) 10 10 do`up(X9) = 0,94 3.Tdtseeesyphh`ot a.Loi suivie parY   σ Dapre`slecours,onsaitquesiYsuit la loi normaleN(µ, σ), alorsYsuit la loi normaleNµ, n Ici, on aµ= 10,σ= 0,1 avecnDonc= 100.Ysuit la loi normaleN(10; 0,01).   b.Calcul dehtel quep10hY10 +h= 0,95 Y10 Ysuit la loi normaleN(10; 0,01) donc la variableTinpera´deTla loi normale= suitN(0,1). 0,01     h h p10hY10 +h=p− ≤T0,01 0,01   h = 2π1 0,01    h hh Onend´eduitque:2π1 = 0,95 soitπ= 0,o`d7591=u,96. 0,01 0,01 0,01 Donch= 0,01960,02 Ilenr´esultequesiH0nue´vereitllhcnantlaondonneamoyeneitrapptvtseeiaryli,%59achdeceanepsdelr´ a`lintervalle:[9,98 ; 10,02] c.sice.noileegd´deR` Onpre´l`eveun´echantillonal´eatoirede100boulons,etoncalculelamoyenneysedsd.pseileuresde`etrdiam Si cette moyenne est dans l’intervalle [9,98 ; 10,telhypoth`ese0]2laroosanccpeH0, sinon on la refuse. d.Utilisation du test. L´echantillonaunemoyenney= 10,9e[llvapartnap3qui0tnrelaiap`seitn,98 ; 10,02]. On refuse doncH0 etonconsid`ereauseuilde5%,quelesboulonsnesontpasconformespourlediame`tredeleurpied.